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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Mercatique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small 23 juin 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique La Réunion~\decofourright\\23  juin 2010}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\ 
Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip
 
Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calcul obtenue à l'aide d'un tableur. Dans la colonne B figure le nombre, en milliers, de voitures particulières produites en France chaque mois, de mars 2008 à mars 2009.

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B&C\\ \hline
1	&Mois& Nombre de voitures particulière produites, en milliers&Taux d'évolution depuis mars 2008\\ \hline
2	&mars 2008		&472,63&\\ \hline
3	&avril 2008		&511,68&8,26\,\%\\ \hline
4	&mai 2008		&461,18&$-2,42$\,\%\\ \hline
5	&juin 2008		&460,59&\\ \hline
6	&juillet 2008	&486,05&\\ \hline
7	&août 2008		&164,07&\\ \hline
8	&septembre 2008	&487,00&\\ \hline
9	&octobre 2008	&447,17&\\ \hline
10	&novembre 2008	&301,96&\\ \hline
11	&décembre 2008	&172,53&\\ \hline
12	&janvier 2009	&286,52&\\ \hline
13	&février 2009	&289,28&\\ \hline
14	&mars 2009		&394,62&\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source : INSEE}}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
La plage B2\negthinspace:B14 est au format nombre à deux décimales.
 
La plage C3\negthinspace:C 14 est au format pourcentage à deux décimales.

\medskip
 
Dans la colonne C, partiellement remplie, on veut afficher le taux d'évolution du nombre de voitures particulières produites, entre le mois de mars 2008 et chacun des mois suivants.
 
Par exemple :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] dans la cellule C3 est affiché le taux d'évolution du nombre de voitures particulières produites entre mars 2008 et avril 2008. 
\item[$\bullet~$] dans la cellule C12 sera affiché le taux d'évolution du nombre de voitures particulières produites entre mars 2008 et janvier 2009.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La valeur affichée dans la cellule C5 sera : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $- 0,97$\,\%& 
\textbf{b.~~} $- 12,04$\,\% &
\textbf{c.~~} $- 2,55$\,\%\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item  Quelle formule, à recopier sur la plage C3\negthinspace:C14, peut-on entrer dans la cellule C3 ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} = (B3-B2)/B2& 
\textbf{b.~~} (B\$3-B2)/B2&
\textbf{c.~~} (B3-B\$2)/B\$2\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item Le nombre de voitures particulières produites en mars 2008 est pris comme indice base 100.
 
L'indice de mai 2008, arrondi au centième, est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} 97,58& 
\textbf{b.~~} 102,42&
\textbf{c.~~} 88,55\\
\end{tabularx}
 
\item Sur les douze mois de mars 2008 à mars 2009, le taux d'évolution mensuel moyen du nombre de voitures particulières produites, arrondi au centième près, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $- 16,51$\,\%& 
\textbf{b.~~} $- 1,49$\,\%&
\textbf{c.~~} $- 1,38$\,\%\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip 

Un club d'arts martiaux propose à ses adhérents de pratiquer le judo ou le karaté. Ce sont les deux seuls proposés. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu'un seul de ces deux arts martiaux.
 
De plus, certains des adhérents font de la compétition, d'autres non.

\medskip
 
À son entrée dans le club, chaque adhérent a rempli une fiche de renseignements. En consultant ces fiches, on constate que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 40\,\% des adhérents pratiquent le judo et, parmi eux, 65\,\% font de la compétition ; 
\item[$\bullet~$] parmi les adhérents qui pratiquent le karaté, 45\,\% font de la compétition.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit une fiche au hasard. On suppose que chaque fiche a la même probabilité d'être choisie. 

\medskip

On définit les évènements suivants :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $J$ : \og la fiche est celle d'un adhérent qui pratique le judo \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] $K$ : \og la fiche est celle d'un adhérent qui pratique le karaté \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] $C$ : \og la fiche est celle d'un adhérent qui fait de la compétition \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité que la fiche tirée soit celle d'un adhérent qui fait de la compétition, sachant qu'il fait du karaté. 
\item  Reproduire et compléter sur la copie l'arbre de probabilités représenté ci-dessous.

\medskip
 
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$J$}\taput{$0,4$}}
		{
\TR{$C$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{C}$}\tbput{\ldots}
 		}
	\pstree{\TR{$K$}\tbput{\ldots}}
		{
\TR{$C$}\taput{\ldots}
 \TR{$\overline{C}$}\tbput{\ldots}
 		}
}
		\end{center}

\medskip

\item  Définir par une phrase l'évènement $J \cap C$ puis calculer sa probabilité. 
\item  Démontrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,53$. 
\item  Quelle est la probabilité qu'un adhérent, sachant qu'il fait de la compétition, pratique le judo ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\medskip

\begin{center} 
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}
 
L'entreprise BONVOYAGE fabrique des bagages. Elle les vend ensuite à des magasins spécialisés dans les articles de tourisme.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Le tableau suivant donne les chiffres d'affaires annuels de l'entreprise BONVOYAGE de 2004 à 2009.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année					&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009\\ \hline  
Rang $x_{i}$ de l'année	&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5\\ \hline 
Chiffre d'affaires $y_{i}$ exprimé
 en millions d'euros	&7,85	&8,23	&8,19	&8,62	&8,98	&9,46\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Une représentation du nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe 1 à rendre avec la copie. 

\medskip
 
On souhaite réaliser un ajustement affine de ce nuage de points.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au centième). 
\item  Dans la suite, on prendra comme droite d'ajustement la droite 
$\mathcal{D}$ d'équation $y = 0,3x + 7,8$.
 
Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'annexe 1, à rendre avec la copie. 
\item  À l'aide de cet ajustement, donner une estimation du chiffre d'affaires en 2010.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
En 2004, le nombre de clients de l'entreprise BONVOYAGE était égal à \np{1700}.

Depuis, on estime que le nombre de clients augmente de 2\,\% par an.
 
On note $u_{0}$ le nombre de clients de l'entreprise en 2004 et $u_{n}$ le nombre de clients pour l'année $2004 + n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Calculer le nombre de clients de l'entreprise en 2010.
\item Le document présent en annexe 1 est un extrait d'une feuille de calcul dans laquelle on veut faire afficher, selon ce modèle, le nombre de clients attendus à partir de 2004. On cherche une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas d'obtenir le contenu des cellules de la plage C3:C8.
 
Parmi les propositions ci-dessous, écrire sur la copie toutes celles qui peuvent convenir (on ne demande pas de justification).

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth} {*{3}{X}}
\fbox{=C2*D\$2}& \fbox{=C2*1+D2}&\fbox{=C2*(1+D\$2)}\\
\fbox{=C2*(1,02)}&\fbox{C2*(1+ \$D2)}&\fbox{ C\$2*1,02\verb?^?B3}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item \emph{Dans cette question. toute trace de recherche. même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer, selon ce modèle, à partir de quelle année le nombre de clients sera supérieur à \np{2000}. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
 Formulaire\\ \hline
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors $uv$ est dérivable sur I et $(uv)' = u'v + uv'$\\\hline 
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors $\text{e}^{u}$  est dérivable sur I et $\left(\text{e}^{u}\right)' = u'\text{e}^{u}$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Chez un fabriquant de produits chimiques, une fuite de substance toxique s'est produite dans un atelier.
 
On note $x$ le temps, exprimé en minutes, écoulé depuis l'instant où la fuite a commencé.
 
On s'intéresse à l'évolution de la concentration en substance toxique dans l'atelier, en fonction de $x$, durant les trente premières minutes. 

On admet que cette concentration, exprimée en microgrammes par m$^3$, peut être modélisée par la fonction $f$ définie pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~30] par :

\[f(x) = 3x\text{e}^{-0,2x}\]

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
L'alarme installée dans l'atelier sonne tant que la concentration en substance toxique est supérieure ou égale à 2,5 microgrammes par m$^3$.
 
En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ donnée en annexe 2, répondre, avec la précision du graphique, aux deux questions ci-dessous.
 
\begin{enumerate}
\item Au bout de combien de temps après le début de la fuite l'alarme s'est-elle déclenchée? 
\item Pendant combien de temps l'alarme a-t-elle sonné ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~30].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~30] on a : 

$f'(x) = (3 - 0,6x)\text{e}^{-0,2x}$. 
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~30]. 
\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item En déduire à quel moment la concentration en substance toxique dans l'atelier est maximale. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Chiffre d'affaires de l'entreprise BONVOYAGE}

\medskip

\psset{xunit=1.2cm,yunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,7)(9,11)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](0,7.85)(1,8.23)(2,8.19)(3,8.62)(4,8.98)(5,9.46)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,7)(9,11)
\multido{\n=7.0+0.1}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=7,Dy=0.2]{->}(0,7)(9,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=7,Dy=0.2](0,7)(9,11)
\uput[d](4.5,6.7){Rang de l'année}
\rput{90}(-0.9,9){Chiffre d'affaires en millions d'euros}
\end{pspicture} 

\vspace{2cm}

\textbf{Nombre de clients de l'entreprise BONVOYAGE depuis 2004}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A &B &C &D\\ \hline 
1 &Année &Rang $n$ de l'année& Nombre de clients $u_{n}$& Taux d'augmentation\\ \hline 
2 &2004 &0	&\np{1700}	& 2\,\%\\ \hline 
3 &2005 &1	&			&\\ \hline 
4 &2006 &2	&			&\\ \hline  
5 &2007 &3	&			&\\ \hline  
6 &2008 &4	&			&\\ \hline  
7 &2009 &5	&			&\\ \hline  
8 &2010 &6	&			&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
La plage C2\verb?:?C8 est au format nombre à zéro décimale.
 
La cellule D2 est au format pourcentage à zéro décimale. 
\end{center} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2}

\vspace{1,5cm}

\textbf{Concentration en substance toxique dans l'atelier}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(30,6)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{30}{3 x mul 2.71828 0.2 x mul exp div}
\multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(30,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(30,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5](0,0)(30,6)
\uput[d](15,-0.5){Temps en minutes}\rput{90}(-2.5,3){Concentration en microgrammes par mètre cube}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}