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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A.P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{métropole\hspace{3mm}correction}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\session 2008 \hspace{5mm}Correction}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

Dans un lycée, $200$~élèves de classes terminales passent tous un baccalauréat : général ou bien technologique.

\begin{center}
\textbf{Partie A}
 \end{center}

On a les informations suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 20 élèves du lycée passent le baccalauréat général ;
\item  25\,\% des élèves passant le baccalauréat général n'y ont pas obtenu la moyenne ;
\item  60\,\% des élèves passant le baccalauréat technologique y ont obtenu la moyenne.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Soit G l'évènement \og l'élève passe le baccalauréat général \fg{} ;

T l'évènement \og l'élève passe le baccalauréat technologique \fg{} ;

M l'évènement \og l'élève a obtenu la moyenne au baccalauréat \fg.

L'épreuve consiste à tirer au hasard une fiche dans le fichier des $200$~élèves.

\begin{enumerate}
\item  L'univers est l'ensemble du fichier et la loi mise sur cet univers  est la loi équirépartie.

 La probabilité d'un événement A est $p(\text{A})=\dfrac{ \text{{\footnotesize nombre d'éléments de A}}}{ \text{{\footnotesize nombre d'éléments de l'univers}}}$
	\begin{enumerate}
		\item  Calculons $p$(G) ; Vingt élèves passent un baccalauréat général sur les deux cents élèves de classes terminales  donc $p(\text{G})=\dfrac{20}{200}=\np{0.1}$
		\item  Construisons l'arbre de probabilités décrivant cette situation en précisant les probabilités sur chaque branche.
		
\begin{center}
\psset{nodesep=1mm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$\text{G}$}\taput{0,1}}
	{\TR{$\text{M}$}\taput{0,75}
	\TR{$\overline{\text{M}}$}\tbput{0,25}
	}
\pstree{\TR{$\text{T}$}\tbput{0,9}}
	{\TR{$\text{M}$}\taput{0,6}
	\TR{$\overline{\text{M}}$}\tbput{0,4}
	}
}
\end{center}		
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculons
 \begin{itemize}
 
\item [--] la probabilité $p(\text{M} \cap \text{T})$.

\[p(\text{M}\cap \text{T})=p(\text{T})\times p_{\text{T}}(\text{M})=\np{0.9}\times \np{0.6}=\np{0.54}.\]

\item [--]la probabilité  $p(\text{M} \cap \text{G})$.

\[p(\text{M}\cap \text{G})=p(\text{G})\times p_{\text{G}}(\text{M})=\np{0.1}\times \np{0.75}=\np{0.075}.\]
\end{itemize}
		\item   $p(\text{M})=p(\text{M}\cap \text{T})+p(\text{M}\cap \text{G})=\np{0.54}+\np{0.075}=\np{0.615}$.
 	\end{enumerate}
\item Calculons, à $10^{-2}$~près, la probabilité qu'un élève ayant obtenu la moyenne au baccalauréat soit issu d'un baccalauréat général.
\[p_{\text{M}}(\text{G})=\dfrac{p(\text{M}\cap \text{G})}{p(\text{M}}=\dfrac{\np{0.075}}{\np{0.615}}\approx \np{0.12}\]
 \end{enumerate}
 
\begin{center}
\textbf{Partie B}
 \end{center}
 
\emph{Dans cette partie, les résultats numériques seront arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la moyenne obtenue par les candidats du baccalauréat général. La loi de
$X$ est la loi normale de moyenne $11$ et d'écart - type $4$.\mbox{$X\hookrightarrow \mathcal{N}(11~;~4)$}

%\emph{Pour répondre aux questions suivantes, on pourra utiliser la table de la loi normale centrée réduite.}
 %Pour calculer les probabilités demandées,  utilisons le théorème suivant :
 
Dire que la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est la loi normale $\mathcal{N}(11~;~4)$, est équivalent à dire que la loi de probabilité de la variable aléatoire $U$ définie par $\dfrac{X-11}{4}$ est la loi normale centrée et réduite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] La probabilité qu'un candidat ait obtenu une note inférieure à 12  est notée $p(X\leqslant 12)$. 

 Cette probabilité est équivalente à $p\left( U\leqslant\frac{1}{4}\right)$.
 
Dans la table de la loi normale centrée réduite, nous pouvons lire que $p(U \leqslant \np{0.25}) = \np{0.5987}$. 

Par conséquent, $p(X\leqslant 12)=\np{0.5987}$.
\item[\textbf{b.}] La probabilité qu'un candidat ait obtenu une note supérieure à 15 est notée $p(X\geqslant 15)$.

  Cette probabilité est équivalente à $p(U\geqslant 1)$ ou encore à $1-p(U < 1)$.
  
Dans la table de la loi normale centrée réduite, nous pouvons lire que $p(U < 1) = \np{0.8413}$. 

 Par conséquent $p(X\geqslant 15)=1-\np{0.8413}=\np{0.1587}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

La courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ donnée dans le document représente, dans un repère orthogonal, une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle I $ = \left[- \dfrac{3\pi}{2}~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

\begin{enumerate}
\item  Par \emph{lecture graphique}, %répondre aux questions suivantes en expliquant par une phrase la démarche adoptée :
	\begin{enumerate}
		\item  \begin{itemize}\item $g(0)=3$; nous lisons l'ordonnée du point de la courbe  d'abscisse 0.
				\item $g'(0)=-1$; $g^\prime(0)$ est le coefficient directeur  de(T), droite passant par (0~;~3) et par (3~;~0).
				\end{itemize}
		\item  Une équation de la droite $(T')$ est $y=-x-3$. La droite passe par $(0~;~-3)$ et $(-5~;~2)$.
		\item  Résolvons dans I, l'équation : $g'(x) = - 1$. L'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de  l'équation est : $\mathcal{S}=\left\{ -\pi,~0,~\pi\right\}$.
 
Les droites (T) et (T')  sont tangentes à $(\mathcal{C}_g)$ aux points d'abscisses $0$, $\pi$, $-\pi$ et ont comme coefficient directeur~$-1$.
 	\end{enumerate}
\item  \emph{Étude théorique}
	
On admet que la fonction $g$ est définie sur I par : $g(x) = - x + 3\cos x$.
	\begin{enumerate}
		\item $g'(x)=-1-3\sin x$.
		\item  Résolvons  dans I, l'équation : $g'(x) = - 1$. 
\begin{equation*} 
\begin{split}
-1-3\sin x &=-1\\
-3\sin x&=0\\
\sin x &= 0\\
\end{split}
\end{equation*}
 d'où $x=0+ 2k\pi\quad (k\in\Z)$ \hspace{0.5cm} $x=\pi+2k\pi\quad (k\in\Z)$.

 Par conséquent dans I,  $x=0$,\hspace{0.5cm}$x=\pi$,\hspace{0.5cm}$x=-\pi$. 

$\mathcal{S}=\left\{ -\pi,~0,~\pi\right\}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $]3~;~6]$ par : 

\[f(x) = x - 2 + \ln (x - 3)\]

 et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij.
\begin{enumerate}
\item  Déterminons la limite de $f$ en $3$.

\[\displaystyle \lim_{x\to 3}f(x)=\lim_{x\to 3}x-2+\lim_{x\to 3} \ln(x-3)=-\infty.\] car $\displaystyle \lim_{x \to 0}\ln x=-\infty$.

Graphiquement, la courbe admet la droite d'équation $x=3$ comme asympote lorsque  $x$ tend vers 3.
\item  Déterminons la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $]3~;~6]$.

 $f^\prime(x)=1+\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{x-3+1}{x-3}=\dfrac{x-2}{x-3}$
 
Pour tout $x \in ]3~;~6],\  x-2>0 \  \text{et } x-3>0$  par conséquent pour tout $x$ appartenant à $]3~;~6]$, $f'(x) > 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Dressons le tableau de variation de $f$ sur $]3~;~6]$. 
		
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$.

 Pour tout $x$ appartenant à $]3~;~6]$, $f'( x) > 0$ $f$ est donc  strictement croissante sur cet intervalle.
 
$f(6)=6-2+\ln(6 - 3)= 4+ \ln 3$

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(1.1,0)(1.1,2.5)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$3$}  \uput[u](7.75,2.45){$6$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](4.5,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
\uput[d](1.35,0.51){$-\infty$}\uput[d](7.42,2.05){$4+\ln 3$}
\psline{->}(1.5,0.5)(7.4,1.55)
\end{pspicture}
\end{center}
\item  $f(4)=4-2+\ln(4-3)=2$. 

 $f$ étant strictement croissante sur $]3~;~6]$ a fortiori sur $[4~;~6]$ et $f(4)>0$ ; par conséquent $f$ est strictement positive sur  $[4~;~6]$.
 	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $]3~;~6]$ par 

\[F(x)  = (x - 3) \ln (x - 3) + \dfrac{x^2}{2} - 3x.\]

 $F$ est une primitive de $f$ sur ]3~;~6] si $F^\prime(x)=f(x)$.
 \[F^\prime(x)=1\times\ln(x-3)+(x-3)\left(\dfrac{1}{x-3}\right)+x-3=\ln(x-3)+1+x-3=x-2+\ln(x-3)=f(x).\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculons la valeur exacte de J $ = \displaystyle\int_{4}^6  f(t)\:\text{d}t$.
		\[\text{J} = \displaystyle\int_{4}^6  f(t)\mathrm{d}t=\left[ F(t)\right]^6_4 = F(6) - F(4) = (6 - 3) \ln (6 - 3) + \dfrac{6^2}{2} - 3\times 6-((4 - 3) \ln (4 - 3) + \dfrac{4^2}{2} - 3\times 4) = 3\ln 3+4.\]
		\item $f>0$ sur $[4~;~6]$,  J dans le repère \Oij{}  est l'aire, exprimée  en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=4$ et $x=6$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Document de l'exercice 2 \\ Courbe } $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$
\end{center}

\begin{itemize}
\item La droite (T) est tangente \`a $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ au point d'abscisse $0$.
\item La droite $\left(\text{T}'\right)$ est tangente \`a $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ aux points A et B d'abscisse respectives $\pi$ et $- \pi$.
\end{itemize}

\bigskip

\begin{center}

\psset{unit=1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5.75,-7)(5,5.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4.75,-7)(5,5.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-5,-7)(5,5)
\psline(-5,2)(3.75,-6.75)
\psline(-2.25,5.25)(5.75,-2.75)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{-4.71239}{4.71239}{3*cos(x) - x}
\uput[dl](3.14,-6.25){A}\uput[ur](-3,0){B}
\uput[u](-1.5,4.4){(T)} \uput[d](-1.5,-1.75){(T$'$)}
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](-4.2,3){$\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ }
\uput[dr](3.14125,0){$\pi$} \uput[dl](-3.14125,0){$-\pi$} \uput[d](4.71239,0){$\dfrac{3\pi}{2}$} \uput[d](-4.71239,0){$-\dfrac{3\pi}{2}$}
\psline[linestyle=dashed](4.71239,0)(4.71239,-4.71239)
\psline[linestyle=dashed](-4.71239,0)(-4.71239,4.71239)
\psline[linestyle=dashed](3.14159,0)(3.14159,-6.14159) 
\end{pspicture}





\end{center}
\end{document}