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%Sujet aimablement communiqué par l'académie de la Martinique et de la Guadeloupe
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small C. G. R. H.}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane\hspace{3mm}correction}}
\rfoot{\small{septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG C. G. R. H. Antilles--Guyane~\decofourright\\septembre 2012\hspace{4mm}Correction}} 

\vspace{1cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
{ \scriptsize

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}

\medskip

Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule est correcte}.
 
\textbf{Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.}
 
Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Un vêtement affiché initialement 70~\euro{} est vendu 17,50~\euro{} après remise. Le prix de ce vêtement a donc baissé de : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \ovalbox{75\,\% }&\textbf{b.~~} 25\,\% &\textbf{c.~~} 300\,\%
\end{tabularx}
{\scriptsize $t=\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$; $t=\frac {\np{17.50}-70}{70}$.}
\medskip
 
\item Le prix d'un article a augmenté de 12\,\% en trois ans. Le taux moyen annuel d'évolution sur cette durée (arrondi à 0,1 près) est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \cancel{4\,\%} &\textbf{b.~~}\cancel{3\,\% }&\textbf{c.~~} \ovalbox{3,8\,\%}
\end{tabularx}
{\scriptsize coefficient multiplicateur global \np{1.12}. Si $t_m$ est le taux moyen, après 3 évolutions, le coefficient multiplicateur est $(1+t_m)^3$ d'où $t_m= \np{1.12}^{\tfrac{1}{3}}-1$.} 
\medskip
 
\item Si $A$ et $B$ sont deux événements tels que $P(A) = 0,4 \:;\: P(B) = 0,32 \:;\: P_{A}(B) = 0,5$. 

Alors $P(A \cap B)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}\cancel{0,128} &\textbf{b.~~} \cancel{0,16} &\textbf{c.~~} \ovalbox{0,20}
\end{tabularx}
{\scriptsize  $P(A \cap B)= P(A)P_{A}(B)= \np{0.4}\times \np{0.5}=\np{0.2}$}
\medskip
 
\item Un hôtel propose des prix dégressifs selon le nombre de nuits passées. Le tableau ci-dessous donne les prix en euros pour une nuit.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Nombre de nuits $x$&1 &3 &7 &10 &14\\ \hline 
Prix $y$ en euros pour une nuit &97 &95 &90 &84 &80\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

La droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, a pour équation réduite (valeurs arrondies au centième près) :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~}  \cancel{$y = 1,36x + 98,75$}& 	\textbf{b.~~} \ovalbox{$y = - 1,36x + 98,75$ }&\textbf{c.~~} \cancel{$y = -0,73x + 71,70$}
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip
 
Léo vient de signer son contrat, il commencera à travailler le 01/10/2012. Il prévoit en conséquence l'acquisition d'une première voiture. Ses parents proposent de compléter le financement de cet achat à condition qu'il apporte lui-même au moins $\np{3500}$~\euro.

\medskip
 
Le 30/09/2012, Léo disposera de 200~\euro{} d'économies dans sa tirelire. Il décide alors d'y déposer, à compter du mois d'octobre, une partie de son salaire le dernier jour de chaque mois. Il hésite entre deux stratégies.

\medskip
 
\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\medskip
{\scriptsize
\emph{On rappelle que la somme $S$ des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par} 

\[	S = u_{0} + u_{1} + \ldots  + u_{n-1} = n\dfrac{u_{0} + u_{n - 1}}{2}\]

\emph{La somme $S$ des $n$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q \neq 1$ est donnée par} 
 
\[S = u_{0} + u_{1} + \ldots  + u_{n-1} = u_{0}\dfrac{1 - q^n}{1 - q}.\] 
}
\textbf{Partie I :}  première stratégie

\medskip
 
Il augmentera chaque mois le montant de son dépôt de 10~\euro.

\medskip
 
On pose $u_{0} = 200, u_{1} = 210$ et l'on note pour tout entier $n \geqslant 2,\: u_{n}$ le montant du dépôt effectué au moyen de son $n$-ième salaire selon cette condition.
Ainsi, $u_{2} = 220$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant qu'il augmente chaque mois le montant de son dépôt de 10~\euro{}, la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite  arihmétique de premier terme $u_0=200$ et de raison $1$0 puisque la différence entre deux termes consécutifs est constante. 
		\item Le terme général d'une suite  arithmétique est $u_n=u_0+nr$. Par conséquent $u_{n}=200+10n$. 
		\item Le montant du versement effectué grâce à son douzième dépôt est $u_{12}$. \[u_{12}=200+12\times 10=320.\]
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la somme $S$.\[S = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{12}=\dfrac{13\times(200+320)}{2}=\np{3380}.\] 
		\item Il ne pourra pas acheter sa nouvelle voiture le 01/10/2013, jour de ses 21 ans car il lui manquera 120~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	 
\textbf{Partie II} : seconde stratégie

\medskip
 
Il augmentera chaque mois le montant de son dépôt de 5\,\%.

\medskip
 
Il étudie le tableau (donné ci-dessous) qu'il vient de créer à l'aide d'un tableur. 

\textbf{Les valeurs ont été arrondies à l'unité.}

Il a posé $v_{0} = 200,\: v_{1} = 210$ et pour tout entier $n \geqslant 2,\: v_{n}$ correspond au montant du dépôt effectué au moyen de son $n$-ième salaire.
 
Il a d'abord rempli les trois premières lignes. Ensuite, dans chacune des cellules A4, B4, C4, il a inscrit une formule permettant de compléter les colonnes A, B, C par recopie vers le bas. 

\begin{center}
{\scriptsize
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A&B&C&D\\ \hline
1&&&& 1,05\\ \hline 
2 &Mois $n$& $v_{n}$& Total&\\ \hline  
3 &0 &200 &200&\\ \hline 
4 &1 &210 &410&\\ \hline 
5 &2 &221 &631&\\ \hline 
6 &3 &232 &862 &\\ \hline
7 &4 &243 &\np{1105}&\\ \hline 
8 &5 &255 &\np{1360}&\\ \hline 
9 &6 &268 &\np{1628}&\\ \hline 
10 &7 &281 &\np{1910}&\\ \hline 
11 &8 &295 &\np{2205}&\\ \hline 
12 &9 &310 &\np{2515}&\\ \hline 
13 &10 &326 &\np{2841}&\\ \hline 
14 &11 &342 &\np{3183}&\\ \hline 
~15~ &12 &359 &\np{3542}&\\ \hline
\end{tabularx}
}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Parmi les formules suivantes,  celles qui peuvent être saisies dans la cellule B4 sont :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline  
\textbf{a.} \ovalbox{=B3*\$D\$1}& 
\textbf{b.} \ovalbox{=B3*1,05}& 
\textbf{c.} \cancel{= B3*\$Dl}& 
\textbf{d.}\cancel{= B3*0,05}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item La formule qu'il a inscrite en C4 est : =C3+B4 ou =\$C3+\$B4
\item Léo pourra acheter sa nouvelle voiture le 01/10/2013, jour de ses 21 ans puisque la somme épargnée est supérieure à \np{3500} euros.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

Une entreprise fabrique et vend chaque jour au plus 40 matelas \og grand confort \fg.
 
On décide en conséquence de modéliser la situation au moyen de fonctions définies sur l'intervalle [0~;~40].
 
Le co\^ut total, exprimé en euros, de la production journalière de $x$ matelas est donné par : 

\[C(x) = x^3 - 60x^2 + \np{1800}x + 3.\]
 
Chaque matelas est vendu \np{1275}~\euro.
 
La recette journalière, exprimée en euros, est donc donnée par : 
\vspace{-2mm}
\[R(x) = \np{1275}x.\]
 
Les représentations graphiques des fonctions $C$ et $R$ sont construites en ANNEXE. 

%\smallskip
 \vfill
\emph{Les deux parties sont indépendantes}

%\smallskip
 \newpage
 
\textbf{Partie I :} lectures graphiques

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item La représentation graphique  de la fonction $R$ est $\mathcal{D}$ puisque $R$ est une fonction linéaire. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite.
\item Avec la précision permise par le graphique, estimons : 
	\begin{enumerate}
		\item le nombre de matelas que l'entreprise doit produire chaque jour pour que le coût total de production journalière soit de \np{30000}~\euro. Nous cherchons l'abscisse du point de la courbe $\mathcal{E}$ d'ordonnée \np{30000}. Nous lisons 33. 
		\item le nombre minimum de matelas que l'entreprise doit produire et vendre chaque jour afin de ne pas réaliser de perte est 11 car nous lisons l'abscisse du point d'intersection de  $\mathcal{E}$ et de $\mathcal{D}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II :} étude du bénéfice en fonction de la production

\smallskip
 
On rappelle que le bénéfice journalier total, exprimé en euros, est noté $B(x)$. $B(x)= R(x) - C(x)$

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons $B(x)$.

\[ R(x)- C(x) =\np{1275}x-(x^3-60x^2+\np{1800}x+3) = - x^3 + 60x^2 - 525x - 3=B(x). \]
 
\item  Pour $x$ compris entre $0$ et $40$,  $B^{\prime}(x)=-(3x^2)+60\times (2x)-525=-3x^2+120x-525$.
 
Développons $(-3x + 15)(x - 35)$. 

\[(-3x + 15)(x - 35) =-3x^2+ 120x- 525 = B^\prime(x)\] 

Par conséquent $B'(x) = (- 3x + 15)(x - 35).$
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudions le signe de $B^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [0~;~40].
		
Sur $\R,\quad -3x+15>0 \iff x< 5\hspace {1cm} x-35>0 \iff x>35$.
		
Dressons un tableau de  signes.
		 		 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2)
\psframe(8,2)
\psline(0,1.5)(8,1.5) \psline(1,0)(1,2) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,1.45){$x$}  \uput[u](1.35,1.45){$0$} \uput[u](3.15,1.45){$5$} \uput[u](5.75,1.45){$35$} \uput[u](7.75,1.45){$40$}
\uput[u](0.45,1){\scriptsize $-3x+15$}  \uput[u](3.15,1){$0$} \uput[u](4.55,1){$-$} \uput[u](6.75,1){$-$} \uput[u](2.05,1){$+$} 
\psline(0,0.98)(8,0.98)\psline(0,0.49)(8,0.49)
\uput[u](0.45,0.52){\scriptsize $x-35$}  \uput[u](5.75,0.52){$0$} \uput[u](4.55,0.52){$-$} \uput[u](6.75,0.52){$+$} \uput[u](2.05,0.52){$-$}
\uput[u](0.45,0.015){\scriptsize $B^\prime(x)$}  \uput[u](3.15,0.015){$0$} \uput[u](4.55,0.015){$+$} \uput[u](6.75,0.015){$-$} \uput[u](2.05,0.015){$-$} \uput[u](5.75,0.015){$0$}
\psline(5.75,1.43)(5.75,1.02)\psline(3.15,0.55)(3.15,0.93)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item Dressons le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~40]. 
		
		Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

$B^\prime(x)<0$ pour  $x\in[0~;~5[$  ou pour $x\in]35~;~40]$ par conséquent, $B$ est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles.

		Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

$B^\prime(x)>0$ pour  $x\in]5~;~35[$ par conséquent, $B$ est strictement croissante sur cet intervalle.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](3.15,2.45){$5$} \uput[u](5.75,2.45){$35$} \uput[u](7.75,2.45){$40$}
\uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$} \uput[u](3.15,1.97){$0$} \uput[u](4.55,1.97){$+$} \uput[u](6.75,1.97){$-$} \uput[u](2.05,1.97){$-$} \uput[u](5.75,1.97){$0$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $B$}
 \uput[u](1.25,1.5){$-3$}\uput[u](5.75,1.5){$\np{12247}$}\uput[d](7.42,0.55){$\np{10997}$}\uput[d](3.115,0.55){$-\np{1253}$}
\psline{->}(1.35,1.485)(3.1,0.5) \psline{->}(5.75,1.485)(7.3,0.5)\psline{->}(3.22,0.5)(5.65,1.485)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item Le tableau de variation montre que $B$ admet un maximum pour $x=35$. L'entreprise doit produire et vendre chaque jour  $35$ matelas pour que le bénéfice réalisé soit maximal.
    Ce bénéfice maximal vaut alors\np{12247}~\euro. 
		\item Le bénéfice est maximal lorsque la distance entre un point de la courbe et un point de la droite de même abscisse est la plus grande possible. Mesurons cette distance. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\psset{xunit=0.20cm,yunit=0.0004cm,arrowscale=2}
\begin{pspicture}(-4,-200)(42,57000)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=5000]{->}(0,0)(0,-200)(42,57000)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt,Ox=0,Dx=2,Dy=5000](0,0)(-1,-200)(42,57000)
\uput[u](42.8,0){nombre de matelas}
\uput[l](0,57000){montant} \uput[l](0,56000){en euros}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{40}{x 3 exp x dup mul 60 mul sub 1800 x mul add 3 add} \uput[u](38,49000){$\mathcal{D}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{40}{1275 x mul} \uput[u](40.5,38000){$\mathcal{E}$}
\def\Func{x 3 exp x dup mul 60 mul sub 1800 x mul add 3 add}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 33 def \Func)(!33 /x 33 def \Func)(33,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green,linewidth=0.75pt,ArrowInside=-<]{<-}(10.6423,0)(10.6423,13568.9585)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green]{<->}(35,32378)(35,44625)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=green,linewidth=0.1pt](35,0)(35,33378)
\rput(11,-500){\color{green}{$\scriptscriptstyle \approx 11$}}
\pnode(35.5,32378){A}
\pnode(35.5,44625){B}
\psbrace[bracePos=0.75,linewidth=0.15pt,ref=l,braceWidth=0.2pt,nodesepA=1.5pt](A)(B){\tiny différence maximale entre la recette et les coûts}
\psline[linestyle=dashed, linecolor=green,linewidth=0.1pt](0,32378)(35,32378)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=green,linewidth=0.1pt](0,44625)(35,44625)
\rput(-2,32378){$\scriptstyle \np{32378}$}\rput(-1.64,44550){$\scriptscriptstyle \np{44625}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}