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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STG Mercatique}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Polynésie~\decofourright\\13 septembre 2012}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée
 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 
Nombre de bénéficiaires en milliers&\np{3258,7}&& \np{3425,4} &\np{3513,1} &\np{3494,2} &3334,6 &\np{3297,5} &\np{3502,7}\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{Source : Insee}}\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Entre 2002 et 2003, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux a augmenté de 1,69\,\%.
 
Déterminer le nombre de bénéficiaires de minima sociaux en 2003 (arrondir à $0,1$ millier). 
\item On affecte l'indice 100 à l'année 2007. Déterminer les indices des années 2008 et 2009 (les résultats seront arrondis au centième). 
\item Déterminer les taux d'évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2007 et 2008, puis entre 2007 et 2009. Exprimer ces taux en terme de hausse ou de baisse en pourcentage (arrondir à $0,01$\,\%). 
\item Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2002 et 2009 (arrondir à $0,01$\,\%). 
\item Le gouvernement souhaite qu'en 2015, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux ne dépasse pas \np{3800000}. Si l'évolution moyenne est de $1,04$\,\% par an après 2009, cet objectif est-il réalisable ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Une année scolaire donnée, on compte \np{321457} étudiants dans l'enseignement supérieur en classe préparatoire aux grandes écoles (CPGE) ou en section de techniciens supérieurs (STS).
 
Parmi l'ensemble de ces étudiants, on compte \np{164659} garçons.
 
27\,\% des garçons sont en CPGE.
 
78\,\% des filles sont en STS.
 
(\emph{Sources: ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, DGESIP, DGRI. Année 2009-2010}) 

\medskip

On choisit un de ces étudiants et on suppose que chaque étudiant a la même probabilité d'être choisi. On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ :\og l'étudiant choisi est en CPGE \fg, 
\item[$\bullet~~$] $G$ :\og l'étudiant choisi est un garçon \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note respectivement $\overline{A}$ et $\overline{G}$ les évènements contraires des évènements $A$ et $G$.
 
\begin{center}\emph{Les probabilités demandées seront arrondies au centième}\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $G$, notée $P(G)$, arrondie au centième, est de $0,51$. 
\item Donner la probabilité $P_{G}(A)$, probabilité de l'évènement $A$ sachant $G$. 
\item Donner la probabilité $P_{\overline{G}}(\overline{A})$, probabilité que l'élève choisi étudie en section de techniciens supérieurs sachant que c'est une fille. 
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous: 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot*~[tnpos=a]{$G$}\taput{\ldots}}
		{
		\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{\ldots}
		\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
 		}
	\pstree{\Tdot*~[tnpos=b]{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}}
		{
		\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{\ldots}
 		\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
 		}
}
\end{center}

\item Déterminer les probabilités $P (G \cap A)$ et $P\left(\overline{G} \cap A\right)$. 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$, arrondie au centième, est égale à $0,25$.
 
Calculer la probabilité $P_{A}(G)$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
 
Le premier janvier 2010, Monsieur X débute sa carrière professionnelle. Il est rémunéré \np{24000}~\euro{} la première année. Il estime pouvoir compter ensuite sur une augmentation régulière de son salaire annuel de 2\,\% chaque premier janvier.
 
On note $U_{n}$ le salaire annuel (arrondi au centime d'euro) de Monsieur X l'année $(2010 + n)$ où $n$ est un entier naturel. On a donc $U_{0} = \np{2400}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $U_{1}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_{n}$. 
		\item En déduire la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$. 
		\item Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer le salaire annuel de Monsieur X en 2015. 
\item Le premier janvier 2011, Monsieur X ouvre un compte d'épargne rémunéré 2,5\,\% par an à intérêts composés. Il verse alors \np{4000}~\euro{} sur ce compte. 

Par la suite, il versera à nouveau \np{4000}~\euro{} chaque premier janvier.
 
On note $V_{n}$ le montant disponible sur le compte épargne de Monsieur X le 1\up{er} janvier de l'année $(2011 + n)$. Ainsi $V_{0} = \np{4000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $V_{1}$. 
		\item Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = 1,025 \times  V_{n} + \np{4000}$. 
		\item Dans une feuille de calcul reproduite ci-dessous, on veut calculer les montants du livret d'épargne de Monsieur X jusqu'en 2020. 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K\\ \hline 
1& Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020\\ \hline 
2 &Montant& \np{4000}&&&&&&&&& \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Donner une formule qui, entrée en cellule C2, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu des cellules de la plage C2~:~ K2.
	\end{enumerate} 
\item En supposant que l'augmentation annuelle du salaire reste fixée à 2\,\%, déterminer en quelle année, l'épargne de Monsieur X dépassera son salaire annuel? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
 
On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne le tableau suivant représentant une série statistique double :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_{i}$&	1&2&3&4&5&6\\ \hline
$y_{i}$&22&25&31& 35& 38& 41\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
Une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est :

\emph{Les coefficients ont été arrondis à l'unité}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
\textbf{a.~~} $y=4x+18$& \textbf{b.~~} $y=2x+26$& 	\textbf{c.~~} $y = x+1$& 	\textbf{d.~~} $y=-4x+18$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x^2\ln (x).\]

On admet qu'elle est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée. Alors pour tout réel $x > 0$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
\textbf{a.~~} \footnotesize $f^{\prime}(x) = 2$& \textbf{b.~~}\footnotesize $f^{\prime}(x) = x (2\ln (x) + 1)$& 	\textbf{c.~~}\footnotesize $f^{\prime}(x) = 2x \ln (x) + 1$& \textbf{d.~~}\footnotesize $f^{\prime}(x) = 2x \ln (x) $\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{2x}$. On admet qu'elle est dérivable sur $\R$ et on note $g^{\prime}$ sa fonction dérivée. On note $C$ la courbe représentative de $g$ dans le plan rapporté à un repère. 

Alors le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
\textbf{a.~~} $2$& \textbf{b.~~} $\text{e}^2$& 	\textbf{c.~~} $2\text{e}^2$& 	\textbf{d.~~} $2\text{e}$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip   

\item On donne la courbe représentative d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~2]$ 

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2)(2.5,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\tiny](0,0)(-2.5,-2)(2.5,7)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 1 sub x 2 sub mul x 2 add mul}
\end{pspicture*}
\end{center}

Alors la courbe représentative de la fonction dérivée est :

\begin{tabular}{*{4}{c}}
\textbf{a.}&\textbf{b.}&\textbf{c.}&\textbf{d.}\\
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-6)(2.5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-2.5,-6)(2.5,3)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 2  add x dup mul 1.5 mul sub}
\end{pspicture*}&\psset{xunit=0.6cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3.5)(2.5,1.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-2.5,-3.5)(2.5,1.5)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 1 sub x 2 sub mul  x 2 add mul 0.5 neg mul}\end{pspicture*}&\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2)(2.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-2.5,-2)(2.5,8)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 1 sub x 2 sub mul x 2 add mul}\end{pspicture*}&\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3)(2.5,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-2.5,-3)(2.5,6.5)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x  dup mul 1.5 mul x sub 2 sub}\end{pspicture*}\\
\end{tabular}
\end{enumerate} 
\end{document}