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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{17 avril 2012}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Pondichéry~\decofourright\\ 17 avril 2012}}

\vspace{0,5cm}
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\emph{Chaque bonne réponse rapporte $1$ point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
En avril 2011, on estime que la proportion de courrier indésirable, ou spams, sur la boite de messagerie électronique d'un particulier est de 76\,\%. Le logiciel StopoSpam supprime 95\,\% des messages indésirables mais aussi 3\,\% des messages acceptés (c'est-à-dire \og non indésirables \fg).
 
On pourra s'aider d'un arbre de probabilité pour répondre aux questions suivantes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité qu'un message pris au hasard soit accepté est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,76& 	\textbf{b.~~} 0,95& 	\textbf{c.~~} 0,03& 	\textbf{d.~~} 0,24\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité qu'un message pris au hasard soit accepté et supprimé est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,03&\textbf{b.~~} 0,0072&\textbf{c.~~} 0,2328&\textbf{d.~~} 0,1824\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item La probabilité qu'un message pris au hasard soit supprimé est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~}  0,7292& 	\textbf{b.~~} 0,19&\textbf{c.~~} 0,98&\textbf{d.~~} 0,722 \\ 
\end{tabularx}
\medskip 

\item La probabilité qu'un message pris au hasard soit indésirable sachant qu'il est supprimé est, à 0,01 près, égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~}0,95& 	\textbf{b.~~}0,722& 	\textbf{c.~~}0,99& 	\textbf{d.~~}0,19\\
\end{tabularx}
\medskip  

\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos courtes sur Internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction du nombre d'internautes connectés simultanément.
 
Le tableau ci-dessous représente les mesures constatées :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'internautes connectés $x_{i}$ (en milliers)&0,5 &1 &2,5 &3 &4 &5&6\\ \hline  
Durée de chargement de la vidéo $y_{i}$ (en secondes)&0,3 &0,4 &0,6 &0,9 &1,3 &2 &2,8\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip
   
On cherche à estimer la durée de chargement lorsque le nombre de personnes connectées sera encore plus élevé.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Modèle affine}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. On prendra comme unités : en abscisses 2~cm pour \np{1000} internautes connectés et en ordonnées 1~cm pour 0,2~seconde. 
\item Calculer les coordonnées du point moyen G (on donnera des valeurs arrondies au dixième) et le placer dans le repère. 
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement $\mathcal{D}$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième. 
\item Pour la suite, on prendra pour équation de la droite $\mathcal{D}$ : $y = 0, 44x - 0,19$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère précédent. 
		\item Avec ce modèle, estimer le temps de réponse pour \np{8000} personnes connectées. 
	\end{enumerate}
\item Une vidéo particulièrement demandée a attiré \np{8000}~personnes simultanément et on a constaté que le temps de chargement était de 6,2~secondes. Ce résultat conduit-il à rejeter le modèle affine ?

\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Modèle exponentiel}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~10] par 

\[f(x) = 0,25 \times  \text{e}^{0,4x}.\]

On admet que  la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0,5~;~10] et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f^{\prime}(x)$. 
		\item Quel est le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~10] ? 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $f(8)$ et représenter l'allure de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère de la partie A. Quel modèle vous semble le mieux adapté ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
 
Les dépenses annuelles de fonctionnement de deux services d'une entreprise, nommés ici A et B, ont été étudiées sur une assez longue période, ce qui a conduit à la modélisation suivante.

\medskip
 
Les dépenses du service A augmentent de \np{4000}~\euro{} chaque année, tandis que celles du service B augmentent de 15\,\% chaque année.
 
Cette année (qui sera prise dans la suite comme année 1), les deux services ont effectué des dépenses identiques : \np{20000}~\euro.
 
On note $a_{n}$ le total des dépenses du service A et $b_{n}$ le total des dépenses du service B la $n$-ième année. On s'intéresse aussi au cumul de ces dépenses sur plusieurs années. Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, donne les résultats pour les premières années. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&P&Q&R&S&T\\ \hline
1	&Numéro de l'année : $n$&Dépenses du service A : $a_{n}$& Cumul des dépenses du service A &Dépenses du service B : $b_{n}$&Cumul des dépenses du service B\\ \hline
2	&1&  \np{20000} &\np{20000} &\np{20000} 	&\np{20000}\\ \hline 
3	&2& \np{24000}	&\np{44000} &\np{23000} 	&\np{43000} \\ \hline 
4	&3& \np{28000} 	&\np{72000} &\np{26450} 	&\np{69450}\\ \hline 
5 	&4&\np{32000}	&			&\np{30417,50}	& \np{99867,50}\\ \hline 
6 	&5&				&			& 				&\\ \hline
7	&6&				&			&				&	\\ \hline 
8	&7&				&			&				&\\ \hline
9	&8&				&			&				&\\ \hline
10	&9&				&			&				&\\ \hline
11	&10&			&			&				&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude des dépenses du service A }

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature et quelle est la raison de la suite $\left(a_{n}\right)$ des dépenses annuelles du service A ? 
		\item Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer $a_{10}$. 
	\end{enumerate}
\item Proposer une formule qui, entrée dans la cellule R3, permet par recopie vers le bas de calculer le cumul des dépenses du service A. 
\item Calculer la somme $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{9} + a_{10}$. Que représente cette somme ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Étude des dépenses du service B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle formule entrée dans la cellule S3 permet par recopie vers le bas de calculer les dépenses annuelles du service B ? 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature et quelle est la raison de la suite $\left(b_{n}\right)$ des dépenses du service B ? 
		\item Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer les dépenses annuelles prévisibles pour le service B lors de la dixième année. On arrondira le résultat à la centaine d'euros.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C : Comparaison des deux services }

\medskip

Lequel des deux services aura le plus dépensé en 10 ans pour son fonctionnement ?
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
 
Un menuisier installe des portes et des fenêtres. Il se fournit chaque mois auprès d'un fabriquant, qui lui propose deux sortes de lots pour ses travaux standards : le lot A est composé de 5 portes et 5 fenêtres, le lot B est composé de 4 portes et 2 fenêtres.
 
Le menuisier ayant une place limitée, il ne peut pas stocker plus de 120~portes et de 90~fenêtres. 

On note $x$ le nombre de lots A et $y$ le nombre de lots B qu'il achète un mois donné à son fournisseur. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire par un système d'inéquations les contraintes du problème (on établira clairement le rapport avec l'énoncé). 
\item Montrer que ce système est équivalent au système suivant, dans lequel $x$ et $y$ désignent des 
inconnues entières : 

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[(S)\qquad \left\{\begin{array}{l c l}
x&\geqslant &0\\
y&\geqslant &0\\ 
y&\leqslant 30 - \dfrac{5}{4}x \\
y&\leqslant 45 - \dfrac{5}{2}x
\end{array}\right.\] 
\renewcommand\arraystretch{1}

Dans le repère orthogonal fourni en annexe, on a tracé les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ d'équations respectives $y = -\dfrac{5}{4}x + 30$ et $y = - \dfrac{5}{2}x + 45$. 

Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des 
points $M$ du plan dont le couple de coordonnées $(x~;~y)$ vérifie le système $(S)$.
\item À l'aide du graphique, déterminer le nombre maximum de lots B que le menuisier peut acheter s'il achète 10~lots A. 
\item Le bénéfice effectué sur un lot A est de 400~euros et sur un lot B de 200~euros. On suppose que le menuisier installe la totalité de son stock pendant le mois en cours. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice mensuel qu'il peut réaliser. 
		\item Représenter sur le graphique précédent les couples $(x~;~y)$ qui permettent de réaliser un bénéfice de \np{5000}~\euro. 
		\item Déterminer graphiquement les nombres de lots A et de lots B à acquérir et installer pour que le bénéfice mensuel soit le plus grand possible. Quel est ce bénéfice ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}


\textbf{ANNEXE}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 4 }

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.275cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(40,57)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(40,57)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,33.75)(26.4,-3)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,52.5)(19.2,-3)
\uput[r](22,3){$\left(d_{1}\right)$}\uput[r](2,40){$\left(d_{2}\right)$}
\uput[d](40,0){$x$}\uput[l](0,57){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3,-3)(40,57)
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}