\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx,multirow} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\textwidth}{14cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STG}, pdftitle = {Mercatique Centres étrangers juin 2012}, allbordercolors = white } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~ Baccalauréat STG Mercatique Centres étrangers \decofourright\\ juin 2012}} \vspace{0,25cm} \emph{Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.\\ Le candidat doit traiter les quatre exercices.\\ Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.\\ Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.} L'annexe doit impérativement être rendue avec la copie. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip \begin{enumerate} \item On note $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-3x+5}$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. On a pour tout réel $x$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $f'(x) = - 3\text{e}^{-3x+5}$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = \text{e}^{-3x+5}$ \\\textbf{c.~~} $f'(x)=(-3x+5)\text{e}^{-3x+5}$& \textbf{d.~~} $f'(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ \end{tabularx} \medskip \item L'équation $\ln (2x + 1) = 1$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left]- \frac{1}{2}~;~+\infty\right[$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} a pour solution : $\dfrac{\text{e} - 1}{2}$&\textbf{b.~~} a pour solution : $\dfrac{\text{e}}{2} - 1$\\ \textbf{c.~~} a pour solution : $\text{e} - \dfrac{1}{2}$& \textbf{d.~~} n'a pas de solution sur cet intervalle \end{tabularx} \medskip \item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 100$ et de raison $r = -2,3$. On donne ci-dessous un extrait d'une feuille de calcul. \begin{center} \begin {tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B\\ \hline 1&$n$& $u_n$\\ \hline 2&0& 100\\ \hline 3&1&\\ \hline 4&2&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} La formule à entrer en B3 et à recopier vers le bas pour obtenir les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} = B\$2 $- 2,3$&\textbf{b.~~} = \$B\$2 $- 2,3$& \textbf{c.~~} = B2 $- 2,3$& \textbf{d.~~} = $100 - 2,3$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Le but de l'exercice est d'étudier l'évolution de l'indice de fécondité en Algérie depuis 1995 (la définition de cet indice n'est pas nécessaire pour traiter l'exercice). \bigskip \textbf{Partie A : Étude de la période 1995-2005} \medskip Voici l'évolution de l'indice de fécondité en Algérie de 1995 à 2005 : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1995 &2000 &2005\\ \hline Indice de fécondité & 3,45 &2,62 &2,43\\ \hline \multicolumn{4}{r}{\emph{Source : La Banque Mondiale}} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution global de l'indice de fécondité en Algérie entre 1995 et 2005. Arrondir le résultat à 0,01\,\%. \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen de l'indice de fécondité en Algérie entre 1995 et 2005. Arrondir le résultat à 0,01\,\%. \end{enumerate} \item On décide de modéliser l'évolution de l'indice de fécondité en Algérie par une baisse annuelle constante de 3,4\,\%. On définit une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la valeur de l'indice de fécondité selon ce modèle pour l'année (1995 + n). Ainsi $u_0 = 3,45$. \begin{enumerate} \item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison. \item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$. \item D'après ce modèle quel serait l'indice de fécondité en Algérie en 2010 ? Arrondir le résultat à $0,01$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude de la période 2001-2005} \medskip Le tableau suivant donne l'évolution de l'indice de fécondité en Algérie de 2001 à 2005. \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005\\ \hline Rang de l'année : $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline Indice de fécondité : $y_i$ & 2,56 & 2,52 & 2,48 & 2,46 & 2,43\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\emph{Source : La Banque Mondiale}} \end{tabularx} \end{center} Une représentation du nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série statistique est donnée dans un repère orthogonal en \textbf{annexe}. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer par la méthode des moindres carrés, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $(D)$ d'ajustement de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$ (arrondir les coefficients au millième). \item On suppose qu'une équation de la droite $(D)$ est : $y = -0,03x + 2,59$. \begin{enumerate} \item Tracer la droite $(D)$ sur le graphique fourni en \textbf{annexe} à rendre avec la copie. \item D'après ce modèle, quel serait l'indice de fécondité en Algérie en 2010 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Choix du modèle} \medskip L'indice de fécondité en Algérie en 2009 était de $2,34$. Des deux modèles étudiés, lequel vous paraît le plus pertinent pour prévoir l'indice de fécondité en Algérie en 2010 ? Justifier votre réponse. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Un cinéma diffuse trois types de films. Parmi ces films, 20\,\% sont des films de science-fiction, 30\,\% sont des films d'animation et 50\,\% sont des films d'action. On sait aussi que 20\,\% des films de science fiction, 25\,\% des films d'animation et 15\,\% des films d'action nécessitent des lunettes 3D. On interroge une personne au hasard sortant de ce cinéma. On suppose que chaque personne a la même probabilité d'être choisie. On note : $F$ l'évènement : \og La personne a vu un film de science fiction \fg, $G$ l'évènement : \og La personne a vu un film d'animation \fg, $H$ l'évènement : \og La personne a vu un film d'action\fg, $L$ l'évènement: \og La personne a utilisé des lunettes 3D pour voir le film \fg, $\overline{L}$ l'évènement : \og La personne n'a pas eu besoin de lunettes 3D pour voir le film \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Préciser la valeur de la probabilité de l'évènement $F$, notée $P(F)$ ainsi que celle de la probabilité conditionnelle de l'évènement $L$ sachant $F$, notée $P_F(L)$. \item Compléter l'arbre de probabilité fourni en \textbf{annexe} illustrant l'ensemble des données de l'énoncé. \item \begin{enumerate} \item Décrire par une phrase l'évènement $G \cap L$. \item Montrer que sa probabilité $P(G \cap L)$ est égale à $0,075$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements $F \cap L$ et $H \cap L$. \item Prouver que la probabilité de l'évènement $L$ est égale à $0,19$. \end{enumerate} \item On sait que la personne interrogée a vu le film avec des lunettes 3D. Déterminer la probabilité qu'elle ait vu un film d'animation. On donnera un résultat approché à $0,01$ près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip Une entreprise fabrique un produit dont la production mensuelle $x$ exprimée en tonnes est comprise entre 1 et 9. Le coût total de fabrication mensuel, exprimé en centaines d'euros, est donné par la fonction $c$ définie sur l'intervalle [1~;~9] par \[c(x) = x^3 -12x^2 + 56x - 20.\] Chaque tonne de ce produit est vendue \np{2000}~euros. La recette mensuelle, exprimée en centaines d'euros, est donc donnée par la fonction $r$ définie sur l'intervalle [1~;~9] par $r(x) = 20x$. On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $c$ et $\mathcal{R}$ celle de la fonction $r$. Ces courbes sont représentées dans le repère ci -dessous. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.03333cm} \begin{pspicture}(-0.5,-20)(10,250) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,250)} \multido{\n=0+10}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(10,250) \uput[u](9.7,0){tonnes} \uput[r](0,245){centaines d'euros} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{9}{x 3 exp x dup mul 12 mul sub 56 x mul add 20 sub} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{9}{20 x mul} \uput[d](1.2,22){$\mathcal{R}$}\uput[u](1.1,35){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie, on répondra aux questions en utilisant uniquement le graphique ci-dessus. Les réponses seront données avec la précision que permet le graphique. \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le coût de fabrication pour 1 tonne produite? pour 6 tonnes? \item \begin{enumerate} \item Est-il rentable pour l'entreprise de produire 1 tonne ? 6 tonnes ? Justifier la réponse. \item Pour quelles productions mensuelles l'entreprise gagne-t-elle de l'argent ? \item Donner une valeur approximative du bénéfice maximal que l'entreprise peut faire. À quelle production ce bénéfice correspond-il ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le bénéfice mensuel, exprimé en centaines d'euros, est donné par une fonction $b$ définie sur [1~;~9]. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~9], $b(x) = - x^3 + 12x^2 - 36x + 20$. \item Calculer : $b(1), b(9)$. \end{enumerate} \item On suppose que la fonction $b$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~9] et on note $b'$ sa fonction dérivée. Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~9], $b'(x) = 3(x - 2) (6 - x)$. \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $b'(x)$ sur l'intervalle [1~;~9]. On pourra utiliser un tableau de signes. \item En déduire le tableau de variation de $b$ sur l'intervalle [1~;~9]. \item Pour quelle valeur de $x$ la fonction $b$ admet-elle un maximum ? Préciser la valeur de ce maximum. Que représentent ces deux valeurs pour l'entreprise ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 2} \vspace{1cm} \psset{xunit=1cm,yunit=5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(11,1.1) \multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,-0.2)(\n,1.1)} \multido{\n=-0.2+0.1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(11,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=2,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.8,-0.2)(11,1.1) \uput[u](9.5,0){Rang de l'année} \uput[r](0,1.05){Indice de fécondité} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.3](1,0.56)(2,0.52)(3,0.48)(4,0.46)(5,0.43) \end{pspicture} \vspace{2cm} \textbf{EXERCICE 3} \vspace{1cm} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt,levelsep=2.5cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$F$}\taput{\ldots}} {\TR{$L$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{L}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$G$}\taput{\ldots}} {\TR{$L$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{L}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$H$}\tbput{\ldots}} {\TR{$L$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{L}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \end{document}