\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox,cancel} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Sujet aimablement fourni par Roland Thiers %Corrig\'e : Jean-Claude Souque \usepackage{pst-plot,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.7cm, bottom=2.8cm]{geometry} %\setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat STG CGRH} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie\hspace{3mm}correction}} \rfoot{\small{15 novembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\15 novembre 2012\hspace{5mm}}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).} \medskip {\footnotesize{\emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.\\ On indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie; aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse juste apporte 1 point; une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}} \medskip On considère la fonction $f$ définie par \[f(x) = \dfrac{x^2}{2}+ x - \dfrac{3}{2}\] sur l'intervalle $[-4~;~3]$. Sa représentation graphique est la courbe $C$ donnée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-5,-3)(5,7) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-3)(5,7) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{x 1 add dup mul 0.5 mul 2 sub} \psplot{-0.5}{4.5}{2 x mul 2 sub} \uput[l](2.8,5.7){$C$}\uput[r](4,5.7){D}\uput[dr](0,0){0}\uput[ul](1,0){A} \end{pspicture} \end{center} Le point A de la courbe $C$ a pour coordonnées A(1~;~0). La droite D est la tangente en A à la courbe $C$. \medskip \begin{enumerate} \item Une équation de la droite D est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}\ovalbox{$y = 2x-2$} &\textbf{b.~~} \cancel{$y = - 2x + 2$}&\textbf{c.~~} \cancel{$y = 2x + 1$} \end{tabularx} \medskip \item La valeur de $f^{\prime}(1)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}\ovalbox{ $f^{\prime}(1) = 2$}& \textbf{b.~~} \cancel{$f^{\prime}(1) = 1$}& \textbf{c.~~}\cancel{$f^{\prime}(1) = - 2$} \end{tabularx} {\scriptsize $f^\prime(1)$ est le coefficient directeur de la droite D.} \medskip \item La fonction dérivée de la fonction $f$ est définie par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}\cancel{$f^{\prime}(x) = 2x + 1$} & \textbf{b.~~}\cancel{ $f^{\prime}(x) = \dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}$} &\textbf{c.~~} \ovalbox{$f^{\prime}(x) = x+1$} \end{tabularx} \medskip \item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant 0$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}\cancel{l'intervalle $[- 4~;~-1]$}& \textbf{b.~~} \ovalbox{l'intervalle $[- 3~;~1]$ } &\textbf{c.~~} \cancel{l'intervalle $[- 2~;~1]$} \end{tabularx} {\scriptsize C'est l'ensemble des abscisses des points de la courbe situés en dessous de l'axe des abscisses.} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Un lycée compte 950~élèves. 350 d'entre eux sont en seconde, dont 189 filles. Il y a donc 350-189=161 garçons. Il y a 320 élèves de première parmi lesquels 60\,\% sont des filles. Il y a donc $320 \times\dfrac{60}{100}=192$ filles en première. Les filles forment 58\,\% de l'effectif total du lycée. Il y a donc $950 \times \dfrac{58}{100}=551$ filles dans ce lycée. \medskip \begin{enumerate} \item Complétons le tableau de répartition des élèves : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Secondes &Premières &Terminales &Total\\ \hline Filles &189 &\textcolor{blue}{192} &\textcolor{blue}{170} & 551\\ \hline Garçons &\textcolor{blue}{161} &\textcolor{blue}{128} &\textcolor{blue}{110} &\textcolor{blue}{399}\\ \hline Total &350 &320 &\textcolor{blue}{280} & 950 \\ \hline \end{tabularx} \medskip Par la suite, on choisit un élève de ce lycée au hasard. \emph{Si nécessaire, les probabilités seront arrondies au millième.} \medskip On considère les événements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] $F$ : \og l'élève est une fille \fg, \item[ ] $A$ : \og l'élève est en seconde\fg, \item[ ] $B$ : \og l'élève est en première\fg, \item[ ] $C$ : \og l'élève est en terminale \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} L'univers est l'ensemble des élèves du lycée. Le choix ayant lieu au hasard, la loi mise sur cet univers est la loi équirépartie. La probabilité d'un événement $A$ est $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de } A}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminons la probabilité qu'un élève choisi au hasard soit en seconde. Il y a 350 élèves en seconde, $P(A)=\dfrac{350}{950}=\dfrac{7}{19}\approx \np{0.368}$. \item L'événement $B \cup C$ est l'événement \og l'élève est en première ou en terminale \fg{}. $B \cup C$ est l'événement contraire de $A$. $P(B\cup C)=P(\overline{A})=1-p(A)=1-\np{0.368}=\np{0.632}$. {\footnotesize \emph{remarque : on peut aussi calculer le nombre d'élèves en première ou en terminale et $P(B \cup C)=\frac{600}{950}$.}} \end{enumerate} \item L'événement $A \cap F$ est l'événement \og l'élève est une fille et est en classe de seconde. Il y a 189 filles en classe de seconde d'où $P(A\cap F)=\dfrac{189}{950}\approx \np{0.199}$. \item \begin{itemize} \item[$\bullet$] $P_{A}(F)$ est la probabilité que l'élève est une fille sachant qu'elle est en seconde. $p_{A}(F)=\dfrac{P(A \cap F)}{P(A)}=\dfrac{\scriptstyle\frac{189}{950}}{\scriptstyle \frac{350}{950}}=\dfrac{189}{350}=\np{0.54}$. \item [$\bullet$] $P_{F}(A)$ est la probabilité que l'élève est en seconde sachant qu'elle est une fille. $p_{F}(A)=\dfrac{P(A\cap F)}{P(F)}$. $p_{A}(F)=\dfrac{P(A \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\scriptstyle\frac{189}{950}}{\scriptstyle\frac{58}{100}}=\dfrac{189}{551}\approx \np{0.343}$. \end{itemize} \item Complétons l'arbre correspondant à la situation.%donné en Annexe 1. \vspace{5mm} \pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A$}\taput{\textcolor{red}{\np{0.368}}}} { \TR{$F$}\taput{\textcolor{red}{\np{0.54}}} \TR{$\overline{F}$}\tbput{\textcolor{red}{\np{0.46}}} } \pstree{\TR{$B$}\taput{0,337}} { \TR{$F$}\taput{\textcolor{red}{\np{0.6}}} \TR{$\overline{F}$}\tbput{\textcolor{red}{\np{0.4}}} } \pstree{\TR{$C$}\tbput{0,295}} { \TR{$F$}\taput{\textcolor{red}{\np{0.607}}} \TR{$\overline{F}$}\tbput{\textcolor{red}{\np{0.393}}} } } \vspace{3.5mm} \item \begin{enumerate} \item Les événements $A$ et $F$ sont indépendants si $P(A \cap F)= P(A)\times P(F)$. $P(A \cap F)=\np{0.199} \hspace{3mm} P(A)\times P(F)=\np{0.368}\times \np{0.58}=\np{0.21344}$. L'égalité n'étant pas vérifiée, les événements $A$ et $F$ ne sont pas indépendants. \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Nous pouvons dire que la proportion de filles s'accroît aux différents niveaux du lycée : seconde \np{0.54} ; première \np{0.6} ; terminale $ \np{0.607}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \medskip L'évolution du SMIC mensuel exprimé en euros entre 2006 et 2011, et arrondi à l'entier, est donnée dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année : $x_{i}$ &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline SMIC mensuel : $y_{i}$&\np{1254} &\np{1280} &\np{1321} &\np{1338} &\np{1348} &\np{1365}\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\emph{Source INSEE}}\\ \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Le nuage de points associé à cette série est en partie représenté sur le graphique donné en Annexe 2. Le graphique est complété avec les deux points manquants. \item Déterminons les coordonnées du point moyen $G$. Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$) \[ \overline{x}_G=\frac{2006+2007+2008+2009+2010+2011}{6}=\np{2008.5} ;\quad \overline{y}_G=\frac{\np{1254}+\np{1280}+\np{1321}+\np{1338}+\np{1348}+\np{1365}}{6}\approx\np{1317.667}.\] G $\left( \np{2008.5}~;~\np{1317.667} \right)$ est placé sur le graphique précédent. \item On saisit les données statistiques dans une calculatrice, et on affiche l'équation réduite de la droite d'ajustement du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ par la méthode des moindres carrés. L'écran de la calculatrice affiche : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.5,0)(2.5,4) \psframe[linewidth=3pt](-2.5,0)(2.5,4) \uput[d](-1.5,4){\texttt{LinearReg}} \uput[d](-0.5,3.5){\texttt{a =22.1714285}} \uput[d](-0.5,3){\texttt{b =-43213.647}} \uput[d](-0.5,2.5){\texttt{r =0.97456884}} \uput[d](-0.5,2){\texttt{r$^2$=0.94978444}} \uput[d](-0.5,1.5){\texttt{MSe=113.704761}} \uput[d](-1.5,1){\texttt{$y=ax+b$}} \rput(1.8,0.5){\texttt{COPY}} \end{pspicture} \end{center} L'équation réduite de cette droite en arrondissant les coefficients à 3 décimales, est $y=\np{22.171}x-\np{43213.647}$. On admet que la droite passe par le point de coordonnées (2005~;~\np{1240}). Cette droite est tracée sur le graphique. \item En utilisant l'ajustement de la question précédente, \begin{enumerate} \item Estimons la valeur du SMIC mensuel en 2015. Pour ce faire, remplaçons $x$ par 2015 dans l'équation de la droite. \[y=\np{22.171}\times 2015-\np{43213.667}=\np{1460.898}\] Une estimation du SMIC mensuel en 2015, à l'euro près est \np{1461}\euro{}. \item Le SMIC mensuel dépassera \np{1500}~euros à partir de 2017. En effet en remplaçant $x$ par 2016 nous trouvons \np{1483.09}~euros et par 2017 nous trouvons \np{1505.16}~euros. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculons le taux moyen d'évolution du SMIC mensuel entre 2008 et 2011. Le coefficient multiplicateur global permettant de passer de la valeur de 2008 à celle de 2011 est $\dfrac{1365}{1321}\approx \np{1.0333}$. En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^3$ puisque le SMIC a subi 3 évolutions durant cette période. $(1+t_m)^3=\np{1.0333}$ par conséquent $t_m=\np{1.0333}^{\tfrac{1}{3}}-1\approx \np{0.01098}$. Le taux moyen d'évolution du SMIC mensuel entre 2008 et 2011 est environ de $1,1\,\%$. \item Soit $u_{n}$ la valeur en euros du SMIC mensuel l'année $2011 + n$, ainsi $u_{0} = \np{1365}$. On suppose qu'à partir de l'année 2011, le SMIC mensuel augmentera tous les ans de 1,1\,\%. Les prévisions obtenues en utilisant un tableur figurent à l'Annexe 2. Les valeurs sont arrondies à l'entier. \begin{enumerate} \item La première formule a été écrite dans la cellule C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les autres valeurs du tableau. En écrivant la seconde formule, nous ne pourrions changer de ligne et en écrivant la troisième, la valeur serait constante. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \ovalbox{=C2*1,011} & =\cancel{C\$2*1,011} &=\cancel{\$C\$2*1,011} \end{tabularx} \medskip \item En utilisant la relation précédente, les valeurs manquantes arrondies à l'unité du tableau ont été écrites sur le tableau de l'annexe 2. \end{enumerate} \item Comparons les résultats du tableau avec les valeurs trouvées à la question 4 de la partie A. Nous pouvons remarquer que l'ajustement affine par la méthode des moindres carrés donne un montant plus élevé pour le SMIC mensuel jusqu'en 2015. Après 2015, l'évolution de $\np{1.1}\,\%$ permettrait une augmentation plus rapide du SMIC mensuel. \end{enumerate} \newpage \textbf{\large ANNEXE 2} \vspace{0,5cm} \textbf{À rendre avec votre copie} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} \textbf{EXERCICE 3} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A Question 1} \end{flushleft} \medskip \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(7,140) \multido{\n=0+20}{8}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(7,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=2005,Oy=1240,Dy=20](0,0)(7,140) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](1,14)(3,81)(4,98)(6,125) \psdots[dotstyle=Square,dotangle=45,dotscale=1.8,fillcolor=red](2,40)(5,108) \psdots[dotstyle=Diamond,dotangle=45,dotscale=1.8,fillcolor=blue](3.5,77.6667) \uput[dr](3.5,77.667){G} \psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=blue]{0}{7}{22.171 x mul} \end{pspicture} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Partie B Question 2. b.}\end{flushleft} \bigskip \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 &année &rang &SMIC &\\ \hline 2 &2011 &0 &\np{1365} &\\ \hline 3 &2012 &1 &\np{1380} &\\ \hline 4 &2013 &2 &\np{1395} &\\ \hline 5 &2014 &3 &\np{1411} &\\ \hline 6 &2015 &4 & \textcolor{red}{\np{1427}} &\\ \hline 7 &2016 &5 &\np{1442} &\\ \hline 8 &2017 &6 &\np{1458} &\\ \hline 9 &2018 &7 &\np{1474} &\\ \hline 10 &2019 &8 &\np{1490} &\\ \hline 11 &2020 &9 &\textcolor{red}{\np{1506}} &\\ \hline 12 &2021 &10 &\np{1523} &\\ \hline 13 &2022 &11 &\np{1540} &\\ \hline 14 &2023 &12 &\np{1556} &\\ \hline 15 &2024 &13 &\np{1574} & \\ \hline 16 &2025 &14 &\np{1591} &\\ \hline 17 &2026 &15 &\np{1608} &\\ \hline 18 &2027 &16 &\np{1626} &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}