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%Tapuscrit : Denis Vergès
%sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise,\\ gestion des systèmes d'information}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{14 novembre 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\14 novembre 2013}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 : Q. C. M.} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chaque question, trois réponses seront proposés. Une seule réponse est exacte
Une réponse exacte rapporte $0,5$ point.  L’absence de réponse  n’enlève ni ne rapporte aucun point.}

\medskip

\textbf{Reporter sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip

Annie est vendeuse de moules dans un petit port de Bretagne.

Sur $10$ semaines elle a noté le prix de vente d’un kilogrammes de moules et le nombre de kilogrammes vendus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L’année passée, elle a remarqué que chaque semaine le prix du kilogramme de moules diminuait de $0,10$~\euro. On note $u_{n}$ le prix en euros d’un kilogrammes de moules la semaine de rang  $n$.  La première semaine, le prix de vente est de 4 ~\euro, on a donc $u_{1} = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique de raison $0,1$  
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $1,05$
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$  est arithmétique de raison $-  0,1$
	\end{enumerate}
\item La valeur de $u_{10}$ est
	\begin{enumerate}
		\item 3
		\item 5 
		\item 3,1
	\end{enumerate}		
\item Le prix du kilogramme est strictement inférieur à 2 euros à partir du rang :
	\begin{enumerate}
		\item 20
		\item 21 
		\item 22
	\end{enumerate}		
\item L’année passée, elle a aussi constaté chaque semaine une augmentation de 5\,\% du nombre de kilogrammes de moules vendus.

On note $\left(v_{n}\right)$ la suite modélisant le nombre de kilogrammes de moules vendues la semaine de rang $n$.

La première semaine le nombre de kilogrammes vendus est égal à $100$, on a donc $v_{1} = 100$.
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $1,05$
		\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $1,5$ 
		\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est arithmétique de raison 5\,\%
	\end{enumerate}
\item L’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $v_{n} = 100 +  0,05n$
		\item $v_{n} = 100 \times 1,05^{n - 1}$
		\item $v_{n} = 100 \times  1,05^n$
	\end{enumerate}
	
	\bigskip
	
\textbf{Pour les questions suivantes on considérera le tableau ci-dessous.}

Pour compléter son étude Annie élabore une feuille de calculs avec un tableur en utilisant les deux suites précédentes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A& B& C&D\\ \hline
1 &\footnotesize  Rang $n$ &\footnotesize Prix d’un kilogramme en euros&\footnotesize  Nombre de kilogrammes (arrondi à l’unité)&\footnotesize  Recette en euros (arrondie au centime d’euro)\\ \hline
2&1	&4	&100& 400,00\\ \hline
3&2	&3,9&105& 409,50\\ \hline
4&3	&3,8&110& 418,95\\ \hline
5&4	&3,7&116& 428,32\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En colonne A, elle indique le rang.

En colonne B, elle indique le prix d’un kilogramme exprimé en euros.

En colonne C, elle indique le nombre de kilogrammes vendus arrondi à l’unité.

En colonne D, elle indique la recette exprimée en euros arrondie au centime.
\item  La formule entrée en B3 et recopiée vers le bas est
	\begin{enumerate}
		\item =\$B\$$2-0,1$
		\item = B\$$2-0,1$ 
		\item =	B$2-0,1$
	\end{enumerate}
\item La formule saisie en C3 et recopiée vers le bas est :
	\begin{enumerate}
		\item =\$C\$$2* 1,05$
		\item =C$2*0,05$ 
		\item =C$2*1,05$
	\end{enumerate}
\item La formule entrée en D2 et recopiée vers le bas est :
	\begin{enumerate}
		\item =B$2*$C$2$
		\item =C$2*100$
		\item =B$2*400$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise agro-alimentaire cherche à lancer sur le marché un nouveau plat cuisiné pour lequel elle a deux recettes différentes que nous appellerons recette 1 et recette 2.

\medskip

Afin de déterminer laquelle de ces deux recettes sera la plus appréciée elle organise une étude marketing auprès d’un panel de consommateurs.

45\,\% de ce panel goûte la recette 1 et le reste goûte la recette 2.
Les testeurs ne savent pas quelle recette leur est présentée. Ils doivent indiquer s'ils ont aimé ou pas.

\medskip

Une fois cette étude terminée il a été observé que :

\smallskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 75\,\% des testeurs ont aimé ce qu’ils ont goûté
\item[$\bullet~~$] 38\,\% des testeurs ont goûté la recette 1 et l'ont aimée.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On choisit un testeur au hasard.  On admet que chaque testeur à la même probabilité d’être choisi.

On considère les évènements suivants

\smallskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R_{1}$ :  \og le testeur a goûté la recette 1 \fg
\item[$\bullet~~$] $R_{2}$ :  \og le testeur a goûté la recette 2 \fg
\item[$\bullet~~$] $A$ \og le testeur a aimé \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

\emph{On arrondira les résultats au centième si nécessaire.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner 
	\begin{enumerate}
		\item $P\left(R_{1}\right)$, la probabilité de l’évènement $R_{1}$ ;
		\item $P\left(R_{2}\right)$, la probabilité de l’évènement $R_{2}$ ;
		\item $P\left(R_{1} \cap A\right)$, la probabilité de l’évènement $R_{1} \cap A$ ;
		\item $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le testeur ait aimé sachant qu’il a goûté la recette 1.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer  que $P\left(R_{2}\cap A\right) = 0,37$.
		\item En déduire $P_{R_{2}}(A)$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.}

\medskip

Au vu des résultats précédents et sachant que les coûts de production pour les deux recettes sont sensiblement les mêmes, que pouvez-vous en conclure quant au choix de recette que devrait faire l’entreprise ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Le 1\up{er} septembre 2011 un étudiant à créé un réseau social dans le but de permettre aux actuels élèves de son école de communiquer entre eux ainsi qu'avec les anciens élèves de cette école. Le tableau suivant présente l’évolution du nombre d’inscrits à ce réseau social au cours des cinq premiers mois qui suivent sa création :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Date& 01/09/11& 01/10/11& 01/11/11& 01/12/11& 01/01/12& 01/02/12& 01/03/12& 01/04/12\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash }X|}}
Rang du mois, $x_{i}$&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline
Nombre d’inscrits, $y_{i}$& 36& 55& 67& 78 &110& 125& 179& 218\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans cette question les pourcentages seront arrondies à 1\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d’évolution du nombre d’inscrits à ce réseau social entre le 01/09/11 et le 01/04/12.
		\item En déduire le taux moyen mensuel d’augmentation du nombre d’inscrits entre le 01/09/11 et le 01/04/12.
	\end{enumerate}
Le nuage des points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $i$ variant de $0$ à $7$ est donné en annexe 1 à rendre avec la copie.

\item \emph{Dans cette question on cherche à estimer le nombre d’inscrits au réseau social au $1$\up{er} mai 2012 et au $1$\up{er} juin 2012 grâce à un ajustement affine}.
	\begin{enumerate}
		\item Donner, à l’aide de la calculatrice, l’équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		\item Tracer cette droite sur le graphique figurant en annexe 1.
		\item En utilisant cet ajustement affine et par la méthode de votre choix estimer le nombre d’inscrits au 1\up{er} mai 2012 et au 1\up{er} juin 2012.
	\end{enumerate}
\item En juillet 2012, le créateur du réseau, consultant l'historique des inscriptions, constate que le nombre d’inscrits au 1\up{er} mai 2012 était de $275$ et au 1\up{er} juin 2012 de $378$.
	\begin{enumerate}
		\item L’ajustement affine précédent paraît-il pertinent ? Justifier.
		\item Le créateur du réseau envisage un nouvel ajustement du nuage par la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 
		
		\[f(x) = 39 \text{e}^{0,29x}.\]

où $x$ est la durée exprimée en mois à partir du 01/09/11.

Reproduire et compléter le tableau suivant. (\emph{Les résultats seront arrondies à l’entier})

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&1	&2	&3&	4	&5	&6	&7	&8	&9\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En utilisant ce nouvel ajustement, déterminer par le calcul la date à partir de laquelle le créateur du réseau peut espérer au moins \np{1500} inscrits.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Un équipementier automobile produit chaque jour $x$ centaines d’un certain type de pièces pour lequel sa capacité maximale de production et de $17$ centaines.

Le prix de vente d’une centaine de pièces est fixé à $650$~\euro. Le graphique, fourni en annexe 2, donne la représentation graphique noté $\mathcal{C}$ de la fonction coût de production sur l’intervalle [0,5~;~17].

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre}

\medskip

\textbf{Partie A : constructions et lectures graphiques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la recette, exprimé en milliers d’euros, pour $x$ centaines de pièces vendues et : $R(x) =  0,65x$ pour $x$ appartenant à l’intervalle [0,5~;~17].
\item Sur le graphique de l’annexe 2 à rendre avec votre copie, tracer la représentation graphique $D$ de la fonction $R$.

Avec la précision permise par le graphique, et en laissant vitrée de construction apparents, répondre aux questions suivantes :
\item Quel est le coût de production de \np{1150}~pièces ? L’entreprise est-elle bénéficiaire si elle fabrique et vend \np{1150}~pièces ?
Si oui déterminer ce bénéfice.
\item Combien l’entreprise doit-elle fabriquer et vendre des pièces pour être bénéficiaire ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : recherche d’une valeur approchée du bénéfice maximal}

\medskip

La fonction $C$ est définie sur l’intervalle [0,5~;~17] par :

\[C(x) =  0,9x + 1,3 - 1,8 \ln (x + 1,5).\]

On admet que cette fonction modélise le coût de production, en milliers d’euros, pour $x$ centaines de pièces produites. On suppose que toutes les pièces produites sont vendues.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le bénéfice est donné par la fonction $B$ définie sur [0,5~;~17] par :

\[B(x) =  - 0,25x - 1,3 + 1,8\ln (x + 1,5).\]

\item On désigne par $B'$ la fonction dérivée de $B$ sur l’intervalle [0,5~;~17].

Vérifier que pour tout réel $x$ dans l’intervalle [0,5~;~17],

\[B’(x) = - 0,25x - 1,3 + 1,8\ln (x + 1,5).\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $B'(x)$ sur l’intervalle [0,5~;~17].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle [0,5~;~17].
	\end{enumerate}
\item Pour combien de pièces fabriquées et vendues le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice, arrondi au centime d’euro ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 de l’exercice 3 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(11,300)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-9)(11,300)
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.25](0,36)(1,55)(2,67)(3,78)(4,110)(5,125)(6,179)(7,218)
\uput[u](10,0){Rang du mois}
\uput[r](0,300){Nombre d'inscrits}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{-15cm}
\begin{landscape}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(17.5,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=8,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(17,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(17.5,12)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{17}{0.9 x mul 1.3 add x 1.5 add ln 1.8 mul sub}
\rput{90}(-1,6){\textbf{ANNEXE 2 : EXERCICE 4 : à rendre avec la copie}}
\uput[u](15.5,10.4){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}