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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Nouvelle--Calédonie novembre 2009}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

La probabilité qu'un tireur à l'arc atteigne sa cible est égale à $\dfrac{3}{4}$.

Le tireur effectue 12 lancers successifs et indépendants.

X est la variable aléatoire égale au nombre de fois o˘ le tireur atteint sa cible.

\medskip

Compléter le QCM donné en annexe A.

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Dans une kermesse, un jeu est organisé. Le joueur réalise un tirage en deux étapes.

\medskip

\textbf{1\up{re} étape :}

\medskip

Le joueur tire au hasard un billet dans un sac. Dans ce sac, on a placé 4 billets indiscernables au toucher :

3 billets sont marqués \og U$_{1}$ \fg{} et 1 billet est marqué \og U$_{2}$ \fg.

\medskip

\textbf{2\up{e} étape :}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si le joueur a obtenu un billet marqué \og U$_{1}$ \fg, il tire alors un jeton dans une urne U$_{1}$.
Dans cette urne sont placés 10 jetons :
8 jetons sont marqués \og perdant \fg{} et 2 jetons sont marqués \og gagnant\fg.
\item[$\bullet~$] Si le joueur a obtenu le billet marqué \og U$_{2}$ \fg, il tire alors un jeton dans une urne U$_{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Dans cette urne sont placés 10 jetons :

5 jetons sont marqués \og perdant \fg{} et 5 jetons sont marqués \og gagnant\fg.

On note U$_{1}$ l'évènement \og le joueur a tiré un billet U$_{1}$ \fg.

On note U$_{2}$ l'évènement \og le joueur a tiré un billet U$_{2}$ \fg.

On note G l'évènement \og le joueur a tiré un jeton marqué gagnant \fg.

Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près si nécessaire.

\begin{enumerate}
\item Décrire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités en précisant les probabilités sur chaque branche.
\item Calculer la probabilité de l'évènement U$_{1} \cap$ G puis celle de l'évènement U$_{2}~\cap$~G.
\item En déduire la probabilité de l'évènement G.
\item Sachant que le joueur a gagné, quelle est la probabilité que son billet gagnant soit tiré de l'urne U$_{1}$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée en annexe B est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur I = ]2~;~10] par

\[f(x) = a \ln(x - 2) - x + b \quad \text{o˘} ~ a~ \text{et}~ b~\text{sont deux réels.}\]

La droite (T), tangente à la courbe au point A d'abscisse 8, est parallèle à l'axe des abscisses.
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(3)$ et $f'(8)$ en expliquant votre démarche.
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de ]2~;~10].
\item En utilisant les questions précédentes, déterminer les réels $a$ et $b$. En déduire l'expression de $f(x)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que $f$ est la fonction définie sur I = ]2~;~10] par 

\[f(x) = 6 \ln(x - 2) - x + 2.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en 2.
		\item  Interpréter graphiquement cette limite.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{8 - x}{x - 2}$ pour tout $x$ de I.
		\item Montrer que $f'(x)$ est du signe $(8 - x)$ sur I.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur I. Calculer les valeurs exactes de $f(8)$ et de $f(10)$.
 	\end{enumerate}
\item Déterminer par le calcul une équation de la tangente (T$_{1}$) à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 3.
\item  Tracer (T$_{1}$) et l'asymptote éventuelle dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée en annexe B.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la fonction définie sur I par :
		
\[F(x) = 6(x - 2)\ln(x - 2) - \dfrac{1}{2}x^2 - 4x\]
		
Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur I.
		\item  Calculer la valeur exacte, puis une valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $\displaystyle\int_{4}^8 f(x)\:\text{d}x$.
		
En donner une interprétation graphique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)} \end{center}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 : QCM}

\medskip

Cocher pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ avec :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box~~$}X}}
$n = 12 ~\text{et}~p =\dfrac{3}{4}$ &$n = \dfrac{1}{4}~\text{et}~	p = 12$	\\
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\item  La probabilité que le tireur atteigne 9 fois la cible, arrondie à $10^{-4}$ près, est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box~~$}X}}
\np{0,0317} & \np{0,0004}	\\
\np{0,2581}	& \np{0,0751}	\\
\end{tabularx}
 
\medskip


\item  La probabilité que le tireur atteigne au moins 10 fois la cible est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box~~$}X}}
$P(\text{X} = 11) + P(\text{X} = 12)$ &$1 - [P(\text{X} = 10) + P(\text{X} = 11) + P(\text{X} = 12)]$		\\
$1 - [P(\text{X} = 11) + P(\text{X} = 12)]$&$ P(\text{X} = 10) + P(\text{X} = 11) + P(\text{X} = 12)$\\
\end{tabularx}
 
\medskip
 

\item L'espérance de la variable aléatoire X est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box~~$}X}}
3 &	9	\\
1 & 4 \\
\end{tabularx}
 
\medskip
 

\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE B (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\textbf{Représentation graphique de} \boldmath $f$ \unboldmath

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-16)(11,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-16)(11,8)
\psplot[plotpoints=10000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.07}{10}{x 2 sub ln 6 mul x sub 2 add}
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](\n,-16)(\n,8)}
\multido{\n=-16+1}{25}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(11,\n)}
\psline{<->}(6,4.75056)(10,4.75056) \uput[r](10,4.75056){(T)}\uput[u](8,4.75056){A}\uput[r](2.1,-15){$\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}