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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A.P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\session 2006}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill}

\medskip

Dans une classe de terminale technologique, 30\,\% des élèves sont des filles.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item trois filles sur cinq déclarent travailler pendant l'été ;
\item  un garçon sur cinq déclare travailler pendant l'été.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On choisit au hasard un élève de la classe. On considère les évènements suivants :

F : \og l'élève est une fille \fg{} ;

G : \og l'élève est un garçon \fg{} ;

T : \og l'élève travaille pendant l'été \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer $p$(F) ; $p$(G) ; $p_{\text{F}}(\text{T})$ et $p_{\text{G}}(\text{T})$.
\item  Décrire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités en indiquant les probabilités sur chacune des branches.
\item  Calculer $p(\text{F} \cap \text{T})$.
\item  Montrer que $p(\text{T}) = 0,32$.
\item  Calculer la probabilité que l'élève soit une fille sachant que cet élève travaille pendant l'été.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans le fichier des élèves de cette classe de terminale technologique, on tire au hasard, successivement avec remise, 10 fiches d'élèves. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'élèves, parmi les 10, qui travaillent pendant l'été.

\emph{Dans cette partie, les résultats numériques seront donnés sous forme décimale arrondis à} $10^{-3}$.


\begin{enumerate}
\item  Justifier que la loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,32$.
\item   Calculer la probabilité qu'aucun élève parmi les 10 ne travaille pendant l'été.
\item   Calculer la probabilité qu'au moins 2 élèves parmi les 10 travaillent pendant l'été.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 2\text{e}^{2x} - \text{e}^{x}\]

et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

On admet que parmi les $3$ courbes données dans le document, une seule représente la fonction $f$ et la tangente à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse $0$. On se propose de déterminer laquelle.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite en $-\infty$ de $f$ et interpréter graphiquement le résultat. Quelle courbe proposée peut-on alors
éliminer ? Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ de $\R,~f'(x) = 4\text{e}^{2x} - \text{e}^{x}$.
		\item  En déduire une équation de la tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse $0$.
 	\end{enumerate}
\item  Conclure en donnant le numéro de la courbe représentative de $f$. Justifier la réponse.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur $[- \pi~;~\pi]$ par : 

\[g(x) =  2\cos x + 3.\]

On note $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.

On prendra comme unités graphiques : 6~cm pour $\pi$ en abscisses et 1~cm pour une unité en ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $g$ est paire sur $[- \pi~;~\pi]$ et interpréter graphiquement le résultat.
\item  Calculer $g'(x)$.
\item  Résoudre sur $[0~;~\pi]$ l'équation : $g'(x) = 0$.
\item  En utilisant le cercle trigonométrique, montrer que $g'(x) \geqslant  0$ sur $[0~;~\pi]$.
\item  Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0~;~\pi]$.
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\emph{Les valeurs numériques de $g(x)$ seront arrondies à $10^{-2}$ près.}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-4mm]{0mm}{8mm}$x$		& 0	&$\dfrac{\pi}{6}$&$\dfrac{\pi}{3}$	&$\dfrac{\pi}{2}$&$\dfrac{2\pi}{3}$&$\dfrac{5\pi}{6}$&$\pi$  \\ \hline
$g(x)$	&	&				&				&		&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  En utilisant le résultat de la première question, construire $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ sur $[- \pi~;~\pi]$ dans le repère orthogonal \Oij.
\item  Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\pi} g(x)\:\text{d}x$ et interpréter graphiquement le résultat.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Document de l'exercice 2}

\vspace{2cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.25cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-0.5)(2,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](-4,0)(2,5)
\rput(-0.5,5.3){Courbe \no 1} \uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4}{0.62}{2*2.71828^(2*x)-2.71828^x}
\psline(-0.5,-0.5)(1,4)\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.5)(2.25,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-2)(2.25,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](-3,-2)(2,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3}{1.385}{2.71828^x}
\psline(-3,-2)(2,3)\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}
\rput(-0.5,4.3){Courbe \no 2}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}\\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.5)(2.25,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-0.5)(2,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](-3,0)(2,5)
\rput(-0.5,5.3){Courbe \no 3} \uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3.23}{1.2475}{x 1 add 2 exp}
\psline(-0.75,-0.5)(2,5)\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}&   \\
\end{tabularx}


\end{center}

\end{document}