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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{26 novembre 2019}}
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\begin{center}{\large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration~\decofourright\\[5pt] Nouvelle Calédonie  26 novembre 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.\\
Le candidat doit traiter les trois exercices.\\
Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}  

\vspace{0.25cm}

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude a été menée depuis l'année 2007 sur le chiffre d'affaires annuel d'un club de vacances. Les résultats, exprimés en millions d'euros, ont été répertoriés dans le tableau ci-dessous avec indice de base $100$ en 2007.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A					&B		&C		&D		&E		&F		&G		&H		&I		&J\\ \hline
1	& Année				&2007 	&2008 	&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015\\ \hline
2	& Chiffre d'affaires&21,7 	&23,4 	&22,7 	&27,8 	&25,1 	&28,2 	&32,5 	&37,6 	&40\\ \hline
3	& Indice			&100	&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'indice du chiffre d'affaires en 2015.

\emph{On arrondira le résultat au dixième}.
\item Parmi les quatre formules qui suivent indiquer sur votre copie celle que l'on peut écrire en cellule C3 et qui, par recopie vers la droite, permet de compléter la ligne 3.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Formule 1 &Formule 2 &Formule 3 &Formule 4\\ \hline
=(C2/\$B\$2)*\$B\$3& =(C2$-$B2)/B2 &=C2/B2 &=(\$C\$2/\$B\$2)*\$B\$3\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Montrer que le taux d'évolution du chiffre d'affaires entre 2007 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est égal à 84,3\,\%.
\item Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires entre 2007 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est égal à 7,9\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On a constaté que depuis 2015 le chiffre d'affaires augmentait chaque année de 3\,\%.

On note $u_n$ le chiffre d'affaires, en millions d'euros, de l'année $2015 + n$, avec $n$ entier naturel.

On a ainsi $u_0 = 40$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Estimer le chiffre d'affaires en 2019. On arrondira la réponse au million d'euros.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter l'algorithme ci-dessous afin de déterminer le rang $n$ à
partir duquel $u_n$ est supérieur à 50.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$N \gets 0$\\
$U\gets \ldots\ldots$\\
Tant que $U \ldots\ldots$\\
\hspace{1.25cm}$N \gets N+1$\\
\hspace{1.25cm}$U \gets \ldots \ldots$\\
Fin tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item La variable $N$ à la fin de l'exécution de l'algorithme prend la valeur $8$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}  

\vspace{0.25cm}

Les parties A et B sont indépendantes

\medskip

Une restauratrice remarque une baisse de fréquentation de son établissement et décide de diversifier sa carte.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Afin de déterminer le type de plat à proposer, elle effectue une enquête dans les rues de son quartier.

Parmi les réponses:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item 42\,\% des personnes interrogées souhaitent une offre bio dans les restaurants du
quartier ;
\item 25\,\% de celles qui souhaitent une offre bio mangent de la viande;
\item 20\,\% de celles qui ne souhaitent pas une offre bio ne mangent pas de viande.
\end{itemize}

\medskip

On choisit une personne au hasard parmi celles qui ont été interrogées. 

On note:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $B$ l'évènement : \og la personne choisie souhaite une offre bio \fg. 
\item $V$ l'évènement : \og la personne choisie mange de la viande\fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre donné ci-dessous.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B~~$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$V$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{V}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{B}~~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$V$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{V}$} \tbput{\ldots}
	}	
}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une phrase l'évènement $B \cap V$. Calculer sa probabilité. 
		\item Montrer que $P(V) = 0,569$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
La restauratrice décide d'ajouter un menu bio à sa carte. Elle estime qu'elle ne peut pas préparer plus de $60$ ~menus bio dans une journée. Le coût unitaire, en euros, de ce menu bio est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~60] par

\[f(x) = 0,005x^2 - 0,4x + 12,\]

où $x$ est le nombre de menus bio préparés et vendus dans la journée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, la restauratrice prépare et vend $20$ menus bio.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est alors le coût unitaire de ce menu bio ?
		\item La restauratrice vend chaque menu bio $10$ euros. Quel est le bénéfice réalisé pour
un menu bio vendu ?
	\end{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Résoudre dans l'intervalle [1~;~60], l'équation $0,01x - 0,4 = 0$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~60].
		\item En déduire le nombre de menus bio à préparer et à vendre pour que le coût
unitaire soit minimal.
		\item Quel est ce coût unitaire minimal ?
	\end{enumerate}
\item  La restauratrice souhaite connaitre le nombre de menus à préparer et à vendre pour que son bénéfice soit maximal. Pour cela elle a réalisé une feuille de calcul, \textbf{donnée en annexe}.
Répondre au problème posé par la restauratrice à l'aide de la feuille de calcul.
\item  Est-ce que le bénéfice est maximal lorsque le coût unitaire est minimal ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}  

\vspace{0.25cm}

On a représenté sur le graphe ci-dessous 8 villes que l'on note A, B, C, D, E, F, G et H. Une arête symbolise une route entre deux villes sur laquelle est indiqué le temps moyen de parcours exprimé en minutes.

Par exemple, le temps moyen de parcours entre les villes A et B est de $7$~minutes.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,6.25)
\cnodeput(0,4){A}{A}\cnodeput(2,6){B}{B}
\cnodeput(4,4){C}{C}\cnodeput(0,0){D}{D}
\cnodeput(4,0){E}{E}\cnodeput(8,4){F}{F}
\cnodeput(8,0){G}{G }\cnodeput(2,2){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*[nrot=:U]{7}
\ncline{C}{A}\ncput*[nrot=:U]{6}
\ncline{A}{D}\ncput*[nrot=:L]{5}
\ncline{A}{H}\ncput*[nrot=:U]{3}
\ncline{B}{C}\ncput*[nrot=:U]{6}
\ncline{C}{E}\ncput*[nrot=:L]{4}
\ncline{C}{F}\ncput*[nrot=:U]{5}
\ncline{H}{C}\ncput*[nrot=:U]{5}
\ncline{D}{H}\ncput*[nrot=:U]{4}
\ncline{D}{E}\ncput*[nrot=:U]{12}
\ncline{E}{G}\ncput*[nrot=:U]{6}
\ncline{H}{E}\ncput*[nrot=:U]{10}
\ncline{F}{G}\ncput*[nrot=:L]{7}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Les questions 1. et 2. sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Proposer un chemin partant de A, passant une et une seule fois par chaque ville et se terminant en A.
\item Un livreur d'un service de livraison à domicile doit se rendre de la ville A à la ville G. 

Déterminer, sans justification, le parcours le plus rapide, en précisant les villes par lesquelles il doit passer ainsi que le temps nécessaire.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe de l'exercice 2}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|m{1cm}|c|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\cline{1-4}\cline{6-9}
 $x$&$f(x)$&Recette $R(x)$&$R(x) - x \times  f(x)$&&$x$&$f(x)$&Recette $R(x)$&$R(x) - x \times  f(x)$
 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
1&11,605&10& 	$-1,605	$&	&31	&4,405	&310&173,445 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
2&11,22	& 20	&$-2,44$	&	&32	&4,32	&320&181,76 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
3&10,845& 30	&$-2,535$	&	&33	&4,245	&330&189,915 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
4&10,48	& 40	&$-1,92$	&	&34	&4,18	&340&197,88 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
5&10,125& 50	&$-0,625$	&	&35	&4,125	&350&205,625 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
6&9,78	& 60&1,32		&	&36	&4,08	&360&213,12 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
7&9,445& 70&3,885		&	&37	&4,045	&370&220,335 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
8&9,12& 80&7,04			&	&38	&4,02 	&380&227,24 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
9&8,805& 90&10,755		&	&39	&4,005	&390&233,805 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
10&8,5& 100&15			&	&40	&4 		&400&240 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
11&8,205 &110&19,745	&	&41	&4,005 	&410&245,795 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
12&7,92& 120&24,96 		&	&42	&4,02	&420&251,16 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
13&7,645& 130&30,615	&	&43	&4,045	&430&256,065 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
14&7,38& 140&36,68		&	&44	&4,08 	&440&260,48 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
15&7,125& 150&43,125	&	&45	&4,125	&450&264,375 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
16&6,88& 160&49,92		&	&46	&4,18 	&460&267,72 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
17&6,645& 170&57,035	&	&47	&4,245 	&470&270,485 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
18&6,42& 180&64,44		&	&48	&4,32 	&480&272,64 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
19&6,205& 190&72,105	&	&49	&4,405	&490&274,155 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
20&6& 200&80 			&	&50	&4,5	&500&275 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
21&5,805&210&88,095		&	&51	&4,605 	&510&275,145 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
22&5,62& 220&96,36		&	&52	&4,72	&520&274,56 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
23&5,445& 230&104,762	&	&53	&4,845	&530&273,215 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
24&5,28& 240&113,28		&	&54	&4,98	&540&271,08 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
25&5,125& 250&121,875	&	&55	&5,125	&550& 268,125 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
26&4,98& 260&130,52		&	&56	&5,28	&560&264,32 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
27&4,845& 270&139,185	&	&57	&5,445	&570&259,635 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
28&4,72& 280&147,84		&	&58	&5,62	&580&254,04 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
29&4,605& 290&156,455	&	&59	&5,805	&590&247,505 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
30&4,5&300&165			&	&60	&6		&600&240 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}