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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique, énergétique, civil}%
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{8 juin 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie 8 juin 2005~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\textbf{I. Résolution d'une équation}

\medskip

On considère l'équation (E) d'inconnue $z : $

\[z^3 - 2z^2 + 25z -50 = 0.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que 2 est solution de l'équation (E).
\item En déduire que (E) peut s'écrire $(z - 2)\left(\alpha z^2 +\beta z + \gamma \right) = 0$ où $\alpha,~ \beta,~ \gamma$  sont trois nombres réels que l'on déterminera.
\item Résoudre alors l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II. Étude d'une configuration du plan}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé direct \Ouv, unité graphique $1$~cm, placer les points A et B d'affixes respectives $a =  2$ et $b = 5$i.
\item Soit M le milieu du segment [AB]. Placer M dans le repère et déterminer son affixe $m$.
\item Soit P le point d'affixe $p = \dfrac{7\sqrt{2}}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.

Donner l'écriture algébrique de $p$ et placer P dans le repère.
\item Démontrer que le triangle BMP est rectangle et isocèle.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill  5 points}

\medskip

Un mobile, de masse $1$~kg, est attaché à un ressort dont la constante de raideur vaut $k =  9$ N/m.

Si l'on écarte le mobile de sa position d'équilibre O, il effectue des oscillations autour de cette position.

\medskip

À chaque instant $t$, la position du mobile est repérée par son
abscisse $f(t)$ dans le repère $\left(O~ ;~\vect{\imath}\right)$.

Les lois de la Physique montrent que la fonction $f$ est solution de
l'équation différentielle 

(E) : $\dfrac{1}{9}y'' + y = 0$.

\parbox[l]{0.68\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item Trouver la solution générale de l'équation différentielle (E).
\item On suppose qu'à l'instant $t = 0$, le mobile est au point

$f(0) = 0,5$~m et a une vitesse initiale  $f'(0)= 1,5$ m/s.

Montrer que la fonction $f$ est définie par :

$f(t) = \dfrac{1}{2}(\cos 3t + \sin 3t).$\\
\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $t$ : 
$f(t)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(3t - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item  Résoudre l'équation $f(t) = 0$ dans l'intervalle $[0~; \pi]$.
\item  à partir de l'instant $t= 0$, au bout de combien de temps le mobile repassera-t-il pour la première fois à sa position d'équilibre ? (On donnera la réponse arrondie au millième de seconde.)
\end{enumerate}} \hfill \parbox[l]{0.27\textwidth}{
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,6)
\psline(0,0)(0,6)(3,6)
\cnode(1.5,3.1){0.01}{A} \cnode(1.5,6){0.01}{B}
\nccoil[coilwidth=0.5]{B}{A}
\cnode(3,6){0.01}{C} \cnode(3,1.1){0.01}{D}
\nccoil[coilwidth=0.3]{C}{D}
\psframe(1.4,2.9)(1.6,3.1) \psframe(2.9,0.9)(3.1,1.1) 
\psline[linestyle=dashed](1.4,3)(0,3) \psline[linestyle=dashed](2.9,1)(0,1) 
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,3)(0,2.2)
\uput[l](0,3){O} \uput[l](0,2.4){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,1){$f(t)$} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A} Préliminaires

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels , qu'on se propose de déterminer.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe	représentative dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique  : $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que $\mathcal{C}$ passe par Ie point A de coordonnées (0 ; 2)  et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation $y= -x$, déterminer $f(0)$ et $f'(0)$.
\item En déduire que $a = 1$ et que $b =2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} Étude de la fonction $f$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des limites
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en  $+\infty$ et en $-\infty$.	
		\item En déduire la présence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ et en donner une équation.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$, puis étudier son signe.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Étude d'un problème  de tangente	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite ($T$), tangente à  $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-2$.	
		\item Factoriser l'expression $f(x) - x\text{e}^2 - 2\text{e}^2$	et  en déduire son signe.	
		\item En déduire la position de  la courbe $\mathcal{C}$	par rapport à la tangente ($T$).
	\end{enumerate}
\item Tracer dans le repère \Oij{} les tangentes et asymptote connues puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C} Un calcul de volume

\medskip

Soit $\mathcal{S}$	le solide obtenu par rotation  de la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe $\left(\text{O}~\vect{\imath}\right)$, sur l'intervalle [0~;~3].

On se propose de calculer le volume $\mathcal{V}$ du solide $\mathcal{S}$.

On rappelle que $\mathcal{V} = \displaystyle\int_{0}^3 \pi [f(x)]^2\,\text{d}x$	en unités de  volume.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $g$ et $G$ les fonctions définies pour tout nombre réel $x$ par :

\[g(x) = (x+2)^2 \text{e}^{-2x}\quad \text{et}\quad G(x) = \left(- \dfrac{1}{2}x ^2 - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{13}{4}\right)\text{e}^{-2x}.\]

Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur  $\R$.
\item Calculer $\mathcal{V}$ en cm$^3. \left(\text{On donnera la valeur exacte du résultat puis une valeur arrondie au mm}^3\right)$.
\end{enumerate}
\end{document} 