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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole--Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Métropole--La Réunion septembre 2020}}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip


\textbf{Les annexes A, B$_1$ et B$_2$ sont à rendre avec la copie après avoir été numérotées.}

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip


\textbf{Partie A}

\medskip


En 2018, il y a eu \np{2560}  participants à l’UTMB, Ultra Trail du Mont Blanc, dont 270 femmes. Les coureurs sont classés selon leur catégorie : espoir, senior ou vétéran.

On sait que

\begin{itemize}
\item  11/16 des participants sont classés dans la catégorie vétéran.
\item 687 des coureurs sont des hommes seniors.
\item Aucune femme espoir n’a participé à la course.
\item Il y a 66 femmes vétérans de plus que de femmes seniors.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau d’effectifs donné en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.
\item \begin{enumerate}
\item  Déterminer le pourcentage de seniors chez les hommes.
\item Justifier que le pourcentage de seniors chez les femmes est d'environ 37,8\,\%
\end{enumerate}
\item On choisit une personne participant à l’UTMB au hasard. Déterminer s’il y a dépendance ou indépendance entre les évènements \og être dans la catégorie senior \fg{} et \og être une femme \fg. Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une étude portant sur un échantillon de 200 coureurs inscrits cette année à l’UTMB montre que 130 d’entre entre eux  n’ont jamais eu de blessure.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la fréquence $f$, dans cet échantillon, des coureurs qui n’ont jamais eu de blessure.
\item Donner une estimation de $p$, la proportion des coureurs de l’UTMB inscrits cette année qui n’ont jamais eu de blessure, par un intervalle de confiance à 95\,\%.

Arrondir les bornes de l’intervalle à $10^{-2}$ près.

Rappel : L’intervalle de confiance à 95\,\% de la proportion $p$ d’une population est :

\[I_C=\left[f - 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right].\]

\item Cédric a eu l’information que trois quarts des participants n’ont jamais eu de blessure aux précédentes éditions de l’UTMB. Au seuil de risque 5\,\%, est-il possible que l’on ait la même proportion cette année sur l’ensemble des inscrits ?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

Les résultats seront donnés  à  $10^{-2}$ près.

\medskip

En 2020, la production annuelle moyenne de lait chez un éleveur est de 119 litres par brebis.

Il souhaite augmenter sa production moyenne pour atteindre $200$ litres par brebis. Pour cela, il effectue des aménagements dans la bergerie.  Il espère que sa production annuelle moyenne de lait va augmenter de 10\,\% par an. 
\begin{flushright}
\emph{Source} :  https://bioreferences.bioetclic.org
\end{flushright}

On note $u_n$ la production annuelle moyenne par brebis attendue, en litres,  l’année  $2020+n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Interpréter les résultats dans le contexte de l’exercice.
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la nature de la suite $(u_n$). On précisera le premier terme et la raison de cette suite.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Afin d’estimer le nombre d’années nécessaires pour obtenir une production annuelle moyenne de lait supérieure à 200 litres par brebis, on propose les trois algorithmes ci-dessous.

Parmi les trois algorithmes suivants, donner celui qui permet d’afficher la réponse au problème posé. Justifier votre réponse.


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline

 \centering Algorithme 1&\centering Algorithme 2& \centering Algorithme 3 \tabularnewline
 \hline
\begin{minipage}[b]{0.27\textwidth}
\raisebox{-2ex}[0pt][0pt]{}

 U réel\\
 N entier\\
 U prend la valeur 119\\
 N prend la valeur 0\\
 \\
 Tant que U < 200 faire\\
\hspace*{0.4cm}  U prend la valeur 1,1 $\times$ U \\
Fin tant que\\
\\
 N prend la valeur N+1\\
 Afficher N\\
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[b]{0.27\textwidth}

 U réel\\
 N entier\\
 U prend la valeur 119\\
 N prend la valeur 0 \\
 \\
Tant que U < 200 faire\\
\hspace*{0.4cm} U prend la valeur 1,1 $\times$ U \\
\hspace*{0.4cm} N prend la valeur N+1 \\
Fin tant que\\
\\
 Afficher N\\
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[b]{0.27\textwidth}

U réel\\
N entier\\
U prend la valeur 119\\
N prend la valeur 0\\
\\
Tant que U < 200 faire\\
\hspace*{0.4cm} U prend la valeur 1,1 $\times$ U\\
\hspace*{0.4cm} N prend la valeur N+1\\
Fin tant que\\
\\
Afficher U\\
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabularx}

\item Par la méthode de votre choix, que vous expliquerez, déterminer l’année à partir de laquelle l’éleveur atteindra son objectif.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip


On s’intéresse à une population de tortues dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante.

L’évolution de cette population, en fonction du temps, peut être modélisée par la fonction $f$ définie
sur $[0~;~+\infty[ $ par
\[f(x)=332\,\e^{-0,261x}\]où $x$ représente le nombre d’années écoulées à partir du début de l’année 2020
et $f(x)$ le nombre de tortues.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner le nombre de tortues au début de l’année 2020 et au début de l’année 2021.

On arrondira à l’entier près par défaut.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Déterminer l’expression de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[ $ .
\item Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[ $.
\item Interpréter les résultats précédents dans le contexte de l’exercice.
\item Des études permettent d’affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de 30 individus, alors l’espèce est vouée à l’extinction.
Par la méthode de votre choix que vous expliquerez, déterminer cette date.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple, donné 
\textbf{en annexes $B_1$ et $B_2$ à rendre avec la copie}.

Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.

 Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.
 
\textbf{Cocher}, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\newpage

\textbf{ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice~~}1} 

\medskip 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
\diagbox[dir=SE]{Sexe}{Catégorie}& Espoir& senior& Vétéran&Total\\
 \hline
Homme&&&&\\
 \hline
 Femme&&&&\\
 \hline
 Total&&&&\np{2560}\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{1.5cm}


\textbf{ANNEXE B$_1$ (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice~~}4} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La taille en centimètres d’une femme en France est une variable aléatoire X distribuée selon la loi normale de moyenne \textmu=163.

95\,\% des femmes ont une taille comprise entre \np[cm]{152}  et \np[cm]{174}.

L’écart-type de la variable aléatoire, arrondi à $10^{-1}$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\Square~~ $5,5 $ &\Square~~ $3,7 $&\Square~~ $11 $& \Square~~ $6$
\end{tabularx}

\item Dans une station de ski, on a constaté que la probabilité qu’il neige un jour donné est $0,6$. La station de ski est ouverte $100$ jours par an. La probabilité qu’il neige au maximum 60 jours par an, arrondie à $10^{-4}$, est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\Square~~ $\np{0,5433}$ &\Square~~ $\np{0,0812}$&\Square~~ $\np{0,5379}$ & \Square~~ $\np{0,4621}$
\end{tabularx}

\vspace{1cm}


\textbf{ANNEXE B$_2$ (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}


\item\ 

\begin{minipage}[]{4cm}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-3,-5)(5,5)
\multido{\n=-2+1}{7}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-4.5)(\n,4.5)}
\multido{\n=-4+1}{9}{\psline[linewidth=0.25pt ,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](-2.3,\n)(4.3,\n)}
% \multido{\n=-11000+1000}{22}{\psline[linewidth=0.75pt](0,\n)(50,\n) \uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-2.7,-4.5)(4.4,4.4)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-1.54}{3.34}{x 2.5 sub x mul 2 sub x mul 2 add}
\psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=red,plotpoints=2500]{-1.1}{3.2}{x 2 neg mul 2 add}
\uput[u](2.9,3){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[r](0,2){A}\uput[dl](0,0){0}\uput[u](-1,3){\red $\Delta$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[]{8cm}
$\mathcal{C}_f$ est la courbe  représentative d’une  fonction $f$.

$\Delta$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point au point A$(0~;~2)$
\end{minipage}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\Square~~ $f'(0)=2 $ &\Square~~ $f(2)=0 $&\Square~~$f'(0)=-2$& \Square~~ $f(0)=-2  $.
\end{tabularx}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $]2~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{3x-5}{x-2}$.
 Une primitive $F$ de $f$ sur $]2~;~+\infty[$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\Square~~ $F(x)=\dfrac{-1}{(x-2)^2} $ &\Square~~ $F(x)=\ln(x-2)+3x-5 $\\
\Square~~ $ F(x)=\ln(x-2)+\dfrac{3}{2}x^2-5x$& \Square~~  une autre solution.
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\end{document}