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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués~\decofourright\\Métropole--La Réunion
21 juin 2011}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Les 32 employés d'une entreprise se répartissent de la façon suivante: 18 ouvriers, 6 cadres et 8 techniciens.
 
%14 employés ont plus de 40 ans. Parmi les techniciens, 3 ont plus de 40 ans.
% 
%On interroge au hasard un technicien. La probabilité qu'il ait moins de 40 ans est égale à :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~}$\dfrac{5}{8}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{3}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{5}{32}$\\ 
%\end{tabularx}
5 techniciens ont moins de 40 ans, donc la probabilité est égale à $\dfrac{5}{8}$ : réponse \textbf{a.~~}
\medskip 
	 		 		 
\item %On interroge au hasard un employé de l'entreprise considérée à la question 1. La probabilité que ce ne soit ni un technicien, ni une personne de plus de quarante ans est égale à : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~}$\dfrac{3}{8}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{22}{32}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{13}{32}$\\  
%\end{tabularx}

Il y a $18 + 6 = 24$ non techniciens et parmi ceux-ci il y a $14 - 3 = 11$ personnes de plus de 40 ans  ; la probabilité est donc égale à : $\dfrac{24 - 11}{32} = \dfrac{13}{32}$ : réponse \textbf{c.~~}
\medskip  

  
%\parbox{0.62\linewidth}{Dans les questions 3. et 4., on considère l'ellipse (E) représentée ci-contre dans le plan rapporté au repère orthonormal \Oij.} \hfill
%\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.4cm}\begin{pspicture}(-5.5,-3.5)(5.5,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5.5,-3.5)(5.5,3.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-5,-3)(5,3)
%\uput[d](5.5,0){$x$}\uput[l](0,3.5){$y$}\uput[dr](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}
%\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}  \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\psellipse(0,0)(5,3)
%\end{pspicture}}
 
\item %L'ellipse (E) a pour équation:

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
%\textbf{a.~~}$25x^2 +9y^2 = 1$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$&\textbf{c.~~} $\dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{3} = 1$\\
%\end{tabularx}
Avec le sommet (5~;~0) on trouve la réponse \textbf{b.~~}
\medskip 

\item  %Un des foyers de l'ellipse (E) a pour coordonnées:

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~}(4~;~0)&\textbf{b.~~} (2~;~0) &\textbf{c.~~} (0~;~4) \\
%\end{tabularx}
Avec $a = 5$ et $b = 3$, on sait que $c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 = 4^2$, donc $c = 4$ : réponse \textbf{a.~~}
\medskip 

\item  %Soit $S$ l'ensemble des solutions dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation $\ln x = - 2$, alors: 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $S = 0$&\textbf{b.~~} $S = \{- 2\}$ &\textbf{c.~~} $S = \left\{\dfrac{1}{\text{e}^2}\right\}$ \\ 
%\end{tabularx}
$\ln x = - 2$ entra\^{\i}ne en prenant l'exponentielle de chaque membre $x = \text{e}^{- 2} = \dfrac{1}{\text{e}^2}$. Réponse \textbf{c.~~}
\medskip 

\item  %L'équation $0,5 \text{e}^x = 4$ a pour solution :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $\ln 8$&\textbf{b.~~} $2\ln 4$ &\textbf{c.~~} $\text{e}^8$ \\  
%\end{tabularx}
$0,5 \text{e}^x = 4$ en multipliant par 2, on obtient $\text{e}^x = 8$ soit en prenant le logarithme népérien $x = \ln 8$ : réponse \textbf{a.~~}
\medskip  

\item  %Une primitive de la fonction $h :\quad  x \longmapsto x^2 + 2$ définie sur $\R$ est la fonction $H$ définie sur $\R$ par :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} $H(x) = 2x $&\textbf{b.~~} $\dfrac{x^3}{3} + 2x + 1$ &\textbf{c.~~} $x^3 + 2x$ \\ 
%\end{tabularx}
Réponse \textbf{b.~~}
\medskip 

\item  %Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 2x + 1 + \dfrac{1}{x}$. Sa courbe représentative dans un repère du plan admet pour asymptote en $+ \infty$, la droite d'équation :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $x = 1$&\textbf{b.~~} $y = 0$ &\textbf{c.~~} $y = 2x + 1$ \\ 
%\end{tabularx}
Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - (2x + 1) = \dfrac{1}{x}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} d(x) = 0$ ceci montre que la droite d'équation $y = 2x + 1$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ au voisinage de plus l'infini : réponse \textbf{c.~~}
\medskip 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
%La courbe $(\mathcal{C})$ donnée en annexe (à rendre avec la copie) est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~3] dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O et d'unité graphique 5~cm. 
%
%On suppose que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~3] et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.
% 
%Les données sont les suivantes :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[(1)] : La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points A, B et D d'abscisses respectives 1, 2 et 3. Les points A, A$'$, B$'$ et D$'$ ont des coordonnées entières. 
%\item[(2)] : La droite (BE), parallèle à l'axe des abscisses, est tangente en B à la courbe $(\mathcal{C})$. 
%\item[(3)] : La droite (AB$'$) est tangente en A à la courbe $(\mathcal{C})$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\vspace{0,5cm}
% 
%On répondra aux questions ci-dessous par une lecture graphique. De ce fait, certains résultats seront arrondis au dixième.
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer
 
On lit $f(1) = 1,\,f(2) = \dfrac{3}{5}$ et $f(3) = \dfrac{4}{5}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation de la droite (AB$'$).
		On trouve facilement $y = - x + 2$
		\item %Déterminer $f'(1)$ et $f'(2)$.
$f'(1) = \dfrac{- 1}{1} = - 1$	et $f'(2) = 0$.	
	\end{enumerate}		 
\item %Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ et préciser le signe de sa dérivée $f'$.
Sur [1~;~2] la dérivée est négative : la fonction décroit de 1 à $\dfrac{3}{5}$ ;

Sur [2~;~3]  la dérivée est positive : la fonction croit de $\dfrac{3}{5}$ à $\dfrac{4}{5}$.
\item %Déterminer l'aire du triangle AA$'$B$'$ en unités d'aires.
L'aire est égale à $\dfrac{1 \times 1}{2} = \dfrac{1}{2}$~(unité d'aire).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. 
%Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~3] par $f(x) = x - 2 \ln x$ ($\ln$ désigne la fonction logarithme népérien) satisfait au données (2) et (3) de la partie 1.
$f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~3] et sur cet intervalle :

$f^{\prime}(x) = 1 - 2\dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 2}{x}$.

On a donc $f^{\prime}(2) = 0$ : la tangente au point d'abscisse 2 est horizontale ;

La tangente en A(1~;~1) a pour équation :

$y - f(1) = f^{\prime}(1)(x - 1)$ ; avec $f(1) = 1$ et $f^{\prime}(1) = - 1$, l'équation s'écrit $y - 1 = -(x - 1)$ ou encore $y = - x + 2$ : c'est bien l'équation de la droite (AB$'$).
%\medskip
% 
%On suppose désormais que la fonction $f$ représentée en annexe est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~3] par : $f(x) = x - 2\ln x$.
%
%\medskip
 
\item  %Soit $F$ la fonction définie sur [1~;~3] par : $F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2x -2x\ln x$. Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [1~;~3].
$F$ est dérivable sur  [1~;~3] et 

$F^{\prime}(x) = \dfrac{2x}{2} + 2 - 2\ln x - 2x \times \dfrac{1}{x} = x + 2 - 2\ln x - 2 = x - 2\ln x = f(x)$. Ceci montre que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [1~;~3]
\item  %On pose $I = \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$. Calculer la valeur exacte de $I$ et en donner une interprétation graphique.
On a  $I = \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{1}^3 = F(3) - F(1) = \dfrac{3^2}{2} + 2\times 3 - 2 \times 3  \ln 3 - \left[\dfrac{1^2}{2} + 2 \times 1 -2 \times 1 \ln 1  \right] = \dfrac{9}{2} + 6 - 6\ln 3- \dfrac{1}{2} - 2 = 8 - 6\ln 3$.

Ce nombre est l'aire en unité d'aire de la surface limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.
\item  %Soit $(\mathcal{P})$ la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, la droite (AB$'$) et la droite (DD$'$). 
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer $(\mathcal{P})$ et calculer son aire en unités d'aire.
Voir la figure à la fin 
		\item %Le domaine $(\mathcal{P})$ représente la maquette à l'échelle $\dfrac{1}{3}$ du logo d'une société. Calculer l'aire en cm$^2$ de ce logo, arrondie à l'unité.
L'aire du domaine $(\mathcal{P})$ est égale à $I$ moins l'aire du triangle AA$'$B$'$ soit : $8 - 6\ln 3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{2} - 6\ln 3$.

L'aire du logo est $3 \times 3$ soit neuf fois plus grande soit $9\left(\dfrac{15}{2} - 6\ln 3 \right)$ unités d'aire.

Comme une unité d'aire est égale à $5 \times 5 = 25$~cm$^2$, l'aire en cm$^2$ du logo est égale à :

$25 \times 9\left(\dfrac{15}{2} - 6\ln 3 \right) = 225\left(\dfrac{15}{2} - 6\ln 3 \right) \approx  204$~cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à l'exercice 2 - À joindre à la copie} 

\vspace{2cm}

\psset{unit=3.6cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(3.3,1.7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(3.3,1.7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,gridwidth=0.5pt,subgridwidth=0.25pt,subgridcolor=orange](-0.2,-0.2)(3.3,1.7)
\psline(1,1)(2,0)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,1)(1,1)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,0.8)(3,0.8)
%\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,0.6)(2,0.6)
\uput[ur](1,1){A} \uput[ur](2,0.6){B} \uput[ur](3,0.8){D} 
\uput[ul](0,0.6){E} \uput[ur](1,0){A$'$} \uput[ur](2,0){B$'$} \uput[ur](3,0){D$'$} 
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x x ln 2 mul sub}
\uput[d](2.6,0.7){$(\mathcal{C})$}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](3.2,0){$x$}\uput[r ](0,1.6){$y$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,1)(2,0.6)(3,0.8)(0,0.6)(1,0)(2,0)(3,0)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x x ln 2 mul sub}
\psline(3,0)(2,0)(1,1)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}