\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[upright]{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox,cancel} \usepackage{tabularx,multirow} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.7cm, bottom=2.6cm]{geometry} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : Jean-Claude Souque \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %\setlength{\textheight}{23,5cm} %\setlength{\textwidth}{14cm} \newcommand{\ee}{\text{e}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{enumitem} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\footnotesize STG Mercatique} \lfoot{\footnotesize{Polynésie} correction} \rfoot{\footnotesize{8 juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalauréat STG Mercatique Polynésie \decofourright\\8 juin 2012 \hspace{5mm} Correction}} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire \No 99-186 du 16-11-99) est autorisée. \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip \begin{enumerate} \item L'équation $\ln (2x + 3) = 0$ admet comme solution dans l'intervalle $\left]- \dfrac{3}{2}~;~+\infty \right[$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{a.~~}\cancel{$- \dfrac{3}{2}$}&\textbf{b.~~}\ovalbox{ $- 1$}&\textbf{c.~~} \cancel{$\ln (3)$}&\textbf{d.~~} \cancel{$- \dfrac{2}{3}$}\\ \end{tabularx} {\footnotesize $\ln (2x + 3) = 0\iff \ln (2x + 3) = \ln (1) \iff 2x + 3 = 1 \iff x=-1$} \medskip \item Un capital de 500~\euro{} est placé sur un compte à intérêts composés avec un taux annuel de 3\,\%. Le montant du compte dépassera le double du montant initial pour la 1\up{re} fois au bout de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{a.~~} \ovalbox{24 années}& \textbf{b.~~} \cancel{6 années}& \textbf{c.~~} \cancel{34 années}& \textbf{d.~~} \cancel{12 années}\\ \end{tabularx} {\footnotesize le capital après un placement de $n$ années vaut $500\times \np{1.03}^n$. Celui-ci doit être égal à $2\times 500$. On résout donc $\np{1.03}^n =2$} {\scriptsize On peut rappeler pour un doublement : si $n$ est la durée de placement, $i$ le taux, on a approximativement $n \times i=70$, car $\ln 2 \approx \np{0.70}$ ; vérification $24\times 3=72 \approx 70$} \medskip \item Soit une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de premier terme $u_{0} = 0$ et de raison $r = 3$, alors $u_{50}$ vaut : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{a.~~}\cancel{151}& \textbf{b.~~}\ovalbox{ 150}& \textbf{c.~~} \cancel{$50^3$}& \textbf{d.~~} \cancel{350}\\ \end{tabularx} {\footnotesize le terme général d'une suite arithmétique est $u_n=u_0+nr$ par conséquent $u_{50}=0+50\times 3=150$} \medskip \item Soit une suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n, n \geqslant 1, u_{n+1} = 2u_{n} - 2$. La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{a.~~} \cancel{constante} &\textbf{b.~~} \cancel{arithmétique} &\textbf{c.~~} \cancel{géométrique} &\textbf{d.~~} \ovalbox{\begin{minipage}{2.6 cm}ni arithmétique,\\ ni géométrique\end{minipage}}\\ \end{tabularx} {\footnotesize $u_1=2-2=0 \quad u_2=-2$, $u_1\not=u_0$ donc non constante, $u_2-u_1\not= u_1-u_0$ non arithmétique, $u_1=0$ elle ne peut être géométrique car tous les termes suivants de la suite seraient alors nuls.} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip On a copié ci-dessous le tableau d'une feuille de calcul donnant le nombre de mariages célébrés en France métropolitaine entre 2000 et 2009. \medskip {\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{0.75}}c|m{3.68cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \rowcolor[gray]{0.75}& \centering {A} &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K\\ \hline 1 & Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 2 &Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 3 & Nombre de mariages en milliers $\left(y_{i}\right)$&297,9 &288,3 &279,1 &276 &271,6 &276,3 &267,3 &267,2 &258,7 &245,2\\ \hline 4 & Taux d'évolution annuel & &\scriptsize$-3,2$\,\% &\scriptsize $-3,2$\,\% &\scriptsize $-1,1$\,\% &\scriptsize $-1,6$\,\% &\scriptsize 1,7\,\% &\scriptsize $-3,3$\,\% &\scriptsize 0,0\,\% &\scriptsize $-3,2$\,\% &\scriptsize $-5,2$\,\%\\ \hline \multicolumn{12}{r}{(source des données : INSEE)}\\ \end{tabularx} } \medskip La plage B3~: K3 est au format \og Nombre \fg, arrondi au dixième, et la plage B4~:~K4 est au format \og Pourcentage \fg, arrondi à 0,1\,\%. \medskip \textbf{Partie 1} \medskip Les données ont été représentées dans un repère par un nuage de points fourni en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \`A l'aide de la calculatrice, une équation de la droite, (D), d'ajustement de $y$ en $x$ de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=-\np{4.62}x+\np{298.17}$. \item Pour la suite, on prendra pour équation de la droite (D) : $y = - 4,6x + 298$. \begin{enumerate} \item La droite (D) est tracée dans le repère fourni en annexe. \item En 2013, $x=14$, remplaçons $x$ par sa valeur dans l'équation de la droite. $y=-\np{4.6}\times 14+298=\np{233.6}$. Avec ce modèle, le nombre de mariages que l'on peut prévoir en France métropolitaine pour l'année 2013 est de \np{233.6}~milliers. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip \begin{enumerate} \item La ligne 4 du tableau précédent donne les taux d'évolution annuels du nombre de mariages célébrés. Une formule entrée dans la cellule C4, puis copiée sur la plage C4~:~K4, est : =(C3-B3)/B3 \hspace{5mm} ou\hspace{5mm} =(C\$3-B\$3)/B\$3 \hspace{5mm} ou\hspace{5mm} =C3/B3-1 \hspace{5mm} ou\hspace{5mm} =C\$3/B\$3-1 \item \begin{enumerate} \item Calculons le taux d'évolution global du nombre de mariages célébrés en France entre 2005 et 2009. Le taux est défini par $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. Si l'on appelle $T$ le taux global d'évolution, $T=\dfrac{\np{245.2}-\np{276.3}}{\np{276.3}}\approx -\np{0.1126}$. Le taux global d'évolution entre 2005 et 2009 est d'environ $-\np{11.3}$\,\%. \item Entre 2005 et 2009, le nombre de mariages a subi 4 évolutions. En 2009, le nombre de mariages de 2005 a été multiplié par $1+T$ d'une part ou par $(1+t_m)^{4}$ d'autre part, $t_m$ désignant le taux moyen d'évolution. Nous avons alors \[(1+t_m)^{4}=\np{0.887}\quad \text{il en résulte }\quad t_m=(\np{0.887})^{\tfrac{1}{4}}-1\approx -\np{0.02953}\] Le taux d'évolution annuel moyen du nombre de mariages célébrés en France entre 2005 et 2009 à 0,1\,\% près est 3\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \begin{center}\textbf{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à \np{0,0001}}\end{center} Une maladie touche 0,2\,\% d'une population. Un laboratoire propose un test afin de dépister cette maladie. Des expériences ont montré les résultats suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item Lorsqu'un individu est atteint par la maladie, le test est positif dans 95\,\% des cas. \item Lorsqu'un individu est sain, le test est positif dans 2\,\% des cas (on parle alors de \og faux positifs\fg ). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit un individu au hasard dans la population et on considère les événements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $M$ : \og l'individu est atteint par la maladie \fg, \item[$\bullet~~$] $T$ : \og le test est positif \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note respectivement $\overline{M}$ et $\overline{T}$ les événements contraires des événements $M$ et $T$. \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité que le test soit positif sachant que l'individu n'est pas malade est définie par $p_{\overline M}(T)$. Puisque lorsqu'un individu est sain, le test est positif dans 2\,\% des cas, nous avons donc \[p_{\overline M}(T)=\np{0.02}\] \item L'arbre de probabilités lié à la situation est le suivant : \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$M$}\taput{0,002}} { \TR{$T$}\taput{\color{red}\np{0.95}} \TR{$\overline{T}$}\tbput{\color{red}\np{0.05}} } \pstree{\TR{$\overline{M}$}\tbput{\color{red}\np{0.998}}} { \TR{$T$}\taput{\color{red}\np{0.02}} \TR{$\overline{T}$}\tbput{\color{red}\np{0.98}} } } \end{center} \item Calculons la probabilité de l'événement \og l'individu est atteint par la maladie et le test est positif \fg{} noté $M \cap T$. $p(M \cap T)= \np{0.002}\times \np{0.95}=\np{0.0019}$ \item Calculons la probabilité de l'événement $T$. \[p(T)=p(M \cap T)+p(\overline{M} \cap T)=\np{0.0019}+\np{0.998}\times \np{0.02}=\np{0.0019}+\np{0.01996}=\np{0.02186}\] Par conséquent, elle est environ égale à \np{0,0219}. \item La probabilité que l'individu soit malade, sachant que le test est positif est définie par $p_{T}(M)$. \[p_{T}(M)=\dfrac{p(T\cap M)}{p(T)}=\dfrac{\np{0.0019}}{\np{0.0219}}\approx \np{0.0868}\] \item Si le test est positif, la probabilité que l'individu soit malade est \np{0.0868}, par conséquent le test n'est pas fiable. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip Une entreprise fabrique des objets. On note $x$ le nombre d'objets fabriqués par jour. Une étude a montré que le coût de fabrication journalier engendré par la fabrication de $x$ objets est donné, en euros, par : $f(x) = 400\text{e}^{0,01x}$ pour tout entier $x$ compris entre $0$ et $220$. \medskip \begin{enumerate} \item $f(0)=400 \ee^0=400$. Ce nombre pour l'entreprise représente les coûts fixes. \end{enumerate} Chaque objet est vendu 15~\euro{} et l'on suppose que tous les objets produits sont vendus. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Calculons la recette générée par la vente de $50$~objets. $50\times 15=750$; la recette est alors de 750~\euro . \item La recette, en euros, générée par la vente de $x$ objets est $15 \times x$. Par conséquent $R(x)=15x$. \end{enumerate} \item On a représenté ci-dessous dans un repère les représentations graphiques respectives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{R}$ des fonctions $f$ et $R$. \medskip \psset{xunit=0.045cm,yunit=0.0032cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-20,-150)(240,3700) \multido{\n=0+10}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3700)} \multido{\n=0+500}{8}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(240,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=500]{->}(0,0)(-19,-150)(240,3700) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{220}{2.71828 0.01 x mul exp 400 mul} \psline[linestyle=dashed](0,0)(220,3300) \uput[ul](220,3550){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[dr](220,3300){$\mathcal{C}_{R}$} \uput[dl](0,0){O} \psline[linecolor=cyan,linewidth=0.2mm,linestyle=dashed](39.6384,0)(39.6384,594.576) \psline[linecolor=cyan,linewidth=0.2mm,linestyle=dashed](202.9589,0)(202.9589,3044.3835) \psline[linecolor=cyan,linewidth=0.2mm,linestyle=dashed]{<->}(39.6384,250)(202.9589,250) \rput(120,300){\textcolor{cyan}{\scriptsize intervalle de rentabilité}} \end{pspicture} \end{center} \medskip On appelle intervalle de rentabilité l'intervalle des quantités d'objets vendus pour lesquelles l'entreprise réalise un profit. L'intervalle de rentabilité est l'intervalle pour lequel la courbe des recettes est \og au dessus\fg{} de la courbe des coûts. Avec la précision du graphique, nous lisons [40~;~202] \item %\emph{On rappelle la propriété suivante : pour toute fonction dérivable $u$ sur un intervalle donné, la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur ce même intervalle et a pour dérivée }$u^{\prime}\text{e}^u$. On note, pour $x \in [0~;~220],\ B(x)$ le bénéfice journalier (éventuellement négatif) en euros. \begin{enumerate} \item $B(x)=R(x)-f(x) =15x-400\ee^{\np{0.01}x}$. \item On admet que la fonction $B$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~220] et l'on note $B^{\prime}$ sa fonction dérivée. $B^{\prime}(x) = 15(1) - 400 \times (\np{0.01}\ee^{0,01x})=15-4\ee^{\np{0.01}x}$. \end{enumerate} \item %\emph{Pour cette question, toute tentative de réponse, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} On admet que la fonction $B$ a pour tableau de variations : \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(6,2) \psframe(6,2)\psline(0,1.5)(6,1.5) \psline(1,0)(1,2) \uput[u](0.5,1.5){$x$}\uput[u](1.2,1.5){$0$}\uput[u](3.5,1.5){$\alpha$}\uput[u](5.7,1.5){$220$} \rput(0.5,0.95){{\tiny variation de} } \rput(0.5,0.55){ $B$} \psline{->}(1.5,0.5)(3.3,1.3)\psline{->}(3.8,1.3)(5.8,0.5) \end{pspicture} \end{center} où $\alpha$ est un nombre réel. Déterminons une valeur approchée de $\alpha$ à 0,1 près. Puisque la fonction $B$ admet un maximum en $\alpha$, il est tel que $B^\prime(\alpha)=0$. Résolvons l'équation $B^\prime(x)=0$. \begin{align*} 15-4\ee^{\np{0.01}x}&=0\\ \ee^{\np{0.01}x}&=\dfrac{15}{4}\\ \ln \ee^{\np{0.01}x}&=\ln \dfrac{15}{4}\\ \np{0.01}x&=\ln 15-\ln 4\\ x&=100(\ln 15-2\ln 2)\\ x&\approx \np{132.2} \end{align*} Une valeur approchée de $\alpha$ à 0,1 près est \np{132.2}. Le nombre d'objets que l'entreprise doit fabriquer est nécessairement un nombre entier. $B(132)\approx \np{482.63} \hspace{1cm} B(133)\approx \np{482.58}$ L'entreprise devra fabriquer 132 objets pour obtenir un bénéfice maximal. \end{enumerate} \newpage \textbf{\large ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 2} \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.06cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(15,190) \multido{\n=0.0+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,190)} \multido{\n=0+10}{20}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=150,Dy=50](0,0)(-1,-10)(15,190) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,147,9)(2,138,3)(3,129,1)(4,126)(5,121,6)(6,126,3)(7,117,3) (8,117,2)(9,108,7)(10,95,2) \uput[ul](-0.2,0){150} \uput[d](15,0){$x$}\uput[l](0,190){$y$} \psplot[linewidth=0.75pt, linecolor=green]{0}{15}{148.17 4.62 x mul sub} \end{pspicture} \end{center} \end{document}