\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{lastpage} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} %%% Tapuscrit : Denis Vergès \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STI2D STL}, pdftitle = {Métropole - La Réunion -- 19 juin 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{\,e\,}} \renewcommand{\i}{\text{i}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STI2D et STL} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small{19 juin 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \vspace{0.25cm} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D et STL Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]19 juin 2018}} \end{center} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie. \medskip \begin{enumerate} \item Le plan complexe est muni d'un repère \Ouv. On considère le point A de coordonnées $\left(- 4\sqrt{2}~;~ 4\sqrt{2}\right)$. Une écriture exponentielle de l'affixe du point A est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $8\text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{4}}$& \textbf{b.~~} $8\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$& \textbf{c.~~} $4 \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{4}}$& \textbf{d.~~} $4 \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ \end{tabularx} \medskip \item Sur le graphique ci-dessous, l'aire grisée est délimitée par la courbe d'équation $y = 2\text{e}^{- x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = 2$, où $a$ est un nombre réel strictement inférieur à 2. \begin{center} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-0.5)(3.5,4.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5](-1.5,0)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.4}{2}{2 2.71828 x exp div} \psline(2,0)(-0.4,0)(-0.4,3)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.5}{2 2.71828 x exp div} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5](-1.5,0)(3.5,4.5) \uput[d](3.4,0){$x$} \uput[l](0,4.4){$y$} \uput[ur](2,0.3){\blue $y = 2\text{e}^{- x}$} \uput[d](-0.4,0){$a$} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \end{pspicture*} \end{center} L'aire grisée a une valeur strictement comprise entre $0,5$ et $1$ unité d'aire lorsque $a$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $- 0,5$&\textbf{b.~~} $0$&\textbf{c.~~} $0,5$&\textbf{d.~~} $1,5$ \end{tabularx} \medskip \item On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 6$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\R$. On note $f$ l'unique solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0) = 5$. La valeur de $f(2)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $2\text{e}^{-4} + 3$&\textbf{b.~~} $2\text{e}^{4} + 3$&\textbf{c.~~} $5\text{e}^{- 4} + 3$&\textbf{d.~~} $5\text{e}^{4} + 3$ \end{tabularx} \medskip \item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)$. La primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ telle que $F(1) = 3$ est donnée par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $F(x) = x\ln (x) - 2x + 5$& \textbf{b.~~} $F(x) = \dfrac{3}{x}$\\ \textbf{c.~~} $F(x) = x \ln (x) + 3$& \textbf{d.~~} $F(x) = x\ln (x) - x + 4$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient $280$ litres d'eau et des poissons. Par évaporation, le volume d'eau dans l'aquarium diminue de 2\,\% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum $240$~litres d'eau. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d'une semaine ? \item Est-il vrai qu'au bout de deux semaines, exactement 4\,\% du volume d'eau initial se seront évaporés ? Justifier. \item Déterminer au bout de combien de semaines le volume d'eau dans l'aquarium deviendra insuffisant. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, $5$~litres d'eau pour compenser l'évaporation hebdomadaire de 2\,\%. On note $u_0$ le volume initial d'eau en litres dans l'aquarium. Ainsi $u_0 = 280$. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $u_n$ le volume d'eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l'ajout hebdomadaire des $5$ litres d'eau. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $u_2 = 278,812$. \item Justifier que pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+ 1} = 0,98 u_n + 5$. \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique. \item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $k$ désigne un nombre entier naturel et $U$ un nombre réel. \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline $U \gets 280$\\ Pour $k$ allant de $1$ à \ldots\\ \hspace{0.9cm}$U \gets \ldots$\\ Fin Pour\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'algorithme pour qu'à la fin de son exécution, la variable $U$ contienne $u_6$. \item Quel est le volume d'eau dans l'aquarium, en litres à $10^{-2}$ près, $6$ semaines après son installation immédiatement après l'ajout hebdomadaire des $5$ litres d'eau? \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 250$. On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$. \begin{enumerate} \item Calculer $v_0$. \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 30 \times 0, 98^n + 250$. \item Justifier que la préconisation concernant le volume d'eau dans l'aquarium est respectée. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip Le niveau sonore $N$ d'un bruit, à une distance $D$ de sa source, dépend de la puissance sonore $P$ de la source. Il est donné par la relation \[N = 120 + 4\ln \left(\dfrac{P}{13 \times D^2}\right)\] où $N$ est exprimé en décibels (dB), $P$ en Watts (W) et $D$ en mètres (m). \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Les questions 1. et 2. sont indépendantes \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le niveau sonore $N$ d'un bruit entendu à $10$ mètres de la source sonore dont la puissance $P$ est égale à $2,6$~Watts. On arrondira le résultat à l'unité. \item On donne $N = 84$~dB et $D = 10$~m. Déterminer $P$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d'aménagement de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore $P$ égale à $0,026$~Watts. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'à une distance $D$ de la machine, le niveau sonore $N$ dû à celle-ci vérifie la relation : \[N = 120 + 4\ln (0,002) - 4\ln \left(D^2\right).\] \item Montrer qu'une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln (D)$. \end{enumerate} \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice, à une distance de $x$ mètres de la machine, le niveau sonore $N$ émis par la machine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,1~;~20] par : \[f(x) = 95,14 - 8\ln (x).\] \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Déterminer une expression de $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. \item Donner le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [0,1~;~20]. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,1~;~ 20]. \end{enumerate} \item On suppose qu'un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine. La législation en vigueur l'oblige à porter des protections individuelles contre le bruit dès qu'un risque apparaît. Justifier, à l'aide du tableau ci-dessous, que l'ouvrier doit porter des protections individuelles contre le bruit. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|}\hline \textbf{Impacts sur l'audition}& \textbf{Niveaux sonores en décibels}\\ \hline Aucun &[0~;~85[\\ \hline Risque faible &[85~;~90[\\ \hline Risque élevé &[90~;~120[\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l'entreprise sort de la zone de risque élevé (c'est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à $90$~dB). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On s'intéresse au lien entre la puissance $P$ d'un bruit et la distance $D$ de sa source pour différentes valeurs de son niveau sonore $N$. \begin{center} \psset{unit=120cm,yunit=0.6cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.005,-0.5)(0.09,18) \multido{\n=0.00+0.002}{46}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,18)} \multido{\n=0.00+0.01}{10}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,18)} \multido{\n=0.0+0.4}{46}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(0.09,\n)} \multido{\n=0+2}{10}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(0.09,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.01,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(0.09,18) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{0.0535}{77.87 x 0.5 exp mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{0.07}{42.2 x 0.5 exp mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{0.07}{22.03 x 0.5 exp mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{0.07}{11.79 x 0.5 exp mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{0.07}{7.06 x 0.5 exp mul} \psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0.02,11)\uput[r](0.02,11){A}r \uput[r](0.054,17.6){$\mathcal{C}_{N=74,9}$} \uput[r](0.07,11.2){$\mathcal{C}_{N=79,8}$} \uput[r](0.07,5.8){$\mathcal{C}_{N=85}$} \uput[r](0.07,3.1){$\mathcal{C}_{N=90}$} \uput[r](0.07,1.7){$\mathcal{C}_{N=94,1}$} \uput[d](0.088,0){$P$} \uput[l](0,18){$D$} \end{pspicture} \end{center} \medskip On admet que pour une puissance de $0,02$ Watt, le niveau sonore du bruit est de $74,9$ décibels à une distance de $11$~mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées $(0,02; 11)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{N=74,9}$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour un bruit de puissance $P$ égale à $0,06$ W, déterminer graphiquement à quelles distances minimale et maximale de la source peut se situer une personne pour que le niveau sonore $N$ soit compris entre $85$ et $90$ dB. \item Pour une source sonore située à une distance $D$ de $8$~m, déterminer graphiquement les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre $74,9$~dB et $79,8$~dB. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \medskip Un industriel commercialise des portes blindées. Il projette de lancer un nouveau modèle de portes blindées : les portes \og SECUR \fg. Équipées d'un digicode et d'une caméra, elles seront donc plus sécurisées que celles déjà existantes sur le marché. \medskip \emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Avant de débuter son projet, l'industriel s'intéresse à une étude portant sur le prix de vente des portes blindées classiques existantes. Le prix de vente, en euros, d'une porte blindée classique est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = \np{3000}$ et d'écart type $\sigma = 750$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité $P(\np{1500} \leqslant X \leqslant \np{4500})$. \item Déterminer la probabilité qu'une porte blindée classique coûte plus de \np{2500}~ euros. \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant où $a$ désigne un nombre entier naturel. \begin{center} \begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline $a$ & $P(X \leqslant a)$\\ \hline \np{3950} &\np{0,8974}\\ \hline \np{3960} &\\ \hline \np{3970} &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Déterminer le montant minimal, à l'euro près, tel qu'au moins 90\,\% des portes blindées classiques aient un prix de vente inférieur à ce montant. \item L'industriel estime que le prix de vente du modèle de porte blindée équipée \og SECUR\fg{} ne devra pas dépasser de plus de 15\,\% le montant minimal précédent. Quel prix de vente maximal $M$, à l'euro près, peut-il envisager pour une porte du modèle \og SECUR\fg{} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'industriel envisage de commercialiser les portes blindées de modèle \og SECUR \fg{} au tarif $M$ déterminé précédemment. Il souhaite estimer la proportion de personnes susceptibles d'acheter son nouveau modèle. Une enquête est réalisée sur un échantillon de $984$ personnes intéressées par l'achat d'une porte blindée. Sur cet échantillon, $123$ personnes se disent favorables à l'achat du modèle \og SECUR \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, de la proportion de personnes favorables à l'achat du nouveau modèle. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \emph{On rappelle que pour une fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$, l'intervalle de confiance au niveau de confiance $95$\,\% de la proportion $p$ du caractère étudié dans la population est donné par: $\left[f - 1,96\sqrt{\frac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1,96 \sqrt{\frac{f(1 - f)}{n}}\right]$.}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Pour que l'industriel prenne le risque d'investir dans les portes \og SECUR\fg, il faudrait qu'au minimum 20\,\% des personnes souhaitant s'équiper d'une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle. A-t-il intérêt à réaliser son projet ? \end{enumerate} \end{document}