\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{pstricks,pst-text,pst-tree} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %sujet aimablement fourni par Julia Thiers \usepackage{pst-plot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STG}, pdftitle = {Mercatique Nouvelle-Calédonie novembre 2012}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BaccalauréŽat STG Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise,\\ gestion des systèmes d'information} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{15 novembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STG Mercatique Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\15 novembre 2012}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1 : taux d'évolution} \hfill 5 points} \medskip Le tableau ci-dessous présente le nombre de voitures neuves vendues en France en 1980, 1990 puis chaque année de 1996 à 2010. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1980 &1990 &1996 &1997 &1998 &1999 &2000 &2001 \\ \hline Nombre de ventes (en milliers)&\np{1873} &\np{2309} &\np{2132} &\np{1713} &\np{1944} &\np{2148} &\np{2134} &\np{2255}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année&2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline Nombre de ventes (en milliers) &\np{2145} &\np{2009} &\np{2014} &\np{2068} &\np{2001}&\np{2065} &\np{2050} &\np{2269} &\np{2250}\\ \hline \multicolumn{10}{r}{\emph{Source: comité des constructeurs français d'automobiles (CCFA)}} \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie A : interpolation linéaire} \medskip On désire évaluer dans cette première partie le nombre de voitures vendues en 1986. On suppose que la progression des ventes entre 1980 et 1990 est linéaire et qu'elle peut être modélisée par la droite passant par les points A et B de coordonnées respectives (1980~;~1873) et (1990~;~2309). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, sans le justifier, l'équation de la droite (AB). \item En déduire une estimation du nombre de voitures neuves vendues en 1986, arrondie au millier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : taux d'évolution} \medskip \begin{enumerate} \item Jérémie aimerait connaître le taux d'évolution du nombre de ventes de voitures neuves d'une année à l'autre à partir de 1997. Pour cela il s'aide d'un tableur dont la page est représentée ci-dessous: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{~}&A &B &C &D \\ \hline 1 &Année &\footnotesize Nombre de ventes en milliers &Taux d'évolution &Indice\\ \hline 2 &1996 &\np{2132} & &99,91\\ \hline 3 &1997 &\np{1713} &$- 19,65$\,\% &\\ \hline 4 &1998 &\np{1944} & &\\ \hline 5 &1999 &\np{2148} & &\\ \hline 6 &2000 &\np{2134} & & 100\\ \hline 7 &2001 &\np{2255} & &\\ \hline 8 &2002 &\np{2145} & &\\ \hline 9 &2003 &\np{2009} & &\\ \hline 10 &2004 &\np{2014} & &\\ \hline 11 &2005 &\np{2068} & &\\ \hline 12 &2006 &\np{2001} & &\\ \hline 13 &2007 &\np{2065} & &\\ \hline 14 &2008 &\np{2050} & &\\ \hline 15 &2009 &\np{2269} & &\\ \hline 16 &2010 &\np{2250} & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip Le format des cellules de la colonne C est en pourcentage, arrondi à deux chiffres après la virgule. \begin{enumerate} \item Justifier le résultat de la cellule C3. \item Quelle formule Jérémie doit-il rentrer dans la cellule C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, tous les taux d'évolution souhaités? \end{enumerate} \item Clémentine souhaite observer l'évolution du nombre de ventes en prenant pour base 100 le nombre de ventes en 2000. Le format des cellules de la colonne D est en \og nombre\fg{} à deux décimales. \begin{enumerate} \item Justifier le résultat de la cellule D2. \item Parmi les trois formules suivantes, écrivez sur votre copie celle que Clémentine doit rentrer dans la cellule D2 pour obtenir, par recopie vers le bas, tous les indices souhaités ? Formule 1 : = B2/B\$6*100\quad Formule 2 : = B\$6/B2*100\quad Formule 3: = B2/B6*100 \end{enumerate} \item Sophie désire évaluer le nombre de voitures neuves qui seront vendues en 2020. \begin{enumerate} \item Calculer le taux global d'évolution du nombre de voitures neuves vendues entre 1996 et 2010 (arrondir à $0,01$\,\%). \item Démontrer alors que le taux moyen annuel entre 1996 et 2010 est environ égal à $0,39$\,\%. \item Sophie suppose qu'à partir de 2010 le nombre de voitures neuves vendues augmente chaque année de $0,39$\,\%. En déduire alors le nombre de voitures neuves qui seront vendues en 2020 (arrondir au millier) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 4 points} \medskip La puissance électrique maximale consommée en France en hiver dépend en partie des conditions climatiques. Si la demande est trop forte, la France doit importer une partie de son énergie électrique. On considère comme aléatoire la température minimale d'un hiver. On note $E$ l'évènement \og l'hiver a été rude \fg{} et $I$ l'évènement \og la France doit importer une partie de son énergie électrique \fg. On note $P(E)$ la probabilité de l'évènement $E$ et on considère que $P(E) = 0,1$. Si l'hiver est rude, la probabilité que la France importe une partie de son énergie électrique est de $0,80$. Si l'hiver n'est pas rude, la probabilité que la France importe une partie de son énergie électrique est de $0,60$. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les données de l'énoncé par un arbre de probabilités ou un tableau. \item Calculer la probabilité que l'hiver soit rude et que la France importe une partie de son énergie électrique. \item Démontrer que $P(I) = 0,62$. \item On choisit au hasard un hiver durant lequel la France a importé une partie de son énergie électrique. Quelle est la probabilité que cet hiver ait été rude ? On donnera la valeur arrondie au centième. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 } \hfill 4 points} \medskip Un potier fabrique des théières et des coupes à fruits originales. Les théières et les coupes à fruits sont munies chacune d'une anse en rotin, fournie par un autre artisan. La fabrication d'une théière nécessite 1,8~kg de terre et 1~h de main d'{\oe}uvre. Tandis que celle d'une coupe à fruits nécessite 3,6~kg de terre et 30~min de main d'{\oe}uvre. \medskip Étant en rupture de stock, le potier ne dispose pour la semaine que de 162~kg de terre. Par ailleurs il n'a en réserve que 30~anses à théière et 40~anses à coupe à fruits. Enfin, il ne souhaite pas travailler plus de 39~h au cours de la semaine. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer un système d'inéquations traduisant les contraintes pour la fabrication dans la semaine de $x$ théières et $y$ coupes à fruits. \item Les solutions du système précédent sont les coordonnées de certains points appartenant à la région grisée donnée en annexe 1. Le potier peut-il fabriquer 15~théières et 38~coupes à fruits ? \item Le prix de vente d'une théière est de 45~\euro{} et celui d'une coupe à fruits de 63~\euro. Le potier souhaite maximiser son chiffre d'affaires. Il utilise un tableur pour déterminer le couple $(x~;~y)$ qui correspond au profit maximal. Un extrait de la feuille de calcul est donné en annexe 2. \begin{enumerate} \item Quelle formule a été entrée dans la cellule B1, recopiée vers la droite, puis vers le bas sur la plage B1~:~L11 ? \item On suppose que toute la production est vendue. Déterminer à l'aide du graphique et du tableau donnés en annexes 1 et 2 le nombre de théières et de coupes à fruits que le potier doit fabriquer dans la semaine pour obtenir un chiffre d'affaires maximal. \item Quel est alors ce chiffre d'affaires ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4 } \hfill 7 points} \medskip Les prix seront arrondis au centime d'euros. Une entreprise d'agroalimentaire désire lancer sur le marché un nouveau produit sur le segment \og bio \fg. Une étude préalable a permis de modéliser la fonction offre $f$ et la fonction demande $g$. $x$ désigne la quantité de produit mise sur le marché en centaines de kilogrammes et $x$ appartient à l'intervalle [0~;~50]. L'expression $f(x)$ désigne le prix proposé par l'entreprise, en euros, d'un kilogramme de ce produit en fonction de $x$. L'expression $g(x)$ désigne le prix, en euros, que les consommateurs sont prêts à dépenser pour l'achat d'un kilogramme de ce produit pour la quantité $x$ mise sur le marché. Les fonctions $f$ et $g$ sont définies par les relations suivantes : \[f(x) = 10\text{e}^{0,001x^2 + 0,02x}\quad \text{et}\quad g(x) = 10\text{e}^{- 0,06x + 2}\] \bigskip \textbf{Partie A : étude d'un cas particulier} \medskip L'entreprise veut mettre sur le marché \np{3000}~kg du nouveau produit. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer alors qu'un kilogramme du nouveau produit sera vendu 44,82~\euro, autrement dit que l'offre est égale à 44,82~\euro. \item Combien le marché est-il prêt à payer un kilogramme du nouveau produit ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude des fonctions \boldmath$f$\unboldmath et \boldmath$g$\unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item On rappelle que si $u$ désigne une fonction dérivable sur l'intervalle $I$, alors $\left(\text{e}^u\right)^{\prime} = u^{\prime} \text{e}^u$. \begin{enumerate} \item On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer l'expression $f^{\prime}(x)$ puis étudier soigneusement son signe sur l'intervalle [0~;~50]. \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. \item Donner sans justification le tableau de variations de la fonction $g$. \end{enumerate} \item Une partie de la courbe de la fonction $f$ est donnée en annexe 3. Compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$ située en bas de l'annexe 3 et construire la courbe représentative de la fonction $g$ dans le même repère que celui de la courbe de la fonction $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : interprétation économique} \medskip On appelle prix d'équilibre le prix pour lequel l'offre est égale à la demande. L'objectif de cette partie est de déterminer graphiquement puis par le calcul ce prix d'équilibre. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Lire graphiquement, avec la précision permise par le dessin, la quantité à produire et à mettre sur le marché pour que l'offre soit égale à la demande. \item En déduire, par la méthode voulue, une valeur approchée du prix d'équilibre d'un kilogramme du nouveau produit. \end{enumerate} \emph{Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour $x \in [0~;~50]$: résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ \textbf{revient à} résoudre l'équation : \[(0,001x - 0,02)(x + 100) = 0.\] \item Résoudre dans $\R$ l'équation $(0,001x - 0,02)(x + 100) = 0$. \item En déduire alors la quantité à produire pour atteindre le prix d'équilibre, puis calculer ce prix d'équilibre. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 1} \vspace{0,25cm} \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.24cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(33,44) \def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$} \def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(33,44) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(33,44) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=200,Dy=200](0,0)(-1,-2)(33,44) \psdots[dotscale=1.2](0,40)(10,40)(22,34)(30,18)(30,0) \psline(0,40)(10,40)(22,34)(30,18)(30,0) \uput[u](30,0){Nombre de théières}\uput[r](0,42){Nombre de coupes à fruits} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \textbf{\large ANNEXE 2} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash \small }X|}}\hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L\\ \hline 1&40&\np{3195}&\np{3240}&\np{3285}&\np{3330}&\np{3375}&\np{3420}&\np{3465}&\np{3510}&\np{3555}&\np{3600}&\np{3645}\\ \hline 2&39&\np{3132}&\np{3177}&\np{3222}&\np{3267}&\np{3312}&\np{3357}&\np{3402}&\np{3447}&\np{3492}&\np{3537}&\np{3582}\\ \hline 3&38&\np{3069}&\np{3114}&\np{3159}&\np{3204}&\np{3249}&\np{3294}&\np{3339}&\np{3384}&\np{3429}&\np{3474}&\np{3519}\\ \hline 4&37&\np{3006}&\np{3051}&\np{3096}&\np{3141}&\np{3186}&\np{3231}&\np{3276}&\np{3321}&\np{3366}&\np{3411}&\np{3456}\\ \hline 5&36&\np{2943}&\np{2988}&\np{3033}&\np{3078}&\np{3123}&\np{3168}&\np{3213}&\np{3258}&\np{3303}&\np{3348}&\np{3393}\\ \hline 6&35&\np{2880}&\np{2925}&\np{2970}&\np{3015}&\np{3060}&\np{3105}&\np{3150}&\np{3195}&\np{3240}&\np{3285}&\np{3330}\\ \hline 7&34&\np{2817}&\np{2862}&\np{2907}&\np{2952}&\np{2997}&\np{3042}&\np{3087}&\np{3132}&\np{3177}&\np{3222}&\np{3267}\\ \hline 8&33&\np{2754}&\np{2799}&\np{2844}&\np{2889}&\np{2934}&\np{2979}&\np{3024}&\np{3069}&\np{3114}&\np{3159}&\np{3204}\\ \hline 9&32&\np{2691}&\np{2736}&\np{2781}&\np{2826}&\np{2871}&\np{2916}&\np{2961}&\np{3006}&\np{3051}&\np{3096}&\np{3141}\\ \hline 10&31&\np{2628}&\np{2673}&\np{2718}&\np{2763}&\np{2808}&\np{2853}&\np{2898}&\np{2943}&\np{2988}&\np{3033}&\np{3078}\\ \hline 11&30&\np{2565}&\np{2610}&\np{2655}&\np{2700}&\np{2745}&\np{2790}&\np{2835}&\np{2880}&\np{2925}&\np{2970}&\np{3015}\\ \hline 12&\diagbox[dir=NE]{$y$}{$x$}&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 3 (À RENDRE AVEC LA COPIE)} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.2cm,yunit=0.06cm} \begin{pspicture}(-2.5,-4)(52.5,125) \multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](\n,0)(\n,125)} \multido{\n=0+20}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(52.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(-2.5,-4)(52.5,125) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20](0,0)(-2.5,-4)(52.5,125) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{41}{2.71828 x dup mul 0.001 mul 0.02 x mul add exp 10 mul} \pstextpath[l](0,0){\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{41}{2.71828 x dup mul 0.001 mul 0.02 x mul add exp 10 mul}}{$f(x) = 10\text{e}^{0,001x^2 + 0,02x}$} \end{pspicture} \vspace{2cm} \begin{flushleft} \textbf{Tableau de valeurs de la fonction \boldmath $g$ \unboldmath à compléter} \vspace{0,75cm} \renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash \small }X|}}\hline $x$ &0 &10 &15 &20 &25 &30 &40 &50\\ \hline $g(x)$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{document}