\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~ \overrightarrow{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{A. P{}. M. E. P{}.} \lhead{\small Baccalauréat TSI Génie mécanique, énergétique, civil} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat TSI Métropole juin 2002 ~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil} \end{center} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Partie A} \medskip Une roue de loterie comporte 3 secteurs, portant respectivement les numéros 1, 2 et 3. Quand on fait tourner la roue, un repère indique le numéro sortant. La probabilité de sortie du numéro 2 est double de la probabilité de sortie du numéro 1, et la probabilité de sortie du numéro 3 est triple de celle du numéro 1. Calculer les probabilités de sortie respectives des trois numéros. \bigskip \textbf{ Partie B} \medskip \parbox[c]{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5) \pscircle(0,0){1.5} \SpecialCoor \psline(1.5;-150)(1.5;30) \psline(1.5;-90)(1.5;90) \psline(1.5;150)(1.5;-30) \rput(1;0){R} \rput(1;60){R} \rput(1;120){B} \rput(1;180){J} \rput(1;-120){R} \rput(1;-60){J} \end{pspicture}} \hfill \parbox[c]{0.65\textwidth}{La roue est maintenant divisée en 6 secteurs égaux ayant chacun la même probabilité de s'arrêter devant le repère.\\ 2 secteurs sont jaunes (marqués J sur la figure)\\ 3 secteurs sont rouges (marqués R sur la figure)\\ 1 secteur est bleu (marqué B sur la figure)} \vspace{0,3cm} La règle du jeu est la suivante : pour participer au jeu, le joueur doit miser une certaine somme et si le jaune sort, il gagne $20$~\euro, si le bleu sort, il gagne $30$~\euro, si le rouge sort, il ne gagne rien. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que la mise est de $10$~\euro. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque arrêt de la roue associe le gain effectif (positif ou négatif) du joueur. (Par exemple, si le bleu sort, le gain effectif pour le joueur est de $20$~\euro. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer son espérance mathématique. \end{enumerate} \item L'organisateur du jeu ne souhaite pas que l'espérance de gain du joueur sait positive. à quelle valeur minimale, exprimée par un nombre entier d'euros, doit-il fixer le montant de la mise ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $P(z) = z^3 - 4z^2 + 9z- 10$ où $z$ appartient à l'ensemble $\C$ des nombres complexes. \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 5 = 0$. \item Calculer $P(2)$. \item Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ tels que $P(z) = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right)$. \item Déduire des questions précédentes les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$. \end{enumerate} \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 2\quad ;\quad z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i} \quad ;\quad z_{\text{C}} = 1 - 2\text{i} \quad \text{et} \quad z_{\text{D}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C et D dans le plan complexe (sur papier millimétré). \item Calculer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}} - z_{\text{D}},~z_{\text{B}}-z_{\text{D}}$ et $z_{\text{B}} - z_{\text{A}}$. En déduire la nature du triangle ABD. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}} \bigskip \textbf{Partie A : étude du signe de} \boldmath $x^3 -1 + 2\ln (x)$ \unboldmath \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~,+ \infty[$ par \[g(x) = x^3 - 1 + 2\ln x.\] ($\ln x$ désigne le logarithme népérien de $x$) \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. (Les limites ne sont pas demandées). \item Calculer $g(1)$. \item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Courbe représentative d'une fonction et calcul d'aire}\\ On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~,+ \infty[$ par \[f(x) = x - 1 - \dfrac{\ln x}{x^2}.\] On appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij. (unités : $3$~cm sur l'axe des abscisses, $2$~cm sur l'axe des ordonnées.) \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. \item Montrer que la droite (D) d'équation $y = x - 1$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C})$. Y a-t'il une autre asymptote à $(\mathcal{C})$ ? Si oui, donner son équation. \item Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x^3}$. \item En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, déterminer le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \item Calculer les coordonnées du point d'intersection entre l'asymptote (D) et la courbe $(\mathcal{C})$. Étudier la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite (D). \item Tracer dans le repère \Oij{} la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites (D) et (T). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $H$ définie par \[H(x) = - \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\] est une primitive de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$. \item Soit $\Delta$ le domaine plan limité par (D), $(\mathcal{C})$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \sqrt{\text{e}}$. Hachurer $\Delta$ ; calculer la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, de $\Delta$ ; en donner une valeur approchée au mm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}