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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole juin 2006~\decofourright}

\vspace{1cm}

Coefficient : 2 \hfill Durée : 2 heures

\bigskip

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet. 

\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} on a dessiné une ellipse $\mathcal{E}$ de sommets :

\[\text{A}(4 ~;~0)\qquad     \text{A}'(-4~;~0) \qquad   \text{B}(0~;~3) \quad          \text{et}   \quad  \text{B}'(0~;~-3)\]

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-3.5)(4.5,3.5)
\psframe(-4.5,-3.5)(4.5,3.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4.,-3.)(4.,3.)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-3.5)(4.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](0,0){O} \uput[ur](0,3){B} \uput[dr](0,-3){B$'$} 
\uput[ur](4,0){A} \uput[ul](-4,0){A$'$}
\psellipse[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,0)(4,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'une équation de cette ellipse dans \Oij{} est  : $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1.$
\item Construire géométriquement les deux foyers F et F$'$ puis calculer leurs coordonnées exactes.
\item Pour tout point $M$ de l'ellipse $\mathcal{E}$, par quelle relation $M$F et $M$F$'$ sont-ils liés ?
\item Déterminer les valeurs exactes des abscisses des points de $\mathcal{E}$ d'ordonnée 2.
\item Les sommets d'un rectangle de centre O sont des points de l'ellipse $\mathcal{E}$ et ses côtés sont parallèles aux axes. Quelle doit être la longueur du côté horizontal de ce rectangle pour que sa hauteur soit égale à $2\sqrt{7}$ ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

Pour la construction d'un stand d'exposition, des étudiants en BTS EVEC ont besoin de créer une rampe d'accès reliant le plancher du stand au sol du hall d'exposition. Une rampe plane ne pouvant permettre l'accès aux fauteuils roulants, les élèves de BTS proposent comme solution de remplacer sur la coupe ci-dessous, le segment [OA] par la courbe $\mathcal{C}$ qui fait l'objet du problème suivant.

\begin{center}
\begin{pspicture}(12,4)
\psline(0,0)(8,0)(8,2)(12,2)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.75pt](0,0)(8,2)
\uput[d](4,0){4 m} \uput[u](4,0){Sol du hall}
\uput[r](8,1){1 m} \uput[u](10,2){Plancher du stand} 
\uput[u](8,2){A} \uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

On choisit le repère orthonormé \Oij{} dans lequel le point A a pour coordonnées (4~;~1) et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$  définie sur l'intervalle [0~;~4] par : 

\[f(x) = \dfrac{1}{32}\left(- x^3 + 6x^2\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que O et A sont bien sur la courbe $\mathcal{C}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{-3}{32}x(x - 4)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~4]. Donner ensuite le tableau de variations de $f$ sur [0 ; 4].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(0)$ et $f'(4)$. Donner une interprétation graphique de ces résultats. 
		\item Quel est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point I d'abscisse 2 ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant : (on arrondira les valeurs au centième).

\medskip

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5& 1	&1,5	&2	&2,5&3	&3,5	&	4\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&0,96	&  \\ \hline
\end{tabularx}\]

\medskip
	 
\item On prendra comme unité graphique $5$~cm. Représenter sur une feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que les tangentes aux trois points d'abscisses 0, 2 et 4.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
		\item On note $\mathcal{S}$ la partie située entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation  $x = 4$.
		
Calculer l'aire de $\mathcal{S}$ (en unités d'aires). 
		\item On précise qu'une unité d'aire sur le graphique correspond à 1~m$^2$ en réalité. Sachant que le stand a une largeur de 4~m, quel volume de béton devra-t-on utiliser pour construire la rampe d'accès ? La formule donnant ce volume est $V = B \times h$ où $V$ est le volume, $B$ l'aire de la partie correspondant à la partie $\mathcal{S}$ du graphique et $h$ la largeur du stand.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 