\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-tree} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSI} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\gray Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI \\ Métropole 13 septembre 2012}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice} 1\hfill 4 points} \medskip Selon un sondage réalisé sur un échantillon de personnes en France, 57\,\% des personnes interrogées sont parties en vacances en 2010, mais 17\,\% de ces personnes n'ont pas pu repartir en 2011. On choisit au hasard une personne dans cet échantillon. On note $A$ l'évènement \og la personne interrogée est partie en vacances en 2010 \fg{} et $\overline{A}$ l'évènement contraire. On note $B$ l'évènement \og la personne interrogée est partie en vacances en 2011 \fg{} et $\overline{B}$ l'évènement contraire. \medskip \begin{enumerate} \item Donner à partir de l'énoncé la probabilité $P(A)$ de l'évènement $A$, puis la probabilité $P_{A}\left(\overline{B}\right)$ de l'évènement $\overline{B}$, sachant que l'évènement $A$ est réalisé. \item Reproduire l'arbre illustrant les données et le compléter au fur et à mesure de l'exercice. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesep=1ex]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A$}\taput{$0,57$}} { \TR{$B$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{A}$}\taput{}} { \TR{$B$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Calculer la probabilité que la personne interrogée soit partie en vacances en 2010 et qu'elle n'ait pas pu repartir en 2011. \item 18\,\% des personnes n'ayant pas pu partir en 2010 sont parties en vacances en 2011. Exprimer par une phrase l'évènement $\overline{A} \cap \overline{B}$ et calculer sa probabilité. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 2\hfill 6 points} \medskip La capacité d'énergie photovoltaïque recensée dans le monde de 2005 à 2010 est donnée par le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.7cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Capacité (en gigawatt) $y_{i}$& 5,4 &7 &9,5 &16 &24 &39\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\emph{Source : programme des Nations Unies pour l'environnement}} \end{tabularx} \medskip On considère la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ donnée par le tableau ci-dessus. Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donné en \textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $0,01$ près. \item Tracer la droite $D$ dans le repère de l'\textbf{annexe 1}. \item Pour cette question, on retient comme ajustement affine la droite d'équation $y = 6,4x - 5,73$. En supposant que le modèle précédent reste valable pour les deux années suivantes, donner la capacité (en gigawatt) d'énergie photovoltaïque estimée pour 2012. Le résultat sera donné au centième. \end{enumerate} \item Trouvant cet ajustement trop approximatif, les spécialistes lui préfèrent l'ajustement donné par la relation $y = 3,3 \text{e}^{0,4 x}$. Soit $f$ la fonction définie sur [1~;~8] par \[f(x) = 3,3 \text{e}^{0,4 x}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $ f^{\prime}(x)$ où $f^{\prime}$ est la fonction dérivée de $f$. \item Donner, en justifiant la réponse, le sens de variation de $f$. \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies à $0,1$ près. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &1 &2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer dans le repère de l'annexe 1 la courbe représentative de la fonction $f$. \item Selon ce modèle, quelle est la capacité (en gigawatt) d'énergie photovoltaïque estimée pour 2012 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill 5 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip Une action cotée en bourse prend les valeurs suivantes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.25cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois &\footnotesize janvier &\footnotesize février &\footnotesize mars &\footnotesize avril &\footnotesize mai &\footnotesize juin &\footnotesize juillet &\footnotesize août &\footnotesize sept. &\footnotesize octobre \\ \hline Valeur en euros &258 &273 &310 &389 &178 &127 &... &109 &... &97\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item L'action a baissé de 11,6\,\% entre juin et juillet. La valeur de l'action en juillet est donc de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 115,4 &\textbf{b.~~} 141,73 &\textbf{c.~~} 113,80 &\textbf{d.~~} 112,27 \end{tabularx} \medskip \item L'action a baissé de 8\,\% de septembre à octobre. La valeur de l'action en septembre est donc de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 105,00 &\textbf{b.~~} 105,43 &\textbf{c.~~} 104,76 &\textbf{d.~~} 89,81 \end{tabularx} \medskip \item Le taux d'évolution global de janvier à octobre est de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $- 62,4$\,\% &\textbf{b.~~} $- 65,98$\,\% &\textbf{c.~~} 65,98\,\% &\textbf{d.~~} $- 61$\,\% \end{tabularx} \medskip \item La meilleure approximation du taux d'évolution moyen mensuel entre janvier et octobre est de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $- 6,93$\,\% &\textbf{b.~~} $- 7,33$\,\% &\textbf{c.~~}$- 5,79$\,\% &\textbf{d.~~} $- 10,30$\,\% \end{tabularx} \medskip \item En prenant pour indice de base 100 la valeur de l'action au mois de janvier, l'indice de la valeur de l'action au mois d'août est de: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 42,2 &\textbf{b.~~} 97 &\textbf{c.~~} 131 &\textbf{d.~~} 237 \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 4\hfill 5 points} \medskip Pauline veut monter une boutique de vente de bijoux et elle étudie avec son banquier les différentes possibilités d'évolution de ses ventes. Elle suppose que, le chiffre d'affaires du premier mois, le mois de janvier, sera de 600 ~euros. Elle utilise une feuille de calcul sur tableur donnée en annexe 2 pour simuler la situation. \bigskip \textbf{Partie A : première hypothèse} \medskip Son chiffre d'affaires augmente tous les mois de 75~euros. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle formule doit-elle saisir dans la cellule C3 pour que, recopiée vers le bas, elle permette de renseigner les cellules de la plage C3~:~C17 ? \item Quel chiffre d'affaires peut-elle alors espérer obtenir au mois de septembre ? Au mois d'octobre ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : seconde hypothèse} \medskip Son chiffre d'affaires augmente tous les mois de 9\,\%. \begin{enumerate} \item On se propose de représenter le chiffre d'affaires mensuel à l'aide d'une suite $\left(u_{n}\right)$ : on note $u_{0}$ sa valeur au mois de janvier et $u_{n}$ sa valeur au $n$-ième mois après le mois de janvier. \begin{enumerate} \item Préciser la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$, en justifiant la réponse. Donner les valeurs de son premier terme $u_{0}$ et de sa raison. \item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer $u_{8}$ et $u_{9}$ en donner une valeur approchée arrondie au centième. \end{enumerate} \item Quelle est, selon les valeurs de $n$, l'hypothèse la plus favorable au commerce de Pauline ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : calcul du bénéfice} \medskip Les charges mensuelles de Pauline s'élèvent à 850~euros. Pauline crée dans sa feuille de calcul une colonne permettant de calculer, à partir de la seconde hypothèse, ses bénéfices mensuels (les pertes sont considérées comme des bénéfices négatifs). Quelle formule doit-elle saisir dans la cellule E2, pour que, recopiée vers le bas, elle permette de renseigner les cellules de la plage E2~:~E17 ? \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe 1 : à rendre avec la copie} \vspace{1.5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(9,85) \multido{\n=0.0+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,85)} \multido{\n=0.0+2.5}{35}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(9,85) \psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](1,5.4)(2,7)(3,9,5)(4,16)(5,24)(6,39) \uput[u](8,0){Rang de l'année}\uput[u](1.5,85){Capacité d'énergie photovoltaïque recensée} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe 2} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E\\ \hline 1 &mois &valeur de $n$ &1\up{re} hypothèse &2\up{e} hypothèse &bénéfices mensuels\\ \hline 2 & janvier &0 &600&600,00 &$- 250,00$\\ \hline 3 &février &1 &675&654,00 &\\ \hline 4 &mars &2 & & & \\ \hline 5 &avril &3 & & & \\ \hline 6 & mai & 4 & & & \\ \hline 7 &juin &5 & & & \\ \hline 8 &juillet &6 & & & \\ \hline 9 &août &7 & & & \\ \hline 10 &septembre &8 & & & \\ \hline 11 &octobre &9 & & & \\ \hline 12 &novembre &10& & & \\ \hline 13 &décembre &11& & & \\ \hline 14 &janvier &12 & & & \\ \hline 15 &février &13 & & & \\ \hline 16 &mars &14 & & & \\ \hline 17 &avril &15 & & & \\ \hline 18 &mai &16 & & & \\ \hline 19 &juin &17 & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}