\documentclass[10pt,leqno,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox,cancel}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multicol}
 \setlength{\columnsep}{0.7mm}
 \setlength{\columnseprule}{0.1pt}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Vincent Tolleron
%Tapuscrit du corrigé : Jean-Claude Souque
\usepackage{pst-all,pstricks-add}
\usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.6cm, bottom=2.6cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\e{\text{e}}
\def\i{\text{i}}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small  STG Mercatique-CFE-GSI}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}\hspace{3mm} correction}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

%: En-tête
{\Large \textbf{\gray Baccalauréat STG --- Mercatique,-- CFE,-- GSI\\
 Antilles-Guyane 20 juin 2012\hspace{3mm}Correction}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\smallskip
{\footnotesize{
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.\\
On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée.\\
\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse et chaque question sans réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}}}
\smallskip

{\emph{\scriptsize Dans cet exercice les pourcentages sont arrondis à \np{0,01}~\%.}}

\smallskip

Entre 2009 et 2010 une entreprise a vu son chiffre d'affaires diminuer de 23~\%.\\
Entre 2010 et 2011 son chiffre d'affaires a augmenté de \np{6,15}~\%.\\
En 2009 le chiffre d'affaires était de \np{572128}~\euro.

\begin{enumerate}
\item
On doit multiplier le chiffre d'affaires de 2009 pour obtenir le chiffre d'affaires de 2010 par:
\begin{center}
\begin{tabular}{*{4}{p{3cm}}}
\textbf{a.}~~\cancel{\np{0,23}}& \textbf{b.}~~\ovalbox{\np{0,77}} &\textbf{c.}~~\cancel{\np{-0,23}} &\textbf{d.}~~ \cancel{\np{1,23}} 
\end{tabular}
\end{center}
{\footnotesize le coeffficient multiplicateur est $(1+t)$ ici $t=-\np{0.23}$ car il s'agit d'une diminution}
\item Le taux d'évolution entre 2011 et 2012 pour que le chiffre d'affaires de 2012 soit le même que celui de 2010 est:
\begin{center}
\begin{tabular}{*{4}{p{3cm}}}
\textbf{a.}~~\cancel{\np{-6,15}~\% }&\textbf{b.}~~ \ovalbox{\np{-5,79}~\% }&\textbf{c.}~~\cancel{ \np{-0,06}~\%} & \textbf{d.}~~\cancel{\np{0,94}~\% }
\end{tabular}
\end{center}
{\footnotesize Si $t$ est le taux d'évolution entre 2011 et 2012 on doit avoir $(1+\np{0.0615})(1+t)=1$ d'où $t=\frac{1}{\np{1.0615}}-1$}
\item Le taux d'évolution global entre 2009 et 2011 est:
\begin{center}
\begin{tabular}{*{4}{p{3cm}}}
\textbf{a.}~~\cancel{\np{16,85}~\%} &\textbf{b.}~~\cancel{\np{-16,85}~\% }&\textbf{c.}~~ \cancel{\np{18,26}~\% }&\textbf{d.}~~ \ovalbox{\np{-18,26}~\% }
\end{tabular}
\end{center}
{\footnotesize $(1-\np{0.23})(1+\np{0.0615})=\np{0.817355} $ d'où $t \approx -\np{0.1826}$}
\item Le taux moyen semestriel entre 2009 et 2010 est:
\begin{center}
\begin{tabular}{*{4}{p{3cm}}}
\textbf{a.}~~\cancel{\np{-11,5}~\%} &\textbf{b.}~~ \cancel{\np{11,5}~\% }& \textbf{c.}~~\ovalbox{\np{-12,25}~\% }&\textbf{d.}~~\cancel{ \np{-4,26}~\% }
\end{tabular}
\end{center}
{\footnotesize $(1+t_m)^2=\np{0.77}$ d'où $t_m= \sqrt{\np{0.77}}-1 \approx-\np{0.1225}$ }
\end{enumerate}

\vspace{0.35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\smallskip

Dans une entreprise, on sait que parmi les salariés:
\begin{itemize}
\item
les hommes constituent 64~\% du personnel;
\item
90~\% des hommes travaillent à temps complet;
\item
40~\% des femmes travaillent à temps partiel.
\end{itemize}
On choisit au hasard un salarié de cette entreprise: tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis.

On considère les événements suivants:
\begin{itemize}
\item
$F$: \og le salarié choisi est une femme\fg{};
$C$: \og le salarié choisi travaille à temps complet\fg{}.
\end{itemize}
On note respectivement $\overline{F}$ et $\overline{C}$ les événements contraires des événements $F$ et $C$.
\begin{enumerate}
\item
F étant l'événement \og le salarié choisi est une femme\fg{}, l'événement  contraire  $\overline{F}$ est par conséquent \og le salarié choisi est un homme\fg{} ; sa probabilité notée $p\left(\overline{F}\right)$ est définie par 
$p\left(\overline{F}\right)=\np{0.64}$ car les hommes constituent 64~\% du personnel.

 $p(F)=1-p\left(\overline{F}\right)=1-\np{0.64}=\np{0.36}$.
\item Construisons l'arbre de probabilité schématisant cette situation :

\begin{center} 
\psset{nodesep=1mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{F}\taput{$\np{0.36}$}}
	  { 
		  \TR{C}\taput{$\np{0.60}$}
		  \TR{$\overline{\text{C}}$} \tbput{$\np{0.40}$}	
		}  
	\pstree{\TR{$\overline{\text{F}}$}\tbput{$\np{0.64}$}}
	  {
		  \TR{C}\taput{$\np{0.90}$}
		 \TR{$\overline{\text{C}}$}\tbput{$\np{0.10}$}	  
	  }	
}
\end{center} 
\item  L'événement $F\cap C$  est l'événement \og le salarié choisi est une femme travaillant à temps complet\fg{}; calculons sa probabilité.
\[ p(F\cap C)=p(F)p_{F}(C)=\np{0.36}\times \np{0.6}=\np{0.216}\]
\item Montrons que la probabilité que le salarié choisi travaille à temps complet est égale à \np{0,792}. 

Pour ce faire calculons $p(C)$.
\[p(C)=p(F \cap C)+ p(\overline{F}\cap C)=\np{0.216}+\np{0.64}\times \np{0.9}=\np{0.216}+\np{0.576}=\np{0.792}.\]
\item Calculons la probabilité que le salarié soit une femme, sachant qu'il travaille à temps complet c'est-à-dire $p_{C}(F)$.
\[ p_{C}(F)=\dfrac{p(F \cap C)}{p(C)}=\dfrac{\np{0.216}}{\np{0.792}}\approx \np{0.2727}\]
 %(on arrondira ce résultat au centième).
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\smallskip


\textbf{Partie A}

\smallskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~18]$ par: $f(x)=10+2\e^{\np{0,15}x}$.
\begin{enumerate}
\item
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~18]$ et l'on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item
 $f'(x)=0+2\times \left(\np{0.15}\e^{\np{0.15}x}\right)=\np{0.3}\e^{\np{0.15}x}$. Pour tout $x \in[0~;~18],\quad f^\prime(x)>0$ comme produit de nombres strictement positifs.
\item Déterminons le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~18]$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

 $x \in[0~;~18],\quad f^\prime(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
\end{enumerate}
\item Complétons le tableau de valeurs ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ &  0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18\\
\hline
$f(x)$ & 12 &\color{red} \np{12.7}&\color{red} \np{13.6} & \np{14,9} & \np{16,6} & \color{red}\np{19}  &\np{22,1} &\np{26,3}  & 32 & \color{red}\np{40} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
{\emph{\scriptsize les résultats sont arrondis au dixième.}}

\item La courbe $C$, courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal, est donnée \textbf{en annexe}. Dans le même repère, la droite $D$ d'équation $y=2x$ a été tracée. 
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

Une entreprise vend des granulés de bois pour le chauffage. On note $x$ la quantité de granulés, exprimée en tonnes, vendue par mois.

Chaque mois, les coûts de production, exprimés en centaines d'euros, sont donnés par: $f(x)=10+2\e^{\np{0,15}x}$

Le prix de vente d'une tonne de granulés est de 200~euros, soit 2 centaines d'euros.
\begin{enumerate}
\item
Si l'entreprise vend $x$ tonnes de granulés, déterminons  la recette $R(x)$ exprimée en centaines d'euros.

 Si la vente d'une tonne rapporte 2 centaines d'euros, celle de $x$ tonnes va donc rapporter $2x$ centaines d'euros. 

Par conséquent, la recette, en centaines d'euros, pour la vente de $x$ tonnes est  définie par $R(x)=2x$.
\item  L'entreprise est bénéficiaire, lorsque la recette est supérieure aux coûts,
 graphiquement, lorsque la courbe des recettes est \og au-dessus\fg{} de celle des coûts,

 nous obtenons,  avec la précision permise par le graphique,\hspace{3mm}$\np{8.7} \leqslant x \leqslant 16$.
\item On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0~;~18]$ par 
\[
B(x)=2x-10-2\e^{\np{0,15}x}.
\] 
Les variations de la fonction $B$ sont résumées dans le tableau ci-dessous (où $a$ est  un réel de l'intervalle $[0~;~18]$).
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & 0 & \qquad\qquad & $a$ & \qquad\qquad & 18\\
\hline
& & &\rnode{b}{\quad} & & \\
$B$& & & & & \\
&\rnode{a}{\quad}& & & &\rnode{c}{\quad}\\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item
Le bénéfice mensuel pour $x$ tonnes de granulés vendues est égal à  la différence entre la recette et les coûts. Calculons $R(x)-f(x)$.

$2x-(10+2\e^{\np{0.15}x})= 2x-10-2\e^{\np{0.15}x}=B(x)$.
\item Déterminons une valeur approchée du nombre $a$, à \np{0,1} près.

 $a$ est tel que $B^\prime(a)=0$, car B admet un maximum en $a$.

 $B^\prime(x)=2-\np{0.3}\e^{\np{0.15}x}$
 \pagebreak
 
 Résolvons $2-\np{0.3}\e^{\np{0.15}a}=0$

\begin{multicols}{2}
 \begin{align*}
2-\np{0.3}\e^{\np{0.15}a}&=0 \\
 \np{0.3}\e^{\np{0.15}x}&=2 \\ 
\e^{\np{0.15}a}&=\dfrac{2}{\np{0.3}}\\
 \e^{\np{0.15}a}&=\dfrac{20}{\np{3}}\\ 
\end{align*}
\begin{align*}
\ln\e^{\np{0.15}a}&=\ln\left(\dfrac{20}{3}\right)\\
 \np{0.15} a &= \ln 20- \ln 3\\
a&=\dfrac{\ln 20-\ln 3}{\np{0.15}}\\
a&\approx \np{3.7942}
\end{align*}
$a \approx \np{3.8}$ à \np{0.1} près.
\end{multicols}

\item  Cette valeur est la quantité, en tonnes, de granulés qu'il faut vendre pour obtenir un bénéfice maximal.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%: Ex 4 5 points
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\smallskip

Les grands-parents de Noé décident de lui ouvrir un compte épargne pour son treizième anniversaire, le 15 juin 2012.\\
On leur propose deux types de placement.\\
Placement A: ils placent \np{2500}~\euro{} à intérêts composés au taux annuel de \np{2,5}~\%.\\
Placement B: ils placent \np{2500}~\euro{} sur un compte qui leur rapporte chaque année 65~\euro.\\
Noé et ses grands-parents souhaitent comparer les deux placements.

\smallskip

On note $U_n$ le capital exprimé en euros avec le placement A le 15 juin $(2012 + n)$.\\
On note $V_n$ le capital exprimé en euros avec le placement B le 15 juin $(2012 + n)$.\\
Ainsi on a: $U_0=V_0=\np{2500}$.
\begin{enumerate}
\item
 Calculons $U_1$.
 
 \`A un taux d'évolution de \np{0.025} correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.025}. 

Par conséquent $U_1=\np{2500}\times(\np{1.025})=\np{2562.5}$.
 
Calculons $V_1$.

$V_1=\np{2500}+65=\np{2565}$.

\item
\begin{enumerate}
\item
 $\left(U_n \right)$ est une suite géométrique de premier terme $U_0=\np{2500}$ et de raison $\np{1.025}$ car chaque terme, sauf le premier, se déduit du précédent  en le multipliant par un même nombre $\np{1.025}$.

 $\left(V_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $V_0=\np{2500}$ et de raison 65 car chaque terme, sauf le premier, se déduit du précédent en lui ajoutant le même nombre $65$.
 
\item \label{suite}Exprimons $U_n$ en fonction de $n$

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$ donc ici, $U_n=\np{2500}\times(\np{1.025})^n$.

Exprimons $V_n$ en fonction de $n$.

Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n=u_0+nr$ donc ici, $V_n=\np{2500}+65n$.
\end{enumerate}
\item On donne ci-dessous un extrait d'une feuille de tableur.
\begin{enumerate}
\item 
\'Ecrivons une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage C3:C10. 

Nous pouvons écrire = C2*1,025 ou =\$C2*1,025 ou \verb|=$C$2*1,025^B3|
	
\item \'Ecrivons une formule qui, entrée dans la cellule D3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage D3:D10.

 Nous pouvons écrire =D2+65 ou =\$D2+65.
{\footnotesize 
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.75}}c|c|c|c|c|c|}
\hline
\rowcolor[gray]{0.75}&A&B&C&D\\
\hline 
1 & Date & Rang de l'année & $U_n$ & $V_n$ \\
\hline
2 & 15 juin 2012 & 0 & \np{2500} & \np{2500} \\
\hline
3 & 15 juin 2013 & 1 & & \\
\hline
4 & 15 juin 2014 & 2 & & \\
\hline
5& & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}}
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
Calculons, à un euro près, la somme disponible avec le placement A le jour du 18\up{e} anniversaire de Noé, soit le 15 juin 2017. En 2017 $n=5$  donc en remplaçant dans la relation écrite en \ref{suite}.

$U_5=2500\times \np{1.025}^5\approx \np{2828}$. Noé disposera de \np{2828}~\euro.
\item Calculons la somme disponible avec le placement B le 15 juin 2017.$V_5=\np{2500}+65\times 5=2825$.Noé disposera de \np{2825}~\euro.
\item Le placement le plus intéressant si Noé décide de disposer de son argent à ses 18~ans est le placement A mais il obtiendrait à peine 3~\euro{} de plus.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\large
\textbf{
ANNEXE\\
À rendre avec la copie\\
EXERCICE 3
}
\end{center}

\vspace{3cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-5)(20,45)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-5)(20,45)
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-5)(20,45)
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{18.0}{10 2 2.71828  0.15 x mul exp mul add}
\psplot[plotpoints=800,linecolor=blue,linewidth=0.75pt]{0}{20}{2 x mul}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green,linewidth=0.5pt](8.6725194,-1.2)(8.6725194,17.34504)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green,linewidth=0.5pt](15.96429,-1.2)(15.96429,31.92858)
\uput[135](17,35){$C$}\uput[d](8.67,-1.5){\scriptsize\color{green}$\approx \np{8.7}$}
\uput[d](15.96,-1.5){\scriptsize\color{green}$\approx \np{16}$}
\rput(12.48,5.2){\scriptsize  zone où l'entreprise est bénéficiaire }
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{<->}(8.6725194,4.5)(15.96429,4.5)
\uput[ur](19,36) {D}
\end{pspicture*}

\end{center}
\end{document}