\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[upright]{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,makeidx} \usepackage{fancybox,cancel} \usepackage{tabularx,enumerate} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage[table]{xcolor} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.6cm, bottom=2.5cm]{geometry} %\setlength{\textheight}{23,5cm} %Tapuscrit et corrigé : Jean-Claude Souque \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique} \lfoot{\small{Métropole}\hspace{3mm} correction} \rfoot{\small{juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray Baccalauréat STG - Mercatique \\ Métropole juin 2012\hspace{3mm}Correction}} \vspace{0.5cm} \end{center} {\textbf\textsc{{Exercice} 1 \hfill 4 points}} \emph{\footnotesize Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$. } \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$, le nombre $\mathrm{e}^{2x+\ln 3}$ est égal à : \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \textbf{a.}~~ \ovalbox{$3\mathrm{e}^{2x}$}&\textbf{b.}~~\cancel{ $3+\mathrm{e}^{2x}$}&\textbf{c.}~~ \cancel{$2x+3$} \end{tabularx} $\e^{2x+\ln3}=\e^{2x}\e^{\ln3}$ or $\e^{\ln3}=3$ \bigskip \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=5x\ln x$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. Pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, on a : \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \textbf{a.~~} \cancel{$f'(x)=5\ln x$}&\textbf{b.~~} \ovalbox{$f'(x)=5(\ln x+1)$}&\textbf{c.~~} \cancel{$f'(x)=\dfrac{5}{x}$}. \end{tabularx} $f'(x)=5\ln x+ 5x\times \frac{1}{x}$ \bigskip Pour les questions suivantes, $g$ est la fonction définie et dérivable sur $[-3~;~4]$, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-5,-3)(4,5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-3)(5,4) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-4,-3)(5,4)%grille %\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-3,0)(-2.5,1.4)(-2,2.3)(-1.5,2.8)(-1,3)(-0.5,2.8)(0,2.3)(0.5,1.2)(1,0)(1.5,-1)(2,-1.5)(3,0)(3.5,1.2)(4,2) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-3}{1}{-0.75*(x+3)*(x-1)} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1}{3}{1.5*(x-1)*(x-3)} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{3}{4}{-(x-3)*(x-6)} \psline[linecolor=red,linewidth=0.75pt](-4,2.5)(4,2.5) \psdot[dotstyle=Circle,dotscale=1.5](-1.8,2.5)\psdot[dotstyle=Circle,dotscale=1.5](-0.18,2.5) \psline[linecolor=red,linewidth=0.75pt]{<->}(-2,3.015)(0,3.015)\psline[linecolor=red,linewidth=0.75pt]{<->}(1,-1.5)(3,-1.5) \end{pspicture*} \end{center} \bigskip \item Sur l'intervalle $[-3~;~4]$, l'équation $g(x)=2,5$ possède : \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \textbf{a.}~~ \cancel{une solution} &\textbf{b.}~~ \ovalbox{deux solutions} &\textbf{c.}~~ \cancel{trois solutions}. \end{tabularx} \bigskip \item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur $[-3~;~4]$. Alors $g'(x)\leqslant 0$ pour tout $x$ de l'intervalle : \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \textbf{a.}~~ \cancel{$[1~;~3]$}&\textbf{b.}~~ \cancel{$[-3~;~0]$}&\textbf{c.}~~ \ovalbox{$[-1~;~2]$}. \end{tabularx} $g$ décroissante sur $I$ alors pour tout $x \in I,\ g'(x)\leqslant0 $ \end{enumerate} \newpage {\textbf\textsc{{Exercice} 2 \hfill 5 points}} Le cuisinier d'une colonie de vacances a confectionné des beignets pour le goûter : \begin{enumerate} \item[$\bullet$] 30\:\% des beignets sont à l'ananas, les autres sont aux pommes ; \item[$\bullet$] 35\:\% des beignets à l'ananas sont aromatisés à la cannelle, ainsi que 45\:\% des beignets aux pommes. \end{enumerate} On choisit un beignet au hasard. On admet que chaque beignet a la même probabilité d'être choisi. On définit les événements suivants : \begin{enumerate} \item [$\bullet$]A : \og{} le beignet choisi est à l'ananas \fg{} ; \item [$\bullet$]C : \og{} le beignet choisi est aromatisé à la cannelle \fg{}. \end{enumerate} On note $\overline{\text{A}}$ l'événement contraire de A et $\overline{\text{C}}$ l'événement contraire de C. \emph{\footnotesize On demande les valeurs exactes des probabilités, qui seront données sous forme décimale.} \begin{enumerate} \item Donnons la probabilité $p_{\text{A}}(\text{C})$ de l'événement C sachant que l'événement A est réalisé. $p_{A}(C)=\np{0.35}$ car 35\:\% des beignets à l'ananas sont aromatisés à la cannelle. \item Complétons l'arbre de probabilités. \begin{center} \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R,nrot=:U]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $\np{0.3}$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $\np{0.35}$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C}$}\tbput{ $\np{0.65}$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{ $\np{0.7}$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $\np{0.45}$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C}$}\tbput{ $\np{0.55}$} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item $\text{A}\cap \text{C}$ est l'événement : \og le beignet choisi est à l'ananas et est aromatisé à la canelle\fg. \item Calculons la probabilité de cet événement. $p(A \cap C)= p(A)\times p_A(C)=\np{0.3}\times \np{0.35}=\np{0.105}$ \end{enumerate} \item Calculons la probabilité de l'événement C . \[p(C)=p(A \cap C)+p(\overline{A} \cap C)=\np{0.105}+\np{0.7}\times \np{0.45}=\np{0.105}+\np{0.315}=\np{0.42}\] \item Les événements A et C sont indépendants si $p(A\cap C)=p(A)p(C)$. $p(A\cap C)=\np{ 0.105}$, $p(A)p(C)=\np{0.3} \times \np{0.42}=\np{0.126}$. Les événements A et C ne sont pas indépendants. \item Calculons la probabilité que le beignet soit à l'ananas, sachant qu'il est aromatisé à la cannelle. Calculons alors $p_C(A)$. \[p_C(A)=\dfrac{p(A \cap C)}{p(C)}=\dfrac{\np{0.105}}{\np{0.42}}=\np{0.25}.\] \end{enumerate} {\textbf\textsc{{Exercice} 3 \hfill 5 points}} Monsieur X possède depuis le 1\ier{} janvier 2010 une messagerie électronique professionnelle, sur laquelle il conserve tous les messages reçus ou envoyés, en les classant par année. Il a constaté au 31 décembre 2010 que la taille du dossier contenant les messages de l'année 2010 était de 4 Mégaoctets~(Mo). Une étude a montré que la taille des messages électroniques professionnels augmentait en moyenne de 5\:\% par an. On fait l'hypothèse que cette augmentation se maintient au moins jusqu'en 2016. On note $u_n$ la taille, en Mégaoctets, du dossier contenant les messages de l'année $(2010+n)$. selon le modèle décrit précédemment. On a donc $u_0=4$. On utilise une feuille de calcul d'un tableur pour observer l'évolution de la taille de l'ensemble des dossiers de Monsieur X depuis 2010. \begin{center} \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.75}}c|c|c|>{\centering \arraybackslash}p{3.5cm}|>{\centering \arraybackslash}m{3.85cm}|}\hline \rowcolor[gray]{0.75}&A & B & C& D\\\hline \hline 1&Année&$n$&$u_n$&Taille de l'ensemble des dossiers (en Mo)\\ \hline 2&2010&0&4,00&4,00\\ \hline 3&2011&1&4,20&8,20\\ \hline 4&2012&2&4,41&12,61\\ \hline 5&2013&3&&\\ \hline 6&2014&4&&\\ \hline 7&2015&5&&\\ \hline 8&2016&6&&\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Le taux annuel d'évolution étant de 5~\%, le coefficient multiplicateur associé est \np{1.05}. Chaque terme, sauf le premier, se trouvant multiplié par \np{1.05} par rapport au précédent, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison \np{1.05}. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$ donc ici, $u_n=\np{4}\times(\np{1.05})^n$. \item Selon ce modèle, calculons la taille, à 0,01 Mo près, du dossier de l'année 2016. En 2016, nous avons n=6, calculons $u_6$. $u_6=4\times \np{1,05}^{6}\approx\np{5,3603}$. La taille du dossier en 2016 est d'environ \np{5.36}~Mo. \item \begin{enumerate} \item \'Ecrivons une formule qui, saisie dans la cellule C3, puis recopiée vers le bas, permet d'obtenir les valeurs de la colonne C: = C2*1,05 ou =\$ C2*1,05 ou \verb|=$C$2*1,05^B3| \item Parmi les formules suivantes, indiquons toutes celles qui, saisies dans la cellule D3, puis recopiées vers le bas, permettent d'obtenir les valeurs de la colonne D. \begin{tabularx}{\linewidth}{c*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \cancel{=SOMME(C2:C3)}&\ovalbox{=SOMME(\$C\$2:C3)} &\ovalbox{=D2+C3} & =\cancel{\$D\$2+C3}\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculons la taille, à 0,01 Mo près, de l'ensemble des dossiers au 31 décembre 2016. Calculons $u_0+u_1+\dots u_6$ que nous pouvons noter $S_6$. \[S_6=u_0\dfrac{q^{7}-1}{q-1}=4\dfrac{\np{1,05}^7-1}{\np{1.05}-1}\approx \np{32,57}\] La taille de l'ensemble des dossiers au 31 décembre 2016 sera d'environ \np{32,57}~Mo. \item La capacité de stockage de la messagerie est limitée à 30 mégaoctets. Nous pouvons estimer que Monsieur X ne pourra conserver la totalité de ses messages, car la capacité de stockage de la messagerie est inférieure à la taille de l'ensemble de ses dossiers. $\np{32.57} > 30$. \end{enumerate} \end{enumerate} % \emph{On pourra utiliser le formulaire suivant :} % \begin{enumerate} % \item[$\bullet$] La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ est donnée par : \[u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\times \dfrac{u_0+u_n}{2}.\] % \item [$\bullet$] La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $b$ $(b\neq 1)$ est donnée par : \[u_0+u_1+\cdots+u_n==u_0\times \dfrac{1-b^{n+1}}{1-b}.\] % \end{enumerate} {\textbf\textsc{{Exercice} 4 \hfill 6 points}} \textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} On s'intéresse à l'évolution de la fréquentation des camping 4 étoiles ou plus en France métropolitaine. \bigskip \textbf{Partie A} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année&2004&2005&2006&2007&2008&2009&2010\\ \hline Rang de l'année $x_i$&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline Fréquentation en milliers de nuitées $y_i$&\np{25156}&\np{26470}&\np{28295}&\np{28897}&\np{30063}&\np{31212}&\np{32014}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \emph{\small Sources : INSEE : Direction générale de la compétitivité, de l'industrie et des services (DGCIS)} %Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de 0 à 6 est représenté en \textbf{annexe}. \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{1136.6}x+\np{25462,5}$. \item On décide d'ajuster le nuage avec la droite (D) d'équation $y=\np{1150}x+\np{25500}$. \begin{enumerate} \item Traçons la droite D sur le graphique de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}. \item Déterminons graphiquement le nombre de nuitées prévu par ce modèle d'ajustement en 2014. En 2014, le rang de l'année est 10. L'ordonnée du point de (D) d'abscisse 10 est \np{37000}. En 2014, le nombre de nuitées prévu par ce modèle d'ajustement en 2014 est de \np{37000}. \item Calculons le nombre de nuitées prévu par ce modèle d'ajustement en 2014. Remplaçons dans l'équation de (D), $x$ par 10. $y=\np{1150}\times 10+\np{25500}=\np{37000}$. Nous retrouvons bien le résultat précédent. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{gray}{Partie B}} On construit le tableau ci-dessous des indices de la fréquentation des campings 4 étoiles ou plus, en prenant comme indice de référence 100 en 2004. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année&2004&2005&2006&2007&2008&2009&2010\\ \hline Fréquentation en milliers de nuitées $y_i$&\np{25156}&\np{26470}&\np{28295}&\np{28897}&\np{30063}&\np{31212}&\np{32014}\\ \hline Indice&100&105,22&112,48&&119,51&124,07&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculons l'indice, arrondi au centième, correspondant à l'année 2007.\[I_{2007}=\dfrac{N_{2007}\times 100}{N_{2004}}=\dfrac{\np{28897}\times 100}{\np{25156}}\approx\np{114.87}\] \item \begin{enumerate} \item Calculons le taux global d'augmentation de la fréquentation des campings 4 étoiles ou plus entre 2004 et 2010. Le taux est défini par $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. Si l'on appelle $T$ le taux global d'évolution, $T=\dfrac{\np{32014}-\np{25156}}{\np{25156}}\approx \np{0.2726}$. Le taux global d'augmentation entre 2004 et 2010 est d'environ \np{27.26}\,\%. {\scriptsize \emph{remarque} Nous aurions aussi pu calculer l'indice de fréquentation pour 2010. Le résultat est \np{127,26}. Par conséquent le taux d'évolution global entre 2004 et 2010 est (\np{127,26} - 100)\,\% soit \np{27,26}\;\%.} \item Entre 2004 et 2010, le nombre de la fréquentation a subi 6 évolutions. En 2010, le nombre de la fréquentation de 2004 a été multiplié par $1 + T$ d'une part ou par $(1+t_m)^{6}$ d'autre part, $t_m$ désignant le taux moyen d'augmentation. Nous avons alors \[\left(1 + t_m\right)^{6} = 1,2726 \quad \text{il en résulte }\quad t_m=(\np{1,2726})^{\tfrac{1}{6}}- 1\approx \np{0,040995}\] Le taux moyen d'augmentation de la fréquentation des campings 4 étoiles ou plus entre 2004 et 2010 à 0,01 près est \np{4,10}\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{{Annexe de l'exercice 4\\ (à rendre avec la copie)}} \end{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.001cm} \begin{pspicture}(-2,0)(11,16000) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Ox=0,,Dy=1000,Oy=25000]{->}(0,0)(11.5,15400) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,156)(1,1470)(2,3295)(3,3897)(4,5063)(5,6212)(6,7014) \multido{\n=0+500}{31}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(11,\n)} \multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,15000)} \rput(12,150){Rang de} \rput(12,-150){l'année} \rput(2,15500){Fréquentation en milliers de nuitées} \psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{10.5}{1150 x mul 500 add} \psline[linewidth=1.35pt,linecolor=red,linestyle=dashed,arrowsize=10pt,ArrowInside=->]{->}(10,0)(10,12000) \psline[linewidth=1.35pt,linecolor=red,linestyle=dashed,,arrowsize=10pt,ArrowInside=->]{->}(10,12000)(0,12000) \end{pspicture} \end{document}