\documentclass[10pt,leqno]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{multicol}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Vincent Tolleron
\usepackage{pst-all}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\e{\text{e}}
\def\i{\text{i}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-bezier}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles-Guyane 20 juin 2012~\decofourright\\[4pt]
Génie mécanique (options A et F), civil, énergétique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 

\smallskip

Une machine fabrique \np{10000} pièces par jour. En sortie de fabrication, on a constaté qu'une pièce pouvait présenter deux sortes de défauts: A et B.

Un contrôle qualité a permis d'établir qu'en moyenne:
\begin{itemize}
\item
10~\% du total des pièces présentent le défaut A;
\item 15~\% du total des pièces présentent le défaut B;
\item 2~\% du total des pièces présentant à la fois les défauts A et B.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item
Compléter le tableau figurant en annexe 1 qui sera à rendre avec la copie.

Aucune justification n'est attendue.
\item On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p_1$ qu'elle n'ait aucun défaut.
		\item Calculer la probabilité $p_2$ qu'elle présente un seul défaut.
	\end{enumerate}
\item Une entreprise commercialise les pièces fabriquées par cette machine.
\begin{itemize}
\item
Les pièces qui ne présentent aucun défaut sont vendues 20 euros chacune.
\item Les pièces qui présentent les deux défauts ne sont pas mises en vente.
\item Parmi les pièces qui présentent un seul défaut, 80\,\% sont vendues 12 euros chacune et les autres ne sont pas mises en vente.
\item Dans tous les cas, le coût de fabrication d'une pièce est 10~euros.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer sur les \np{10000} pièces fabriquées le nombre de pièces vendues 12 euros.
		\item Sur les \np{10000} pièces fabriquées, montrer que l'entreprise peut espérer un bénéfice de \np{74160} euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\smallskip

\emph{
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\
Chaque réponse juste rapporte 1 point; une réponse fausse enlève \np{0,25} point; une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro.
}

\smallskip

On désigne par $\i$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item
Le nombre complexe $z = 1+\i\sqrt{3}$ a pour nombre complexe conjugué:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{b.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{c.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{d.}~~}p{2cm}}
$-1-\i\sqrt{3}$ & $-1+\i\sqrt{3}$ & $1- \i\sqrt{3}$ & $\dfrac{1}{1+\i\sqrt{3}}$
\end{tabular}
\end{center}
\item L'équation $\dfrac{z-1}{z+1}=\i$ d'inconnue $z$ admet pour solution:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{b.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{c.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{d.}~~}p{2cm}}
$\i$ & $\dfrac12-\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac12+\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $-\i$
\end{tabular}
\end{center}
\item Le nombre complexe $z=2\sqrt{2}\text{e}^{\i\frac{3\pi}{4}}$ a pour forme algébrique:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{b.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{c.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{d.}~~}p{2cm}}
$-2+2\i$ & $2+2\i$ & $2+\i\sqrt{2}$ & $2-2\i$
\end{tabular}
\end{center}
\item Le nombre complexe $z=-4\i$ a respectivement pour module et argument:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{b.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{c.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{d.}~~}p{2cm}}
4 et 0 & 1 et $\dfrac{\pi}{4}$ & 4 et $-\dfrac{\pi}{2}$  & $-4$ et $\dfrac{3\pi}{2}$
\end{tabular}
\end{center}
\item Le nombre complexe $z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac12\i$ a pour notation exponentielle:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{b.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{c.}~~}p{2cm}@{~~\textbf{d.}~~}p{2cm}}
$-\text{e}^{-\i\frac{\pi}{6}}$ & $\text{e}^{-\i\frac{\pi}{6}}$ & $\text{e}^{\i\frac{\pi}{6}}$ & $-\text{e}^{\i\frac{\pi}{6}}$
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 10 points}
 
\smallskip

On désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels.

Les deux parties de ce problème peuvent être traitées de manière indépendante.

\smallskip

\textbf{Partie A: lectures graphiques}

\smallskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente dans un repère orthonormal \Oij{} une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(ax+b)\text{e}^{-x}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(7,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-3)(6.99,4.99)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt](0,0)(-4,-3)(6.99,4.99)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.0}{7.0}{(2*x+3)*EXP(-x)}
\psplot{-4}{7}{(--3-1*x)/1}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](0,3)
\rput[bl](0.08,3.12){\large $A$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psdots[dotstyle=*](3,0)
\rput[bl](2.7,-0.44){\large $B$}
\uput[-135](-1,4){\large $\mathcal{D}$}
\uput[180](-1.8,-2){\blue \large $\mathcal{C}$}

\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse $0$.

Cette tangente passe par le point $B$ de coordonnées $(3~;~0)$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Lire graphiquement $f(0)$.
		\item En déduire la valeur de $b$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Lire graphiquement le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{D}$.
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		
Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$, puis en déduire la valeur de $a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)= (2x + 3)\text{e}^{-x}$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $-\infty$.
		\item Étudier la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item
Démontrer que pour tout réel $x$, on a: $f'(x)=(-2x-1)\text{e}^{-x}$.
		\item Étudier le signe de $f'$ sur $\R$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$, on a : $f(x) = - f'(x) + 2\text{e}^{-x}$.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'intégrale $I = \displaystyle\int_0^1f(x)\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $I$, puis donner une valeur approchée de $I$ à $10^{-3}$ près.
		\item Étudier le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
		\item Interpréter $I$ comme l'aire, en unités d'aire, d'un domaine du plan à définir.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe de l'exercice 1}

(à rendre avec la copie)}

\bigskip


\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& Nombre de pièces & Nombre de pièces ne &\\
& présentant le défaut & présentant pas le défaut & Total \\
& A & A & \\
\hline
Nombre de pièces & & & \\
présentant le défaut B & & & \\
\hline
Nombre de pièces ne & & & \\
présentant pas le défaut B & & & \\
\hline
Total & & & \np{10000}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}