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\begin{document}
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\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Antilles--Guyane juin 2008~\decofourright}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera seulement sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte.  Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes.}
 
\emph{Chaque  réponse exacte rapporte un point. Les réponses fausses ne sont pas pénalisées.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  La solution de l'équation : $ 2\ln x = 3$  est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$2\text{e}^{\frac{3}{2}}$&\textbf{b.}~~$\text{e}^{\frac{3}{2}}$&\textbf{c.}~~$\ln \dfrac{3}{2}$&\textbf{d.}~~$2\ln 3$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item On lance deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros sortis. La probabilité d'obtenir une somme égale à 5 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$\dfrac{5}{36}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{1}{9}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{1}{6}$&\textbf{d.}~~$\dfrac{1}{11}$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par  $g(x) =  2x^3 -  6x + 1$. L'équation de la tangente à la  courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 2 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$y = 6x - 7$&\textbf{b.}~~$y = 6x + 5$&\textbf{c.}~~$y = 18x - 31$&\textbf{d.}~~$y = 18x + 31$\\
\end{tabularx}

\medskip  
 
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation : $\text{e}^x \geqslant  2$ 	est :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$]0~;~+ \infty[$&\textbf{b.}~~$]0~;~\ln 2[$&\textbf{c.}~~$[\ln 2~;~+ \infty[$&\textbf{d.}~~$]- \infty~;~\text{e}^2[$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Dans une classe de 24 élèves, 12 font de l'escalade, 9 font de la natation et 5 pratiquent les deux activités. On rencontre au hasard un élève de cette classe, la probabilité qu'il pratique au moins l'une de ces deux activités est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$\dfrac{11}{24}$&\textbf{b.}~~$0,6$&\textbf{c.}~~$0,875$&\textbf{d.}~~$\dfrac{2}{3}$\\
\end{tabularx}

\medskip  
\item  Dans un repère orthonormé \Oij{} du plan, on considère les points F(3 ; 0) et F$'(- 3~;~0)$. On considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ du plan tels que $M\text{F} +  M\text{F}' = 10$.

\medskip
 
\textbf{Affirmation 1 :}  la courbe $\mathcal{C}$ est 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~une parabole&\textbf{b.}~~une ellipse&\textbf{c.}~~une hyperbole&\textbf{d.}~~un cercle\\
\end{tabularx}

\medskip  

\textbf{Affirmation 2 :} le point  $M$ est un sommet   de la courbe  $\mathcal{C}$ 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~le point $M$(4~;~0)&\textbf{b.}~~le point $M$(2~;~0)&\textbf{c.}~~le point $M$(5~;~0)&\textbf{d.}~~le point $M$(0~;~5)\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\textbf{Affirmation 3 :} une équation cartésienne  de la courbe $\mathcal{C}$ est
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$&\textbf{b.}~~$\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{25} = 1$&\textbf{c.}~~$16x^2 + 25y^2 = 400$&\textbf{d.}~~$25x^2 - 16y^2 = 400$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle : $]0~;~+ \infty[$ 	par

\[ f(x) =  \ln x +  \ln (x + 1)\] 

On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 1~cm en abscisse et 2~cm en ordonnée.

\newpage

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. Quelle interprétation graphique peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
	\end{enumerate} 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Montrer que 	$f'(x) = \dfrac{2x + 1}{x(x + 1)}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier, pour tout $x$  de l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$, le signe de $f'(x)$.
 
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $f(x)$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.)

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,1&0,3&0,5&1	&2	&4	&6	&8	&10	&12\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&0,7&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer la courbe  $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = 0$. (On vérifiera que $f(x)$ s'écrit sous la forme $f(x) = \ln [x(x + 1)]$ et on donnera la valeur exacte de la solution puis la valeur arrondie à $10^{-1}$ près). 		
		\item Interpréter graphiquement cette réponse. 		
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $[1 ~;~ +\infty[$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la  fonction $F$ définie sur $]0~ ; ~+\infty[$ par $F(x) =  x \ln x + (x + 1)\ln(x + 1) -  2x$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle.  
		\item  Calculer l'aire $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =  1$ et $x = 12$. 

On donnera d'abord la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm$^2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}