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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2021}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Métropole~\decofourright\\[10pt]septembre 2021}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 1 commun à tous les candidats \hfill 4 points}

%\medskip
\begin{center}
(physique-chimie et mathématiques)
\end{center}

\medskip

ICE MEMORY est un programme international qui vise à constituer des archives de la composition de l'air, pour analyser les évolutions et leur impact sur le climat.

Il s'agit de collecter des carottes de glace des glaciers à forte valeur scientifique parmi les plus exposés au changement climatique et de les stocker en Antarctique pour les scientifiques des générations futures.

\emph{Source: www.cnrs.fr}

Les analyses réalisées sur les carottes de glace permettent de mesurer les variations passées du climat, de l'environnement et, tout particulièrement, de la composition atmosphérique grâce aux micro-bulles piégées dans la glace : variations de la température, des concentrations atmosphériques des gaz à effet de serre, des émissions d'aérosols naturels ou de polluants d'origine humaine.

\emph{Source: www.ice-memory.org}

Afin d'effectuer des analyses de l'eau constituant la carotte, on fait fondre une tranche de carotte de glace de forme cylindrique de $1,0$ cm d'épaisseur et $10$ cm de diamètre à l'aide d'un appareil de chauffage de puissance $P_0 = 500$ W.

\medskip

\textbf{Données :}

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{itemize}
\item masse volumique de la glace : 

$p_{\text{glace}} =917~\text{kg.m}^{-3}$
\item capacité thermique massique de la glace:

$c_{\text{glace}} =2,06$~kJ. kg$^{-1}$ . K$^{-1}$
\item capacité thermique massique de l'eau
liquide:

$C_{\text{eau}} = 4,18$ kJ. kg$^{-1}$ . K$^{-1}$
\item énergie massique de fusion de la glace:

$E_{m, fus} = 333$ kJ . kg$^{-1}$
\end{itemize}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{itemize}
\item volume V d'un cylindre de surface de base S
\end{itemize}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.8,-0.5)(4,4)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.9,0.5){0}{180}
\psellipticarc(0,0)(1.9,0.5){180}{3600}}
\rput(0,0){$S$}\rput(0,1.4){$V = S \times h$}
\psline{<->}(0,3.3)(1.9,3.3)\uput[u](0.95,3.3){$r$}
\psline{<->}(2.3,0)(2.3,3.3)\uput[r](2.3,1.65){$h$}
\psellipse(0,3.3)(1.9,0.5)
\psline(-1.9,0)(-1.9,3.3)\psline(1.9,0)(1.9,3.3)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de la masse de la tranche de glace.
\item Montrer qu'une énergie totale d'environ $37$ kJ est nécessaire pour:

\begin{itemize}
\item chauffer cette glace, initialement à $- 40~\degres$ C ;
\item la faire fondre;
\item et porter l'eau liquide obtenue à 25~\degres C.
\end{itemize}

\medskip

L'appareil de chauffage atteint la puissance $P_0 = 500$ W en 15 secondes. 

On l'éteint à l'instant $t_f$ lorsque l'eau liquide obtenue par la fonte de la glace atteint 25 \degres C.

La courbe représentée ci-après donne l'évolution de la puissance $P(t)$ fournie par l'appareil au cours du chauffage, avec $P(t)$ en W et $t$ en seconde.

Cette courbe est formée d'un segment de droite et d'une demi-droite parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{xunit=0.15cm,yunit=0.005cm}
\begin{pspicture}(85,900)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=15,Dy=500](0,0)(0,0)(20,900)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(85,900)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(15,500)(80,500)
\uput[d](80,0){$t_f$}\uput[d](84,0){$t$}
\uput[r](0,880){$P(t)$}
\end{pspicture}

\bigskip

Évolution de la puissance en fonction du temps au cours du chauffage avec $P(t)$ en W et $t$ en seconde
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le \textbf{document réponse DR1, à rendre avec la copie}, hachurer sur le graphique en respectant les légendes proposées, le domaine dont l'aire vaut
		
$\displaystyle\int_0^{15} P(t)\:\text{d}t$ et le domaine dont l'aire vaut $\displaystyle\int_{15}^{t_1} P(t)\:\text{d}t$.

Préciser les valeurs de ces aires.
		\item Donner l'expression de $\displaystyle\int_0^{t_1} P(t)\:\text{d}t$ en fonction de $t_1$.
		\item Donner l'expression de $P(t)$ pour $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~15]. Donner
une primitive de $P$ sur l'intervalle [0~;~15]. 

Retrouver la valeur de $\displaystyle\int_0^{15} P(t)\:\text{d}t$.
	\end{enumerate}
\item En supposant que toute l'énergie fournie par le chauffage sert à faire fondre la glace et à porter l'eau liquide obtenue à $25~\degres$ C, déterminer l'instant $t_1$. 

On utilisera les résultats obtenus aux questions 2 et 3. b.
\item En réalité, le temps de chauffe est de 1 min 45 s. Commenter.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 commun à tous les candidats \hfill 4 points}

\bigskip

\textbf{Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six que comporte l'exercice.\\
Les questions sont indépendantes. Chacune d'elles est notée sur un point.\\[3pt]
Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique
clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice.}

\medskip

\emph{Pour chaque question, préciser si l'affirmation est vraie ou fausse et justifier la
réponse choisie.}

\bigskip

\textbf{Question 1}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 \e^x$.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 1 :\\
\og La fonction $f$ est croissante sur $\R$ .\fg\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = \ln (2x + 1)$.

On désigne par $\mathcal{C}_h$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine O
et d'unité graphique $1$~cm.

On note $M(x~;~y)$ un point de la courbe $\mathcal{C}_h$. On suppose que l'ordonnée $y$ du point $M$
est supérieure à $15$~cm.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 2 :\\
\og L'abscisse $x$ du point $M$ se situe à plus de $16$~km du point O. \fg\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

Le thorium 231 est un élément radioactif qui se désintègre selon la loi:

$N(t) = N(0)\e^{- 0,027 t}$ où $N(0)$ est le nombre de noyaux au début de l'observation et
$N(t)$ le nombre de noyaux à l'instant $t$ exprimé en heure. 

La demi-vie d'un élément radioactif est le temps au bout duquel la moitié de ses noyaux se sont désintégrés.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 3 :\\
\og La demi-vie du thorium 231 est d'environ 11 heures. \fg\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t) = \cos(t) + 2 \sin(t)$.

On considère l'équation différentielle $(E)\, : y'' + y = 0$.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 4 :\\
\og La fonction $f$ est solution sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$ et vérifie les
conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 2$. \fg\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5 :}

On considère le nombre complexe $z = \dfrac{2 - \text{i}}{1 - 3\text{i}}$.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 5 :\\
\og Le nombre complexe $z^4$ est un nombre réel négatif. \fg\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 6 :}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On considère
les points A, B et C d'affixes respectives:

\[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 4 + 2\text{i}\quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = - 4\text{i}.\]

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Affirmation 6 :\\
\og Le triangle ABC est rectangle et isocèle. \fg\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\end{center}

\textbf{DR1 : évolution de la puissance de l'appareil en chauffage}

\medskip

Légende : 

\begin{pspicture}(1,0.5)
\psframe[fillstyle=vlines](1,0.5)
\end{pspicture} : aire correspondant à $\displaystyle\int_0^{15} P(t)\:\text{d}t$ \quad \begin{pspicture}(1,0.5)
\psframe[fillstyle=hlines](1,0.5) \end{pspicture}: aire correspondant à $\displaystyle\int_{15}^{t_f} P(t)\:\text{d}t$

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.15cm,yunit=0.005cm}
\begin{pspicture}(85,900)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=15,Dy=500](0,0)(0,0)(20,900)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(85,900)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(15,500)(80,500)
\uput[d](80,0){$t_f$}\uput[d](88,0){$t$}
\uput[r](0,880){$P(t)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}