\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{color,colortbl} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STG}, pdftitle = {CGRH Métropole septembre 2012}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STG CGRH} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Métropole~\decofourright\\13 septembre 2012}} \vspace{0,5cm} La calculatrice est autorisée. \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).} Pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule réponse est correcte}. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.} \medskip Un site internet propose la vente de livres. On choisit au hasard un client de ce site qui y a acheté un livre. On note : $A$ l' évènement \og le client a acheté un roman policier \fg, $B$ l'évènement \og le client a acheté un ouvrage d'un auteur français \fg. On suppose que $p(A) = \dfrac{3}{4}$ et $p(A \cap B) = \dfrac{1}{12}$. On rappelle la formule valable pour des évènements $M$ et $N$ quelconques : \[p(M \cup N) = p(M) + p(N) - p(M \cap N).\] \begin{enumerate} \item $p\left(\overline{A}\right)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{5}$&$\dfrac{4}{3}$ \end{tabularx} \medskip \item $p_{A}(B)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{4}{9}$&$\dfrac{1}{9}$&$\dfrac{11}{12}$ \end{tabularx} \medskip \item L'évènement \og Le client n'a acheté ni roman policier ni ouvrage d'un auteur français\fg{} est représenté par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} $\overline{A} \cap \overline{B}$&$\overline{A} \cup \overline{B}$&$\overline{A \cap B}$ \end{tabularx} \medskip \item On admet que $p(A \cup B) = \dfrac{15}{16}$. Dans ce cas, $p(B)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{13}{48}$&$\dfrac{11}{48}$&$\dfrac{4}{28}$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Une entreprise de menuiserie fait une étude sur la fabrication de chaises en bois pour une production comprise entre 5 et 60 chaises par jour. On admet que le coût de production, en euros, de $x$ chaises par jour est donné par : \[ C(x) = x^2 - 10x + 200,\] où $C$ est une fonction définie sur l'intervalle [5~;~60]. Le prix de vente d'une chaise est de 50~\euro. La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $C$, sur l'intervalle [5~;~60], est donnée dans l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. \bigskip \textbf{A Coût de production} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer par le calcul le coût de production de 20 chaises. \item Par lecture graphique, estimer la quantité de chaises correspondant à un coût de production de 500~\euro. \emph{On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B Étude graphique du bénéfice} \medskip \begin{enumerate} \item On appelle $R(x)$ la recette correspondant à la vente de $x$ chaises. Montrer que $R(x)$ est donné par : $R(x) = 50x$. \item Représenter graphiquement la fonction $R$ sur l'intervalle [5~;~60], dans le repère de l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. \item Le bénéfice $B(x)$ réalisé par l'entreprise en fonction du nombre $x$ de chaises vendues est la différence entre la recette et le coût de production. À l'aide du graphique, déterminer l'intervalle dans lequel doit se trouver le nombre de chaises à vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif. \emph{On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C Étude algébrique du bénéfice} \medskip Le bénéfice réalisé par l'entreprise, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle [5~;~60]. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $B(x) = - x^2 + 60x - 200$. \item À l'aide de la calculatrice, remplir le tableau de valeurs de la fonction $B$ donné dans l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. \item $B^{\prime}$ est la dérivée de la fonction $B$. Calculer $B^{\prime}(x)$. \item Déterminer, en fonction de $x$, le signe de $- 2x + 60$, sur l'intervalle [5~;~60]. \item En déduire les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [5~;~60]. \item On suppose que la production est entièrement vendue. Déterminer le nombre de chaises que doit produire l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximum. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \medskip Les données du tableau ci-dessous, reproduit dans l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}, concernent l'évolution de la part d'énergie renouvelable dans la production annuelle d'électricité de l'Union Européenne, pour la période allant de 2003 à 2008. (\emph{Source, Eurostat-Énergie}) \medskip \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E&F&G\\ \hline 1&Année&2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 2&Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 3&Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% $\left(y_{i}\right)$& 12,9 &13,9 &14 &14,6 &15,5 &16,7\\ \hline 4&Taux annuel d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% &\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&7,8&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip Lecture du tableau : $\bullet~~$dans la cellule B3, 12,9\,\% est la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité en 2003. $\bullet~~$dans la cellule C4, 7,8\,\% est le taux d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, arrondi à $0,1$\,\% près, de 2003 à 2004. \medskip Le graphique de l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie} représente le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. \bigskip \textbf{A. Taux d'évolution} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C4 et recopier sur la plage D4~:~G4 pour obtenir les taux annuels d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% ? \item Compléter le tableau fourni dans l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}. \item Déterminer le taux d'évolution global de la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne entre 2003 et 2008. \emph{On arrondira le résultat à $0,1\,\%$ près}. \item Montrer que le taux annuel moyen d'évolution entre 2003 et 2008, arrondi à 0,1\,\% près, est égal à 5,3\,\%. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. 1\up{er} modèle d'évolution : la droite de régression par la méthode des moindres carrés} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés. \emph{On arrondira les coefficients à $10^{-3}$ près}. \item On prend comme équation de la droite $\mathcal{D}$ : $y = 0,70x + 12,86$. Tracer cette droite sur le graphique de l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. 2\up{e} modèle d'évolution : utilisation d'une suite géométrique} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 12,9$ et de raison $1,053$. On suppose que $u_{n}$ représente le pourcentage de la part d'énergie renouvelable dans la production d'énergie de l'Union Européenne l'année $2003 + n$, $n$ étant inférieur ou égal à 9. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$. \item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $u_{9}$. \emph{On arrondira le résultat à $10^{- 1}$près}. \item Que représente $u_{9}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{D. Estimation en 2012} \medskip Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. On se demande si la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne peut atteindre l'objectif de 21\,\% en 2012. L'un ou l'autre des deux modèles étudiés conduit-il à cet objectif ? \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 2 : courbe représentative de la fonction} \boldmath $C$\unboldmath \vspace{1cm} \psset{xunit=0.17cm,yunit=0.003cm} \begin{pspicture}(-5,-100)(65,3200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=200]{->}(0,0)(65,3200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=200](0,0)(65,3200) \multido{\n=0+5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3200)} \multido{\n=0+200}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(65,\n)} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{60}{x dup mul 10 x mul sub 200 add} \uput[dr](45,1800){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 2 : tableau de valeurs de la fonction \boldmath $B$\unboldmath{} à compléter} \bigskip \renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0 &10 &20 &25 &30 &35 &40 &50 &60\\ \hline $B(x)$ & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3 : tableau à compléter} \vspace{0,5cm} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E&F&G\\ \hline 1&Année&2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 2&Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 3&Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% $\left(y_{i}\right)$& 12,9 &13,9 &14 &14,6 &15,5 &16,7\\ \hline 4&Taux annuel d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% &\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&7,8&&&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3 : graphique à compléter} \vspace{0,5cm} Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité par année dans l'Union Européenne à 27 pays depuis 2003 (\emph{Source : Eurostat}) \vspace{0,75cm} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9,12) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(9,12) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=10,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9,12) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=10,Dy=2](0,0)(-0.5,-0.5)(9,12) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,2.9)(1,3.9)(2,4)(3,4.6)(4,5.5) (5,6.7) \uput[d](8.5,-0.75){Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$} \uput[u](0,12){Part en \,\% $\left(y_{i}\right)$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}