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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Relecture François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{4 septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{ \textbf{\decofourleft~\Large Baccalauréat STHR Antilles-Guyane ~\decofourright\\[5pt]  4 septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}  

\medskip

Ces dernières années, la cuisine japonaise a connu un énorme essor en dehors du Japon. Une étude du ministère japonais de l'Agriculture, des Forêts et de la Pêche a permis d'obtenir les données suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&\multicolumn{3}{c|}{Nombre de restaurants de cuisine japonaise}\\ \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Année 2013	&Année 2015&Taux d'évolution de 2013 à 2015\\ \hline
Monde (hors Japon)		& \np{55000}		& \np{89000} &\\ \hline
Europe uniquement		& \np{5500} & \np{10555} &91,9\,\%\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\footnotesize \emph{Ministère japonais de l'Agriculture, des Forêts et de la Pêche}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer, en justifiant, le taux d'évolution du nombre de restaurants de cuisine japonaise de 2013 à 2015 en Europe et dans le monde.
\item Montrer que le taux d'évolution moyen annuel du nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe entre 2013 et 2015 est d'environ 38,5\,\%.
\item On considère que le nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe continue de croître de 38,5\,\% tous les ans à partir de l'année 2015. 

On note $u_n$ le nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe durant l'année $2015 + n$ sous cette hypothèse. 

On a $u_0 = \np{10555}$.

Par la suite, tous les résultats seront arrondis à l'unité.

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$.
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner sa raison.
		\item Calculer $u_5$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
		\item On souhaite déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe dépassera les \np{25000} établissements.
		
Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'à la fin de son exécution la variable A donne la réponse à cette question.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$U \gets \np{10555}$\\
$A \gets 2015$\\
Tant que \ldots \ldots\\
\qquad $U \gets \ldots$\\
\qquad $A \gets A + 1$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

La boutique d'un hôtel de style japonais vend des bentô (boîtes compartimentées contenant les mets d'un repas) faits maison. 

On note $f(x)$ le coût de fabrication, en euros, de $x$ bentô.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On a représenté la fonction $f$ en annexe 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, déterminer le coût de fabrication de $10$ bentô.
\item Quel est le nombre maximal de bentô que la boutique peut préparer chaque jour si son budget quotidien ne doit pas dépasser $100$~euros ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur [1~;~20] par 

\[f(x) = 0,2x^2 - 0,4x + 39,2.\]

 Le coût unitaire d'un bentô est donné par :

\[g(x) = \dfrac{f(x)}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g(x)$ peut s'écrire sous la forme :

\[g(x) = 0,2x - 0,4 + \dfrac{39,2}{x}.\]

\item Calculer la dérivée $g'(x)$.
\item On admet que $g'(x)$ peut s'écrire sous la forme:

\[g'(x) = \dfrac{0,2(x - 14)(x + 14)}{x^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle [1~;~20].
		\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~20].
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Combien de bentô la boutique doit-elle préparer chaque jour pour que le coût unitaire
soit minimal ?
		\item Quel est le coût total de fabrication de ce nombre de bentô ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le propriétaire du restaurant \og Aux $100$ sushis \fg{} a répertorié ses bénéfices lors des années précédentes dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2014 	&2015	&2016 	&2017	&2018 	&2019\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&1 		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
Bénéfice $y_i$
(en milliers d'euros)	&67,4 	&69,3	&72,9 	&73,1	&74,8 	&78,2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter, sur l'annexe 2, le nuage de points associé au bénéfice annuel de ce restaurant.
\item Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement
de $y$ en $x$ de ce nuage.
\item On utilisera par la suite l'ajustement affine suivant : $y = 2x + 65,5$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite correspondante sur l'annexe 2.
		\item En admettant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, quel bénéfice ce restaurateur peut-il prévoir pour l'année 2025 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une échoppe japonaise propose un service de plats à emporter. Elle est très célèbre pour ses ramen au porc (spécialité culinaire japonaise) et pour la réduction faite aux clients qui apportent leur propre bol.

Durant l'année 2019, 71\,\% des commandes à emporter étaient des ramen au porc; pour 43\,\% de celles-ci, le bol était apporté par le client. Pour les commandes ne concernant pas des ramen au porc, le restaurateur a fourni un bol dans 65\,\% des cas.

On choisit au hasard l'une des commandes de l'année 2019. On note:

\setlength\parindent{12mm}
$R$ l'évènement \og il s'agit d'une commande de ramen au porc \fg{} ;

$B$ l'évènement \og le client a apporté son propre bol pour la commande \fg.
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre pondéré décrivant cette situation en annexe 3.
\item Calculer $P(R \cap B)$. Interpréter le résultat dans le cadre de l'énoncé.
\item Montrer que $P(B) = \np{0,4068}$.
\item On choisit une commande au hasard parmi celles où le client a apporté son propre bol. Quelle est la probabilité que la commande soit des ramen au porc?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe à remettre avec la copie \\[10pt]
Annexe 1}

\bigskip

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.12cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(20,90)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,85)}
\multido{\n=0+5}{18}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=30,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(20,85)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{20}{x dup mul 0.2 mul 0.4 x mul sub 9.2 add}
\uput[u](19.5,0){$x$}\uput[r](0,83){$y$}
\uput[d](17.2,-5){Nombre de bentô}
\uput[r](0,90){Coût de fabrication}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{\large Annexes à remettre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 2}

\medskip

\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(13,26)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,26)}
\multido{\n=0.0+0.5}{53}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=64]{->}(0,0)(0,0)(13,26)
\end{pspicture}

\vspace{2cm}

\textbf{Annexe 3}

\bigskip

\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$~~} \taput{0,71}}
	{\TR{$B$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{R}$~~} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$B$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{B}$} \tbput{0,65}
	}
}
\end{center}
\end{document}