\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} %\usepackage{slashbox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont,cancel} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : Jean-Claude Souque \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.8cm, bottom=2.7cm]{geometry} %\setlength{\textheight}{23,5cm} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat STG CGRH} \lfoot{\small{Métropole\hspace{3 mm}correction}} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Métropole~\decofourright\\13 septembre 2012 \hspace{3mm} Correction}} \vspace{1cm} La calculatrice est autorisée. \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip {\footnotesize \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).} Pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule réponse est correcte}. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.} } \medskip Un site internet propose la vente de livres. On choisit au hasard un client de ce site qui y a acheté un livre. On note : $A$ l' événement \og le client a acheté un roman policier \fg, $B$ l'événement \og le client a acheté un ouvrage d'un auteur français \fg. On suppose que $p(A) = \dfrac{3}{4}$ et $p(A \cap B) = \dfrac{1}{12}$. On rappelle la formule valable pour des événements $M$ et $N$ quelconques : \[p(M \cup N) = p(M) + p(N) - p(M \cap N).\] \begin{enumerate} \item $p\left(\overline{A}\right)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} \ovalbox{$\dfrac{1}{4}$}&\cancel{$\dfrac{1}{5}$}&\cancel{$\dfrac{4}{3}$} \end{tabularx} {\footnotesize $p(\overline{A})=1-p(A)$.} \medskip \item $p_{A}(B)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} \cancel{$\dfrac{4}{9}$}&\ovalbox{$\dfrac{1}{9}$}&$\cancel{\dfrac{11}{12}}$ \end{tabularx} {\footnotesize $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$} \medskip \item L'événement \og Le client n'a acheté ni roman policier ni ouvrage d'un auteur français\fg{} est représenté par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} \ovalbox{$\overline{A} \cap \overline{B}$}&\cancel{$\overline{A} \cup \overline{B}$}&\cancel{$\overline{A \cap B}$} \end{tabularx} \medskip \item On admet que $p(A \cup B) = \dfrac{15}{16}$. Dans ce cas, $p(B)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} \ovalbox{$\dfrac{13}{48}$}&\cancel{$\dfrac{11}{48}$}&\cancel{$\dfrac{4}{28}$} \end{tabularx} {\footnotesize $p(B)=p(A\cup B)+p(A\cap B)-p(A)$} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Une entreprise de menuiserie fait une étude sur la fabrication de chaises en bois pour une production comprise entre 5 et 60 chaises par jour. On admet que le coût de production, en euros, de $x$ chaises par jour est donné par : \[ C(x) = x^2 - 10x + 200,\] où $C$ est une fonction définie sur l'intervalle [5~;~60]. Le prix de vente d'une chaise est de 50~\euro. La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $C$, sur l'intervalle [5~;~60], est donnée dans l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. \medskip \textbf{A Coût de production} \medskip \begin{enumerate} \item Calculons le coût de production de 20 chaises. $C(20)=20^2-10\times 20+200=400$. Le coût de production de vingt chaises est de 400\euro{}. \item Par lecture graphique, la quantité de chaises correspondant à un coût de production de 500~\euro{} est d'environ 23 chaises. \emph{On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique}. \end{enumerate} \newpage \textbf{B Étude graphique du bénéfice} \medskip \begin{enumerate} \item On appelle $R(x)$ la recette correspondant à la vente de $x$ chaises. Le prix d'une chaise étant de 50~\euro{}, s'il en vend $x$ alors la recette $R(x)$ sera définie par $R(x) = 50x$. \item La fonction $R$ sur l'intervalle [5~;~60] est représentée graphiquement, dans le repère de l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. \item Le bénéfice B(x) réalisé par l'entreprise en fonction du nombre x de chaises vendues est la différence entre la recette et le coût de production. \`A l'aide du graphique, déterminons l'intervalle dans lequel doit se trouver le nombre de chaises à vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif. Elle réalise un bénéfice lorsque la courbe des recettes est au dessus de la courbe des coûts. Nous lisons $[5~;~56]$. \emph{On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C Étude algébrique du bénéfice} \medskip Le bénéfice réalisé par l'entreprise, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle [5~;~60]. \medskip \begin{enumerate} \item Le bénéfice est la différence entre la recette et les coûts. $B(x)=R(x)-C(x)=50x-(x^2-10x+200)$. Par conséquent $B(x) = - x^2 + 60x - 200$. \item Voir le tableau de valeurs de la fonction $B$ dans l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. \item $B^{\prime}$ est la dérivée de la fonction $B$. $B^\prime(x)=-(2x)+60$. \item Déterminons, en fonction de $x$, le signe de $- 2x + 60$, sur l'intervalle [5~;~60]. Sur $\R$, $-2x+60>0$ si et seulement si $x<30$ par conséquent si $x\in [5~;~30[,\quad -2x+60>0$ et si $x\in]30~;~60] \quad -2x+60<0$ \item Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. $B^\prime(x)>0$ pour $x\in[5~;~30[$ alors $B$ est strictement croissante sur cet intervalle. Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. $B^\prime(x)<0$ pour $x\in]30~;~60]$ alors $B$ est strictement décroissante sur cet intervalle. Résumons ceci dans un tableau \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) %\psline(1.1,0)(1.1,3) \uput[u](0.5,2.45){$x$} \uput[u](1.35,2.45){$5$} \uput[u](4.25,2.45){30} \uput[u](7.75,2.45){$60$} \uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$}\uput[u](2.8,2){$+$} \uput[u](5.8,2){$-$} \uput[u](4.25,2){$0$} \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $B$} \uput[d](1.37,0.51){$75$}\uput[d](4.25,1.91){$700$}\uput[d](7.6,0.51){$-200 $} \psline{->}(1.5,0.5)(3.9,1.5)\psline{->}(4.6,1.5)(7.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} \item On suppose que la production est entièrement vendue. D'après le tableau de variations, B admet un maximum pour $x=30$. Le nombre de chaises que l'entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice maximum est de 30 chaises. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \medskip Les données du tableau ci-dessous, reproduit dans l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}, concernent l'évolution de la part d'énergie renouvelable dans la production annuelle d'électricité de l'Union Européenne, pour la période allant de 2003 à 2008. (\emph{Source, Eurostat-Énergie}) \medskip {\footnotesize \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|m{4.2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\centering A&B&C&D&E&F&G\\ \hline 1&Année&2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 2&Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 3&Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% $\left(y_{i}\right)$& 12,9 &13,9 &14 &14,6 &15,5 &16,7\\ \hline 4&Taux annuel d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% &&7,8&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} } \medskip Lecture du tableau : $\bullet~~$dans la cellule B3, 12,9\,\% est la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité en 2003. $\bullet~~$dans la cellule C4, 7,8\,\% est le taux d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, arrondi à $0,1$\,\% près, de 2003 à 2004. \medskip Le graphique de l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie} représente le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. \bigskip \textbf{A. Taux d'évolution} \medskip \begin{enumerate} \item La formule que nous devons entrer dans la cellule C4 et recopier sur la plage D4~:~G4 pour obtenir les taux annuels d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% est : \fbox{=(C3-B3)*100/B3}\hspace{1cm} ou \hspace{1cm}\fbox{=(C\$3-B\$3)*100/B\$3} \item le tableau est complété dans l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}. \item Calculons le taux d'évolution global de la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne entre 2003 et 2008. Appelons-le T. Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$ \[T=\dfrac{\np{16.7}-\np{12.9}}{\np{12.9}}\approx \np{0.29457}\] Le taux d'évolution global de la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne entre 2003 et 2008 est d'environ \np{29.5}~\% \item Montrons que le taux annuel moyen d'évolution entre 2003 et 2008, arrondi à 0,1\,\% près, est égal à 5,3\,\%. Le coefficient multiplicateur global est $1+T$ d'une part et $(1+t_m)^5$ car la part d'énergie renouvelable a, entre 2003 et 2008, subi 5 évolutions d'où $t_m=(1+T)^{\tfrac{1}{5}}-1,\qquad t_m= (\np{1.295})^{\tfrac{1}{5}}-1\approx \np{0.053}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. 1\up{er} modèle d'évolution : la droite de régression par la méthode des moindres carrés} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la calculatrice, donnons une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés. \[y=\np{0.697}x+\np{12.857}\] \emph{On arrondira les coefficients à $10^{-3}$ près}. \item On prend comme équation de la droite $\mathcal{D}$ : $y = 0,70x + 12,86$. Cette droite est tracée sur le graphique de l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. 2\up{e} modèle d'évolution : utilisation d'une suite géométrique} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 12,9$ et de raison $1,053$. On suppose que $u_{n}$ représente le pourcentage de la part d'énergie renouvelable dans la production d'énergie de l'Union Européenne l'année $2003 + n$, $n$ étant inférieur ou égal à 9. \medskip \begin{enumerate} \item La suite étant géométrique, un terme se déduit du précédent en le multipliant par un même nombre appelé la raison. $u_{n + 1}=\np{1.053}u_{n}$. \item Exprimons $u_{n}$ en fonction de $n$. Le terme général d'une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ est $u_n=u_0q^n$ par conséquent, nous avons ici, $u_n=\np{12.9}(\np{1.053})^n$ \item \begin{enumerate} \item $u_{9}=\np{12.9}(\np{1.053})^9\approx \np{20.53}$. à $10^{- 1}$ près, $u_9=\np{20,5}$. \item $u_{9}$ représente la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne en 2012. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{D. Estimation en 2012} \medskip Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. On se demande si la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne peut atteindre l'objectif de 21\,\% en 2012. Aucun des deux modèles étudiés ne conduit à cet objectif. Si l'on considère comme modèle la droite de régression, en 2012 la part serait d'environ $\np{0.70}\times 9+\np{12.86}=\np{19.16}$. Si l'on considère comme modèle la suite géométrique, la part s'approche des 21~\% mais le taux moyen reste insuffisant. \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 2 : courbe représentative de la fonction} \boldmath $C$\unboldmath \vspace{1cm} \psset{xunit=0.17cm,yunit=0.003cm,arrowscale=2} \begin{pspicture}(-5,-100)(65,3200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=200]{->}(0,0)(65,3200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=200](0,0)(65,3200) \multido{\n=0+5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3200)} \multido{\n=0+200}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(65,\n)} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{60}{x dup mul 10 x mul sub 200 add} \uput[dr](45,1800){$\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{60}{50 x mul} \uput[ur](45,2425){$\mathcal{R}$} \def\Func{x dup mul 10 x mul sub 200 add} \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 23.028 def \Func)(!23.028 /x 23.028 def \Func)(23.028,0) \psline[linestyle=dashed,linecolor=green,linewidth=0.75pt,ArrowInside=-<]{-<}(56.45,0)(56.45,2822.5) \psline[linestyle=dashed,linecolor=green,ArrowInside=-<](5,0)(5,250) \rput(-3,500){\scriptsize 500}\rput(23,-70){\scriptsize 23} \psset{rot=90,nodesep=0.25} \pnode(5,-100){A} \pnode(56,-100){B} \psbrace[fillcolor=green,linewidth=0.15pt,ref=B](A)(B){\tiny intervalle où l'entreprise fait un bénéfice} \end{pspicture} \vspace{2cm} \textbf{EXERCICE 2 : tableau de valeurs de la fonction \boldmath $B$\unboldmath{} à compléter} \bigskip \renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0 &10 &20 &25 &30 &35 &40 &50 &60\\ \hline $B(x)$ &$-200$ &$300$ &$600$ &$675$&$700$&$675$&$600$&$300$ &$-200$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3 : tableau à compléter} \vspace{0,5cm} {\footnotesize \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|m{4.2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\centering A&B&C&D&E&F&G\\ \hline 1&Année&2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 2&Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 3&Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% $\left(y_{i}\right)$& 12,9 &13,9 &14 &14,6 &15,5 &16,7\\ \hline 4&Taux annuel d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% &&7,8&\np{0.7}&\np{4.3}&\np{6.2}&\np{7.7}\\ \hline \end{tabularx} } \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3 : graphique à compléter} \vspace{0,5cm} Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité par année dans l'Union Européenne à 27 pays depuis 2003 (\emph{Source : Eurostat}) \vspace{0,75cm} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9,12) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(9,12) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=10,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9,12) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=10,Dy=2](0,0)(-0.5,-0.5)(9,12) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,2.9)(1,3.9)(2,4)(3,4.6)(4,5.5) (5,6.7) \psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=blue]{0}{9}{0.70 x mul 2.86 add} \uput[d](8.5,-0.75){Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$} \uput[u](0,12){Part en \,\% $\left(y_{i}\right)$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}