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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2004}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill  8 points}

\medskip

\textsl{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Parmi les réponses proposées à chaque question ou sous-question, une seule est correcte. Dans chaque cas une seule réponse est attendue : on indiquera seulement sur la copie la réponse exacte (aucune justification n'est demandée). Toutes les questions sont indépendantes. Cha\-que réponse exacte rapporte un point.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Des jetons contenus dans une urne peuvent être de $3$ formes (ronds, carrés ou triangulaires) et de $4$ couleurs (rouge, bleu, vert ou jaune). Toutes les possibilités de formes et de couleurs sont présentes dans l'urne. Le nombre de jetons différents est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
81&	7&	12& 	64\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes, la probabilité de l'évènement \og tirer une dame ou un c{\oe}ur \fg{} est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\dfrac{12}{32}$ & 	$\dfrac{1}{11}$	& $\dfrac{11}{32}$ & $\dfrac{1}{12}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère un repère \Oij{} du plan. Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique, dans ce repère, de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = - x^3 + 6x^2 - 9x +20$ . Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$y = 2x + 14$ &	$y = 3x$ &	$y = 18$ &	$y = 3x + 12$\\
\end{tabularx}

\medskip
\item On considère un repère \Oij{} du plan. Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique, dans ce repère, de la fonction $f$ définie sur $]2~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{3x - 4}{x - 2}$ . Cette courbe admet comme asymptote la droite d'équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$y = 2$ &$y=3x-4$ &	$x=2$ &	$y=x-2$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item L'équation $\ln (x + 3) + \ln (x + 5) =  \ln 15$ admet pour ensemble de solutions :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\left\{\dfrac{7}{2}\right\}$	&	$\left\{0\right\}$	&  $\left\{0~;~-8\right\}$  &	$\left\{1~ ;~\text{e}^{-8}\right\}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} on considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $25x^2 + 36y^2 - 900 = 0$. 
	\begin{enumerate} 
		\item  La courbe $\mathcal{C}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
une ellipse&	un cercle&	une hyperbole& 	une parabole\\
\end{tabularx}

\medskip
		\item Un de ses foyers F a pour coordonnées dans le repère orthonormal \Oij{}:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\text{F}\left(0~; ~\sqrt{11}\right)	$&	$\text{F}\left(\sqrt{11}~;~ 0\right)	$& $\text{F}\left(0~;~\sqrt{61}\right)$ 	&	$\text{F}\left(\sqrt{61}~;~0\right)$\\
\end{tabularx}

\medskip

		\item Un de ses sommets A a pour coordonnées :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
A(0~;~5)	&A(5~;~0) &A(36~;~0)&A(0~;~36)\\
\end{tabularx}

\medskip
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 5\text{e}^x  + 4.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $2$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau suivant, en donnant pour chaque valeur de $x$ une valeur approchée de $f(x)$ à $10^{-1}$ près.

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$			&$-4$&$-3$&$-2$&$-1$&	0	&1&1,5& 	2\\ \hline
$f(x)$	& 			& 			& 			&  		& 		& 	& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ dont on donnera une équation.
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour tout réel $x,~ f (x) = \text{e}^{2x}\left(1 - 5\text{e}^{-x} + 4\text{e}^{-2x}\right)$. 
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, calculer $f'(x)$ et vérifier que pour tout $x$ réel $f'(x) = \text{e}^x\left(2\text{e}^x - 5\right)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $X^2 - 5X + 4 =  0$ d'inconnue $X$.		\item À l'aide de la question \textbf{a.} et en posant $X= \text{e}^x$, résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$	d'inconnue $x$.	
		\item En déduire les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des	abscisses.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et l'asymptote $D$ dans le repère \Oij.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$.	
		\item Hachurer sur le graphique la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses	et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 4$. On appelle $\mathcal{A}$ cette partie du plan.	
		\item On admet que la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[0~;~ \ln 4]$.

Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{A}$ puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}