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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Polynésie juin 2010}}

\bigskip

\textbf{L'annexe est à rendre avec la copie}
   
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

La fabrication des CD nécessite une grande quantité de ressources naturelles et génère beaucoup de déchets. Afin de sensibiliser un lycée à ce problème, une enquête a été réalisée auprès des 750 personnes de ce lycée (élèves et agents) pour savoir s'ils utilisaient complètement leurs CD :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 80\,\% des personnes du lycée sont des élèves ; 
\item[$\bullet~$] 95\,\% des élèves gravent complètement leurs CD ; 
\item[$\bullet~$] 50 agents ne gravent pas complètement leurs CD. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau donné en annexe. 
\item On choisit une personne au hasard dans le lycée.
 
On considère les évènements :
 
E : \og La personne choisie est un élève \fg{} ;
 
G : \og La personne choisie grave complètement ses CD \fg.
 
Les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irréductibles. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que la personne choisie soit un élève qui grave complètement ses CD. 
		\item Déterminer la probabilité que la personne choisie soit un élève sachant qu'elle grave complètement ses CD. 
		\item Les évènements E et G sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip
 
Soit la fonction numérique $f$, définie sur l'intervalle I $= \left]- \dfrac{2}{3}~;~5\right]$ par :

\[f(x) = -x + 8 + 2 \ln (3x + 2) \]

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 3~cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 
\item 1 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $- \dfrac{2}{3}$.  
		\item Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier que $f'(x)= \dfrac{- 3x + 4}{3x + 2}$ pour tout $x$ de l'intervalle I.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f'(x)$ est du signe de $(-3x + 4)$ sur I. 
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$. On donnera la valeur exacte de $f\left( \dfrac{4}{3}\right)$ et de $f(5)$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$. 
\item Compléter le tableau de valeurs donné en \textbf{annexe 1}. Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.
\item Construire $\mathcal{C}_{f}$ et (T).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3 : VRAI-FAUX \hfill 6 points}

\medskip
 
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer sur votre copie si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant votre réponse.
 
Une réponse exacte non justifiée ne rapporte pas de point.
 
\textbf{Proposition 1 :} $\dfrac{4}{3}$ est solution de l'équation $\text{e}^{-3x+4} = 1$.

\bigskip
 
\textbf{Proposition 2 :} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-3x+1} = - \infty$. 

\bigskip
 
\textbf{Proposition 3 :} 	$x^2 + x < 0$ pour tout $x \in  ]-1~;~0[$. 

\bigskip

\textbf{Proposition 4 :} 	$\ln (72) = 3 \ln 2 + 2 \ln 3$. 

\bigskip

\textbf{Proposition 5 :} 	La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = (x - 2)\text{e}^{- x}$ est une primitive de la fonction $f$ définie 
sur $\R$ par $f(x) = (3 - x)\text{e}^{- x}$

\bigskip
 
\textbf{Proposition 6 :} $\displaystyle\int_{-1}^0 \left(2\text{e}^x + x^2 \right)\:\text{d}x = - 2\text{e}^{-1} + \dfrac{1}{3}$. 

\newpage

\begin{center} 
\textbf{ANNEXE (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Elèves &Agents &Total\\ \hline% 
Gravent complètement leurs CD&&& \\ \hline% 
Ne gravent pas complètement leurs CD&&& \\ \hline% 
Total&&&750 \\ \hline% 
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&$- 0,65$&$- 0,5$&0&1&$\dfrac{4}{3}$&2&3&4&5\\ \hline%
$f(x)$&&&&&&&&&\\ \hline%
\end{tabularx}
\end{document}