\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox,cancel} \usepackage{tabularx} \usepackage{colortbl} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrig\'e : Jean-Claude Souque \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2cm, right=2cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} %\setlength{\textheight}{23,5cm} %\setlength{\textwidth}{13cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{C. G. R. H.} \lfoot{\small{Polynésie}\hspace{3mm}correction} \rfoot{\small{6 juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalauréat STG CGRH Polynésie \decofourright\\ 6 juin 2012\hspace{3mm} correction}} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip {\footnotesize \textbf{Cet exercice est un Q.C.M.} \emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte.\\ Une réponse juste apporte $1$ point; une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.} Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. } \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x \neq - 1$ par $f(x) = \dfrac{x + 2}{x + 1}$. \begin{enumerate} \item L'image de 3 par la fonction $f$ est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~\cancel{$\dfrac{14}{3}$}&B.~~\ovalbox{$\dfrac{5}{4}$}&C.~~\cancel{$2$}\\ \end{tabularx} \smallskip {\footnotesize $f(3)=\frac{3+2}{3+1}$} \medskip \item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. Le point de coordonnées $(-2~;~0)$ est situé : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~ \cancel{au-dessous de la courbe $\mathcal{C}$}& B.~~ \cancel{au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$ }& C.~~ \ovalbox{sur la courbe $\mathcal{C}$} \end{tabularx} \smallskip {\footnotesize $f(-2)=\frac{-2+2}{-2+1}=0$ par conséquent le point de coordonnées ($-2~;~0$) appartient à la courbe.} \medskip \item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout réel $x \neq -1$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~ \ovalbox{$f^{\prime}(x) = \dfrac{- 1}{(x + 1)^2}$}&B.~~ \cancel{$f^{\prime}(x) = 1$}& C.~~ \cancel{$f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x + 1}$}\\ \end{tabularx} \smallskip {\footnotesize $f^\prime(x)=\frac{1(x+1)-1(x+2)}{(x+1)^2}=\frac{-1}{(x+1)^2}$} \medskip \end{enumerate} \item La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $[-4~;~2]$ et la droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{P}$ au point d'abscisse $1$. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-3)(3,3) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-3)(3,3) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2}{1.5 x dup mul 2 div sub x sub} \psplot{-0.5}{2.5}{2 x 2 mul sub} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](2.8,0){$x$}\uput[l](0,2.8){$y$} \uput[u](-2.5,1.3){$\mathcal{P}$}\uput[u](2.2,-2.2){$\mathcal{D}$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item L'équation $g(x) = 0$ a pour solution(s) : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~\cancel{ 1,5} &B.~~ \cancel{$- 1$} &C.~~ \ovalbox{$- 3$ et 1}\\ \end{tabularx} {\footnotesize abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses} \medskip \item L'inéquation $g(x) \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~ \cancel{$[-4~;~-1]$ } &B.~~ \ovalbox{$[-3~;~ 1]$ } &C.~~\cancel{ $[0~;~ 2]$}\\ \end{tabularx} {\footnotesize intervalle pour lequel les points de la courbe sont situés sur ou au dessus de l'axe des abscisses} \medskip \item On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de $g$. On a : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~ \ovalbox{$g^{\prime}(1) = - 2$} &B.~~ \cancel{$g^{\prime}(1) = - \dfrac{1}{2}$ }&C.~~\cancel{$g^{\prime}(1) = 2$}\\ \end{tabularx} \smallskip {\footnotesize $g^\prime(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 à la courbe représentative de $f$. La droite passe par (1~;~0) et (0~;~2)} \medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Au cours d'une épidémie virale on a relevé chaque semaine le nombre, exprimé en milliers, de personnes contaminées. Le tableau ci-dessous rend compte de cette enquête sur une période de 10 semaines. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Semaine $\left(x_{i}\right)$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline Nombre de cas en milliers $\left(y_{i}\right)$&2&5&7&15&30&33&50&68&79&92\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item La représentation du nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à la série statistique ci-dessus est effectuée page~\pageref{dreg}. %(unités graphiques : 1 cm pour 1 semaine en abscisse, 1 cm pour 10 milliers de personnes en ordonnée). \`A l'aide de la calculatrice, déterminons une équation de la droite d'ajustement affine de ce nuage par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au millième. $y=\np{10.552} x-\np{19.933}$ \item En utilisant ce modèle, déterminons le nombre de personnes contaminées que l'on peut prévoir à la 14\up{e} semaine. Remplaçons $x$ par 14 dans l'équation de la droite. $y=\np{10.552} \times 14-\np{19.933}\approx \np{127.795}$. On peut envisager \np{128000} personnes contaminées. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculons le taux d'évolution, exprimé en pourcentage et arrondi au dixième, du nombre de personnes contaminées entre la 8\up{e} et la 10\up{e} semaine. Le taux $t$ est défini par $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $t=\dfrac{92-68}{68}\approx \np{0.3529}$ Le taux d'augmentation du nombre de personnes contaminées entre la huitième et la dixième semaine est d'environ \np{35.3}\;\%. \item Calculons le taux d'évolution hebdomadaire moyen, exprimé en pourcentage et arrondi au dixième, du nombre de personnes contaminées sur cette même période. Entre la huitième et la dixième semaine, le nombre de personnes contaminées a subi deux évolutions. La dixième semaine, le nombre de personnes contaminées de la huitième semaine a été multiplié par 1,3529 ou par $(1+t_m)^2$, $t_m$ désignant le taux moyen d'augmentation. Nous avons alors \[(1+t_m)^{2}=1,3529\quad \text{il en résulte }\quad t_m=(\np{1.3529})^{\tfrac{1}{2}}-1\approx \np{0.16314} \] Le taux moyen d'augmentation du nombre de personnes contaminées durant cette période exprimé en pourcentage et arrondi au dixième est \np{16.3}\,\%. \item On suppose que, à partir de la 10\up{e} semaine, le nombre de personnes contaminées augmente chaque semaine de 16,3\,\%. \begin{enumerate} \item Calculons le nombre de personnes contaminées à la 11\up{e} semaine. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de \np{16.3}\;\% est \np{1.163}. $92 \times \np{1.163}=\np{106.996}$, la onzième semaine nous aurons alors, en arrondissant au millier, \np{107 000} personnes contaminées \item Calculons, en utilisant ce modèle, le nombre, arrondi au millier, de personnes contaminées à la 14\up{e} semaine. Chaque semaine le nombre de personnes contaminées à la dixième semaine est multiplié par \np{1.163}. Il y a 4 semaines pour aller à la quatorzième semaine. $92\times \np{1.163}^4\approx \np{168.309}$; la quatorzième semaine, le nombre de personnes contaminées s'élèvera à environ \np{168000}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip En réalité le nombre de cas relevés à la 14\up{e} semaine a été égal à \np{152000}. \begin{enumerate} \item On aurait pu prévoir, à l'aide du nuage de points, l'écart entre l'estimation obtenue à la partie A et le nombre réel de personnes contaminées à la 14\up{e} semaine. Les points ne semblent pas former un alignement, dispersion assez grande autour de la droite. \item Le modèle utilisé à la partie B donne une meilleure estimation du nombre réel de personnes contaminées à la 14\up{e} semaine que celui de la partie A car la différence entre la valeur réelle et la valeur estimée est plus faible :\begin{itemize} \item [$\bullet$]$\np{168000}-\np{152000} =\np{16000}$ pour le modèle B ; \item [$\bullet$]$\np{152000}-\np{128000} =\np{24000}$ pour le modèle A. \end{itemize} \end{enumerate} \pagebreak \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une enquête est réalisée auprès des \np{1500} élèves du lycée Bourbaki qui possèdent un téléphone portable afin de connaître le type d'appareil et le type de forfait dont ils disposent. Il en ressort que : 210 élèves possèdent un \emph{smartphone} et parmi eux 20\,\% ont un forfait bloqué. 375 élèves ont un forfait non bloqué. Compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline &Nombre d'élèves ayant un \emph{smartphone}&Nombre d'élèves ayant un autre téléphone& Total\\ \hline Nombre d'élèves ayant un forfait bloqué &$210\times \np{0.2}=\color{blue}{42} $&$\np{1125}-42=\color{blue}{\np{1083}}$ &$\np{1500}-375=\color{blue}{\np{1125}}$\\ \hline Nombre d'élèves ayant un forfait non bloqué &$210-42=\color{blue}{168}$ &$375-168=\color{blue}{207}$ &375\\ \hline Total &210&$\np{1500}-210=\color{blue}{\np{1290}}$ &\np{1500}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \medskip \textbf{Partie B} \medskip On interroge au hasard un élève du lycée Bourbaki et on considère les événements: \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $S$ : \og l'élève interrogé a un \emph{smartphone} \fg \item $B$ : \og l'élève interrogé a un forfait bloqué \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} L'univers est l'ensemble des élèves du lycée et la loi mise sur cet univers est la loi équirépartie. Pour un événement $A$ : $p(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ \begin{enumerate} \item Calculons la probabilité de l'événement B et celle de l'événement S. Il y a \np{1125} élèves ayant un forfait bloqué. Par conséquent $p(B)=\dfrac{\np{1125}}{\np{1500}}=\dfrac{3}{4}=\np{0.75}$ Il y a \np{210} élèves ayant un \emph{smartphone}. Par conséquent $p(S)=\dfrac{\np{210}}{\np{1500}}=\dfrac{7}{50}=\np{0.14}$ \item L'élève interrogé a un \emph{smartphone}. Calculons la probabilité qu'il ait un forfait non bloqué, c'est-à-dire calculons $p_{S}(\overline{B})$. \[p_{S}(\overline{B})=\dfrac{p(S \cap \overline{B})}{p(S)}=\dfrac{\frac{168}{\np{1500}}}{\frac{210}{\np{1500}}}=\dfrac{168}{210}=\dfrac{4}{5}=\np{0.8}\] {\scriptsize \emph{Remarque} Puisque 210 élèves possèdent un \emph{smartphone} et parmi eux 20\;\% ont un forfait bloqué, on peut donc aussi dire que parmi eux 80\,\% ont un forfait non bloqué} \item \begin{enumerate} \item L'événement $S \cup B$ est l'événement \og l'élève interrogé a un \emph{smartphone} ou a un forfait bloqué\fg{}. \item Calculons la probabilité de l'événement $S \cup B$. Calculons d'abord $p(S \cap B)$. Il y a 42 élèves ayant un forfait bloqué et un \emph{smartphone}. Par conséquent $p(S\cap B)=\dfrac{42}{\np{1500}}=\dfrac{7}{250}=\np{0.028}$. \[p(S \cup B)= p(S)+ p(B)-p(S\cap B)=\dfrac{7}{50}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{250}=\dfrac{431}{500}\] ou\[p(S \cup B)= p(S)+ p(B)-p(S\cap B)=\np{0.14}+\np{0.75}-\np{0.028}=\np{0.862}\] \end{enumerate} \end{enumerate} \psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(-1,-25)(15.5,140) \psaxes[linewidth=1.1pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-0.95,-25)(15.3,138) \multido{\n=-0.5+0.5}{32}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](\n,-25)(\n,135)} \multido{\n=-25+5}{33}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](-0.5,\n)(15,\n)} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,2)(2,5)(3,7)(4,15)(5,30)(6,33)(7,50)(8,68)(9,79)(10,92) \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=8000]{0}{14.5}{10.551515 x mul 19.93333 sub} \uput[dl](0,0){$0$}\rput(2.3,133.6){Nombre de cas en milliers}\rput(15.92,2.45){Semaine} \end{pspicture} \label{dreg} \end{document}