\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{enumitem} \usepackage{tabularx} \usepackage{multicol} \usepackage{colortbl} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-all,graphicx} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} % Tapuscrit Denis Vergès \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {STI2D STL/SPCL Polynésie}, pdftitle = {4 septembre 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STI2D et STL/SPCL} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small 4 septembre 2018} \pagestyle{fancy} \label{Polynesie juin} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D et STL/SPCL - Polynésie 4 septembre 2018 ~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse proposée est exacte. Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent de point.\\ \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.}} \bigskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Le nombre complexe solution de l'équation $3\text{i}z + 1 = \text{i}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.~~} $z = -1 - 2\text{i}$&\textbf{b.~~}$ z = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\text{i}}{ 3}$\\ \textbf{c.~~} $z = -\dfrac{1}{3}$ &\textbf{d.~~} $z= \dfrac{- 1 - \text{i}}{3}$ \end{tabularx} \medskip \item On considère les deux nombres complexes $z = 4 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ et $z' = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$. Sur le graphique ci-dessous, le nombre $z + z'$ est représenté par le point: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} \textbf{a.~~} A&\textbf{b.~~} B&\textbf{c.~~} C&\textbf{d.~~} D \end{tabularx} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-6,-1)(4,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1] \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-6,-0.9)(4,5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1) \psdots(3.5,1)(2.5,3)(-5.5,1.5)(2,3)%ABCD \uput[ur](3.5,1){A} \uput[ur](2.5,3){B} \uput[u](-5.5,1.5){C} \uput[ul](2,3){D} \end{pspicture} \end{center} \item On considère la fonction $f$ définie sur $I = \left] - \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{2}{2x + 1}$. Une primitive de $f$ sur $I$ est la fonction $F$ définie par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.~~} $F(x) = 2\ln (2x + 1)$ &\textbf{b.~~} $F(x) = \dfrac{- 4}{(2x+1)^2}$\\ \textbf{c.~~} $F(x) = \dfrac{2x}{x^2+x}$ &\textbf{d.~~} $F(x) = \ln (2x + 1)$ \end{tabularx} \medskip \item Le graphique ci-dessous donne, dans un repère orthogonal, la représentation graphique des fonctions $f$ et $g$ définies sur l'ensemble des réels par : \[f(x) = x^2 - 3x \quad \text{et}\quad g(x) = 3 - x.\] \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-5,-3)(7,7) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x dup mul 3 x mul sub} \psline(3,0)(-1,4) } \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1] \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-4.9,-2.9)(6.9,6.9) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{x dup mul 3 x mul sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{6}{3 x sub} \uput[u](6.8,0){$x$}\uput[r](0,6.8){$y$} \end{pspicture*} \end{center} On souhaite connaître l'aire du domaine grisé. Cette aire, en unité d'aire, est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.~~} $\displaystyle\int_{-1}^3[f(x) - g(x)]\:\text{d}x$& \textbf{b.~~} $\displaystyle\int_{0}^3[g(x) - [(x)]\:\text{d}x$\\ \textbf{c.~~} $\displaystyle\int_{-1}^3\left[- x^2 - 4x + 3\right]\:\text{d}x$& \textbf{d.~~} $\displaystyle\int_{-1}^3g(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{-1}^3 f(x)\:\text{d}x$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip \emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.\\[5pt] Les résultats seront arrondis au millième.} \smallskip Un pâtissier utilise une machine pour fabriquer des gâteaux au chocolat pesant en moyenne $500$ grammes. Pour être commercialisable, un gâteau doit peser entre $485$ grammes et $515$ grammes. \smallskip La masse, en gramme, d'un gâteau au chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 500$ et d'écart type $\sigma = 11$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la masse d'un gâteau au chocolat soit supérieure à $515$ grammes. \item Calculer la probabilité $p$ qu'un gâteau au chocolat choisi au hasard dans la fabrication soit commercialisable. \item Le pâtissier trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de fabrication afin de faire varier la valeur de l'écart type sans modifier celle de l'espérance $\mu$. On désigne par $Y$ la nouvelle variable aléatoire modélisant la masse, en gramme, d'un gâteau au chocolat. Cette variable aléatoire suit la loi normale d'espérance $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma'$. Déterminer une valeur approchée de $\sigma'$ pour que la probabilité qu'un gâteau au chocolat soit commercialisable ait pour valeur approchée $0,95$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le pâtissier utilise une balance électronique. La durée de fonctionnement sans dérèglement, en jour, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est égale à $0,913$. Déterminer la valeur exacte de $\lambda$ puis la valeur arrondie au millième. \end{enumerate} Dans la suite on prendra $\lambda = 0,003$. \begin{enumerate}[resume] \item Déterminer la probabilité que la balance électronique se dérègle durant les $90$ premiers jours. Arrondir le résultat au millième. \item Le vendeur de cette balance électronique a assuré au pâtissier qu'il y a une chance sur deux que la balance ne se dérègle pas avant 365 jours. A-t-il raison ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \medskip La consommation de soins et de biens médicaux (CSBM) en France comprend les soins hospitaliers, les soins ambulatoires (médecins, dentistes, auxiliaires médicaux, laboratoires d'analyse, thermalisme), les transports sanitaires, les médicaments et les autres biens médicaux (optique, prothèses, petit matériel et pansements). \bigskip \textbf{Partie A} \medskip En 2008, la CSBM s'élevait à $164,7$ milliards d'euros. Afin de mieux maîtriser les dépenses de santé, le Gouvernement souhaitait que les dépenses liées à la CSBM n'augmentent que de 2\,\% par année. On modélise l'évolution souhaitée par le Gouvernement par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ désigne le montant, en milliards d'euros, des dépenses pour l'année $(2008 + n)$. On a donc $u_0 = 164,7$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item Calculer $u_7$. On donnera la valeur arrondie au dixième. \item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne la CSBM réelle en milliards d'euros depuis l'année 2008 en France. Dans cette partie, on ne demande pas de compléter le tableau. \begin{center}\textbf{Consommation de soins et de biens médicaux à partir de 2008} \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I\\ \hline 1 &Année &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015\\ \hline 2 &CSBM en milliards d'euros&164,7 &169,8 &173,5 &178,7 &182,6 &186,1 &191,2 &194,0\\ \hline 3 &Évolution en pourcentage &\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} & & & & & & &\\ \hline \multicolumn{10}{r}{\footnotesize Source: Drees, comptes de la santé (édition 2016)}\\ \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le pourcentage d'évolution de la CSBM entre les années 2008 et 2015 arrondi à 0,01\,\% . \item Les cellules C3 à I3 sont au format pourcentage. Proposer une formule à entrer en C3 qui, recopiée vers la droite jusqu'en I3, permet de déterminer le taux d'évolution en pourcentage des dépenses entre deux années consécutives. \end{enumerate} \item À partir de 2015, on suppose que la CSBM augmentera de $2,4$\,\% par année. On veut déterminer, à l'aide de l'algorithme ci-dessous, l'année à partir de laquelle la CSBM dépassera $300$ milliards d'euros. \begin{center} \begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline $N \gets 0$\\ $V \gets 194$\\ Tant que \ldots \ldots\\ \hspace{0.5cm}$N \gets \ldots$\\ \hspace{0.5cm}$V \gets \ldots$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'algorithme. \item Quelle est la valeur de la variable $N$ après exécution de l'algorithme ? \item En quelle année la CSBM dépassera-t-elle les $300$~milliards d'euros? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par : \[w(t) = 4 \text{e}^{-200t} + 146.\] On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $w(0)$. \item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite. \end{enumerate} \item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \begin{enumerate} \item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$. \item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 . \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de $150$~rad.s$^{-1}$. On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage. Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ : \[\dfrac{1}{200}y' + y = 146\] où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre cette équation différentielle. \item Vérifier que la fonction $w$ étudiée dans la \textbf{partie A} est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $w(0) = 150$. \end{enumerate} \item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $w(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction $w$, déterminés dans la \textbf{partie A}. \item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est stabilisée lorsque la quantité $\dfrac{w(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$. Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde. \end{enumerate} \end{document}