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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2000~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux } \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes 
l'équation suivante :

\[z^2 - 2z + 4 = 0.\]

On appellera $z_1$ la solution dont la partie imaginaire est positive et 
$z_2$ l'autre solution.

\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv~ d'unité
graphique $2$~cm.

On appelle A$_0$, A$_1$ et A$_2$ les points d'affixes respectives

\[z_0 =  3 + \text{i}\sqrt{3}\quad ; \quad z_1 = 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad ;
 \quad z_2 = 1 -\text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points A$_0$, A$_1$ et A$_2$ dans le plan complexe.
		\item Démontrer que le triangle A$_0$A$_1$A$_2$ est rectangle.
		\item En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par A$_0$, A$_1$ et A$_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Pour imiter la Française des jeux, un particulier crée un jeu de loterie 
instantanée pour lequel $500$ tickets ont été imprimés.

Les tickets gagnants se répartissent de la manière suivante :

\medskip

\begin{center} 
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}\hline
Nombre de tickets &Somme en francs gagnée par ces tickets\\ \hline
1 & 	\np{1000}\\ \hline
4 & 	$200$\\ \hline
5 & 	$100$\\ \hline
$90$ &	$10$\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité qu'un ticket tiré au hasard soit un ticket gagnant.
\item Le prix de vente du ticket est de $10$ francs.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ticket, associe son gain (en
tenant compte des $10$~francs d'achat : à chaque ticket gagnant $100$~F, $X$ associe
ainsi 90 F).
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer toutes les valeurs prises par $X$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $X = - 10$.
		\item Déterminer la loi de probabilité associée à $X$.
		\item Calculer et interpréter l'espérance de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\begin{center} 
\textbf{Partie A - étude d'une fonction auxiliaire} 
\end{center}

Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur $]1~;~ + 
\infty[$ par

\[g(x) = 1 - \dfrac{x - 1}{\text{e}^x}.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la valeur exacte de $g(2)$.
\item Calculer la limite de la fonction $g$ en 1.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En remarquant que :

\[g(x) = 1 - \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{1}{\text{e}^x},\]
calculer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.

		\item Déduire de \textbf{3. a.} que la courbe représentative de la 
fonction $g$ admet une asymptote horizontale en $+ \infty$, dont on précisera
 une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction 
$g$. Calculer $g'(x)$.
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur $] 1~;~ +\infty[$.
		\item Dresser le tableau de variations de $g$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ sur $]1~;~ + \infty[$.

(On ne demande pas de tracer la courbe représentative de la fonction $g$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie B - étude d'une fonction et tracé
de sa courbe représentative} 
\end{center}

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]1~;~ + \infty[$  par :

\[f(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^2} +  \ln (x - 1).\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique $5$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de la fonction 
$f$ en $1$.

En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$, dont on précisera une équation.
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 Calculer $f'(x)$.
		\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x - 1}$.
		\item En déduire le sens de variations de $f$ sur  $]1~;~ + \infty[$.	Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f(2)$.
		\item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère défini précédemment.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie C - Calcul d'aire} 
\end{center}

On considère la fonction numérique $F$ de la variable réelle $x$ définie 
sur $]1~;~+ \infty[$ par :

\[F(x) = - \dfrac{1}{\text{e}^x} + (x- 1) \ln (x - 1) - \left(1 + 
\dfrac{1}{\text{e}^2}\right)x.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]1~;~ + \infty[$.
\item
	\begin{enumerate} 
		\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de la
 partie de plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, les 
 droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$.
 
Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
		\item Donner une valeur de $\mathcal{A}$ en cm$^2$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}