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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration}
\lfoot{\small Métropole--La Réunion}
\rfoot{\small{6 septembre 2018}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat STHR Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[5pt]6 septembre 2018 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}  

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Pour connaître la fréquentation d’un restaurant gastronomique, une enquête a été menée auprès
des habitants de la commune dans laquelle il se trouve. La répartition des personnes interrogées
est la suivante :

\begin{itemize}
\item 10\,\% ont moins de 30 ans,
\item 40\,\% ont entre 30 et 50 ans,
\item 50\,\% ont plus de 50 ans.
\end{itemize}

\medskip

À la question : \og avez-vous déjà mangé dans ce restaurant ? f\fg,
\begin{itemize}
\item 20\,\% des moins de 30 ans ont répondu \og oui \fg,
\item 35\,\% des personnes âgées entre 30 et 50 ans ont répondu \og oui \fg,
\item 45\,\% des plus de 50 ans ont répondu \og oui \fg.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On prend au hasard l’une des réponses de cette enquête.

\begin{itemize}
\item On note $J$ l’évènement : la personne interrogée a moins de $30$ ans.
\item On note $M$ l’évènement : la personne interrogée a un âge compris entre $30$ et $50$ ans.
\item On note $S$ l’évènement : la personne interrogée a plus de $50$ ans.
\item On note $R$ l’évènement : la personne interrogée a déjà mangé dans ce restaurant.
\end{itemize}

\medskip
\begin{enumerate}
\item  En utilisant les données de l’énoncé, recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

\bigskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.75pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$J$}\taput{0,10}}
	  { 
		  \TR{$R$}\taput{}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{}	   
	  }
	\pstree{\TR{$M$}\tbput{0,40}}
	  {
		  \TR{$R$}\taput{0,35}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{}
	  }
\pstree{\TR{$S$}\tbput{}}
	  {
		  \TR{$R$}\taput{}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{}
	  }

}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l’évènement \og la personne interrogée a moins de 30 ans et a déjà
mangé dans ce restaurant \fg.
		\item Calculer la probabilité de l’évènement \og la personne interrogée a un âge compris entre 30 et
50 ans et a déjà mangé dans ce restaurant \fg.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait déjà mangé dans ce restaurant est égale
à 0,385.
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 30 ans, sachant qu’elle a déjà
mangé dans ce restaurant.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Rappel : l’intervalle centré $[p-\frac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\frac{1}{\sqrt{n}}]$
 est un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% utilisable pour des échantillons de taille $n\geqslant 25$
 et des proportions $p$ du caractère comprises entre 0,2 et 0,8 .}

\medskip

\np{2000} habitants de la commune dans laquelle se trouve le restaurant gastronomique ont répondu à
l’enquête de fréquentation. 38,5\,\% des personnes interrogées déclarent avoir mangé dans ce
restaurant. Le restaurateur prétend que 40\,\% des habitants de la commune fréquentent son
restaurant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% en utilisant cette proportion de 40\,\%.
\item Que pensez-vous de l’affirmation du restaurateur ?
\end{enumerate}

\vspace{0,55cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}  

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Un restaurant a produit \np[kg]{2200}  de déchets non recyclables en 2016. Le gérant du restaurant met
en œuvre des mesures pour réduire ces déchets comme le demande la réglementation.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le gérant du restaurant a réduit de \np[kg]{110}  la masse des déchets non recyclables en 2017.
Quel pourcentage de réduction annuelle a-t-il ainsi réalisé ?
\item Dans un premier modèle, on suppose que le gérant réduira de 5\,\% exactement la masse de
déchets non recyclables chaque année à compter de 2017.

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $D_n$ la masse de déchets non recyclables l’année $2016 +n$, ainsi $D_0 =\np{2 200}$.
 \begin{enumerate}
\item  Calculer $D_1$ et $D_2$.
\item Justifier que $\left(D_n\right)$ est une suite géométrique, préciser son premier terme et la raison.
\end{enumerate}
\item Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’à la fin de son exécution la variable $D$
contienne le terme de rang $N$ de la suite $\left(D_n\right)$ :

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|lr|}
\hline
$D \leftarrow \np{2200}$&\\
Pour $i$ allant de 1 à $N$&\\
\phantom{xxx}$D\leftarrow \cdots$&\\
Fin Pour&\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le modèle précédent ne correspond pas à l’évolution prévisible de la masse de déchets non
recyclables. On étudie un second modèle plus réaliste : l’évolution de la masse de déchets non
recyclables entre les années 2017 et 2028 est maintenant modélisée par la fonction $f$ définie sur
l’intervalle [1~;~12] et représentée ci-dessous.

On note $x$ le nombre d’années écoulées à partir de l’année 2016 et $f(x)$ la masse, en kilogrammes,
de déchets non recyclables produits par le restaurant. Ainsi,$f(1)$ est la masse en kilogrammes de
déchets non recyclables produits en 2017.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.00625cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1.25,-130)(20,1070)
\multido{\n=0+0.2}{66}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+40}{26}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(13,\n)}
\multido{\n=0+200}{6}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=darkgray](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Oy=1200,Dy=200,]{->}(0,0)(13.3,1050)
\uput[ur](0,1010){\footnotesize Masse en kg}
\uput[u](12,-3){\footnotesize Rang de l'année}
% 
%\uput[ul](3,362){\textcolor{red}{$G$}}
%\psset{arrowscale=2}
\def\Func{800 x div 100 add}
% \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 24.07 def \Func)(!24.07 /x 24.07 def \Func)(24.07,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{12}{\Func}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique ci-dessus :
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée de $f(8)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
		\item À partir de quelle année le restaurant produira-t-il une masse de déchets non recyclables
inférieure à \np[kg]{1600}  ?
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l’intervalle [1~;~12] , on admet que :

\[ f(x)=\dfrac{800}{x}+\np{1300}.\] 

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Le restaurateur souhaite diminuer à terme de moitié la masse de déchets non recyclables
produits en 2017. Selon ce modèle, y parviendra-t-il un jour ?
\end{enumerate}

\vspace{0,55cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}  

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse
donnée.

\begin{enumerate}
\item Le tableau suivant donne les montants du SMIC (Salaire Minimum Interprofessionnel de
Croissance) brut en euros au 1er janvier de chaque année de 2010 à 2017 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.65cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année&2010 	&2011	&2012	&2013	&2014 	&2015	&2016	&2017\\\hline
Rang &0		& 1		& 2		& 3		& 4		& 5		& 6		& 7\\\hline
Montant du SMIC
 en euros 	&\np{1344}& \np{1394}&\np{1398} & \np{1430}&\np{1445} &\np{1458}&\np{1467} &\np{1480}\\\hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : INSEE}}
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Affirmation 1}

La droite d’équation $y = -15x + \np{1344}$ réalise un ajustement linéaire satisfaisant du montant du
SMIC en fonction du rang des années.

\begin{minipage}{8cm}\item Dans le graphe ci-contre, le nombre qui figure sur
une arête indique la distance entre les deux sommets
reliés par cette arête.

\textbf{Affirmation 2}

Le trajet le plus court partant de A et se terminant
en F est ACEF.
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\psset{unit=1.35cm,shortput=tablr,labelsep=0.2pt}
\begin{pspicture}(-1,1)(9,7)
%\psgrid
\Cnode[radius=0.3cm](0,3){D}\rput(0,3){\large D}
\Cnode[radius=0.3cm](2.6,3){E}\rput(2.6,3){\large E}
\Cnode[radius=0.3cm](2.5,6){B}\rput(2.5,6){B}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,1.5){F}\rput(1.5,1.5){F}
\Cnode[radius=0.3cm](0,6){A}\rput(0,6){\large A}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,4.5){C}\rput(1.5,4.5){\large C}
\ncline{-}{A}{B}^{36} \ncline{-}{A}{C}>{64}\ncline{-}{A}{D}<{90}\ncline{-}{B}{C}>{22}\ncline{-}{C}{D}>{12} \ncline{-}{C}{E}>{50}
\ncline{-}{D}{F}\ncline{-}{D}{E}^{24}\ncline{-}{D}{F}<{54}\ncline{-}{E}{F}>{28}  
\end{pspicture}
\end{minipage}

\item À la suite d’une enquête de satisfaction menée auprès des clients d’un hôtel, on modélise le taux
de satisfaction par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance \textmu = 0,38 et d’écart type $\sigma = 0,05$.

\textbf{Affirmation 3}

En arrondissant à 0,01, la probabilité que le taux de satisfaction soit supérieur à 40\,\% est égale
à 0,52.
\end{enumerate}
\end{document}