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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Voiture redessinée  : François Hache
% Relecture :Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{17 juin 2025}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Polynésie 17 juin 2025}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

\medskip

\textbf{\large EXERCICE 1 \hfill physique-chimie et mathématiques \hfill 4 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Accélération d'un véhicule}
\end{center}

Un véhicule électrique de masse, notée M, de valeur \np[kg]{1 600} , se déplace sur une
route horizontale et rectiligne.

Le constructeur souhaite vérifier si l'intensité de la force $\vv{F}$ de traction vaut environ
$\np[N]{800}$  pour une accélération de $\np[\text{m} \cdot \text{s}^{-2} ]{0,5}$ .

\begin{center}
\begin{pspicture}(2,-0.5)(10,0.5)
\psset{arrowsize=0.3}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(10,0)(2,0)
\uput[u](6,0){Sens du mouvement}
\end{pspicture}
%\includegraphics[scale=0.5]{voiture_polynesie_2025}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.9cm}
\scalebox{0.7}{
\begin{pspicture}(0,1)(12,5)
%\psgrid
\pscircle[linewidth=8pt](9,1.8){0.8}
\pscircle[linewidth=8pt](3,1.8){0.8}
\psline[linewidth=4pt,linecolor=white](2.2,1.8)(9.8,1.8)
\pscircle[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=black](3,1.8){0.3}
\pscircle[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=black](9,1.8){0.3}
\psset{linewidth=3pt}
\psarc(9,1.8){1}{0}{180} \psline(8,1.8)(8,1.4) \psline(10,1.8)(10,1.6)
\psarc(3,1.8){1}{0}{180} \psline(8,1.8)(8,1.4) \psline(2,1.8)(2,1.4)
\psline(4,1.8)(4,1.4)(8,1.4) \psline(2,1.4)(1,1.6)(1,2)(1.8,2)
\pscurve(1,2.2)(1,2.4)(2,3)(4,3.4)(4,3.4)(6,4.4)(6,4.4)(7,4.6)(8,4.6)(10,3.8)(11,3)
\psline(11,3)(10.4,3) \psarc(11,3){0.6}{180}{300}
\psline(11,3)(11.4,2.2)(11.4,1.8)(10,1.6)
\pscurve(2,3)(1.5,2.3)(1,2.2)
\psline(4.4,1.4)(4.4,3.4)(9.6,3.4)
\pscurve(4.4,3.4)(6,4.2)(6,4.2)(7,4.4)(8,4.4)(9,4.1)(9.6,3.7)(9.6,3.4)(9.6,3.4)
\pscurve(7.6,3.4)(7.8,3)(7,1.4)
\psline(8,4.4)(7.6,3.4) \psline(7,2.8)(7.4,2.8) \psline(1.6,2.2)(11,2.2)
\end{pspicture}
}%%% fin du scalebox
\end{center}

Le graphique du \textbf{document \no 1 } représente l'évolution de la vitesse instantanée $v(t)$
(exprimée en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ en fonction du temps $t$ (exprimé en seconde) durant 50 secondes.

\textbf{1 u.a. = 1 unité d'aire.}

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.2cm,labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-10,-5)(57,27)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](0,0)(11,5)
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=5,Dy=5,]{->}(0,0)(55,25)
\psframe[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.1pt=](45,15)(50,20)
\uput[d](55,0){\footnotesize $t$ en $s$}
\uput[l](-4,10){\rotatebox{90}{\small Vitesse en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$}}
\uput[u](47.5,16){\footnotesize 25 u.a.}
\uput[d](25,-4){\textbf{Document \no 1 :} évolution de la vitesse instantanée}
\psset{linewidth=1.25pt,linecolor=blue}
\psbezier(0,0)(3,0)(2,10)(5,10) \psline(5,10)(10,10)
\psbezier(10,10)(17,10)(23,20)(30,20) \psbezier(30,20)(37,20)(43,0)(50,0)
\end{pspicture}
\end{center}

L'accélération instantanée est la dérivée de la vitesse par rapport au temps:
\[a(t)=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}(t)\]
avec :
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item $v(t)$ la vitesse instantanée en m$\cdot$s$^{-1}$ à l'instant $t$;
\item $a(t)$ l'accélération instantanée en m$\cdot$s$^{-2}$ à l'instant $t$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Décrire la nature du mouvement de la voiture sur chacun des intervalles de temps
[0; 5], [5 ; 10], [10 ; 30] et [30; 50].
\end{enumerate}

On s'intéresse à l'accélération instantanée du véhicule sur l'intervalle [1 ; 4], et on
admet que sur cet intervalle, on a : $v(t) = 2t$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer la valeur de l'accélération $a(t)$ sur l'intervalle [1 ; 4].
\end{enumerate}
La distance totale, notée $D$ et exprimée en mètre, parcourue par le véhicule en 50
secondes est donnée par:
\[D = \int_0^{50} v(t)\d t\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Donner, en exploitant le graphique, une estimation de la distance totale
parcourue par le véhicule.
\item Déduire la valeur de la vitesse moyenne du véhicule, exprimée en $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$, dans l'intervalle de temps [0 ; 50].
\item Établir l'inventaire des forces qui agissent sur le véhicule lorsqu'il est en mouvement.
\end{enumerate}

On admet que le principe fondamental de la dynamique se réduit ici à la relation

$\vv{F}$= M $\vv{a}$, où $\vv{F}$ est la force de traction du véhicule et $\vv{a}$ le vecteur accélération.

\begin{enumerate}[resume]
\item Indiquer la force négligée dans cette étude.
\end{enumerate}

Dans l'intervalle de temps [15 ; 25], l'accélération du véhicule a pour norme $0,5$~m$\cdot{}$s$^{-2}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Vérifier si l'intensité de la force $F$ de traction pour une accélération de $0,5$~m$\cdot$s$^{-2}$ vaut bien environ \np[N]{800} dans l'intervalle de temps [15 ; 25].
\end{enumerate}

\vspace{0.75cm}

\textbf{\large EXERCICE 3   \hfill 4 points}

\medskip

\emph{\large Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip


\begin{center}
\textbf{\large Mathématiques}
\end{center}

\medskip

\section*{Partie 1}

On considère les nombres complexes $z_1 = \sqrt{3} - \i$ et $z_2 = 2~\e^{\i\frac{\pi}{4}}$ où $\i$ désigne le nombre
complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.
\begin{enumerate}
\item  Écrire le nombre $z_1$ sous forme exponentielle. Détailler les calculs.
\item Démontrer que le nombre $Z = z_1^3\times z_2^2$ est un nombre réel en détaillant les calculs.
\end{enumerate}

\medskip

\section*{Partie II}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(E)~ :\quad  ~y' = -4y + 80\]
où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$. 
\begin{enumerate}[resume]
\item  Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $f(0) = 100$.
\item Donner, sans la justifier, la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}

\end{document}