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\begin{document}
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\rhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2008~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\textbf{Partie A}
 
\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 2~cm sur chaque axe.

Soit $P$ le polynôme défini par : 

\[P(z) = z^3 - z^2 - 2z - 12\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(3)$. Que peut-on en déduire pour le polynôme $P$ ?
		\item  Déterminer les réels $a,{} b$ et $c$ tels que $P(z) = (z- 3)\left(az^2 + bz + c\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : 

\[z^2 + 2z + 4 = 0.\]
		
		\item  En déduire les solutions de l'équation $P(z) = 0$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\medskip

\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
Soit A, B, C et D les points du plan complexe d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad  ; \quad z_{\text{B}} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}  \quad  ; \quad z_{\text{C}}= 3 - \left(3\sqrt{3}\right)\text{i} \quad  ;\quad  z_{\text{D}}=3\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ puis écrire $z_{\text{A}}$ sous forme trigonométrique.
		\item  Écrire $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique.
	\end{enumerate}
\item	Placer sur la feuille de papier millimétré les points A, B, C et D dans le repère \Oij.

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que : $\vect{\text{DC}} = \dfrac{3}{2}\vect{\text{AB}}$.
		\item  En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Un industriel se fournit en pièces détachées chez deux fournisseurs différents :  le producteur Lavigne et le producteur Olivier. Les pièces fournies ont trois niveaux de qualité différents, en fonction des utilisations prévues. Ces niveaux de qualité influent sur la durée de vie estimée des pièces selon le tableau 1 où les durées de vie estimées sont exprimées en années.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Qualité	&Qualité	&Qualité\\
\multicolumn{1}{c|}{}&supérieure	&ordinaire	&\og premier prix \fg\\ \hline
Producteur Lavigne	&5		&3		&2\\ \hline
Producteur Olivier	&3		&2		&1\\ \hline
\multicolumn{4}{c}{\emph{Tableau $1$ : durées de vie estimées des pièces en années.}}\\
\end{tabularx}

\medskip

Un lot est constitué de \np{2000}~pièces indiscernables suivant le tableau 2 ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}&Qualité	&Qualité 	&Qualité	&Total\\ 
\multicolumn{1}{c|}{}&supérieure&ordinaire&\og premier prix \fg&
\\ \hline
Producteur Lavigne&100&	&	500&	800\\ \hline
Producteur Olivier&	400	&	500&	&  \\ \hline
Total&	&	&	&\np{2000}\\ \hline
\multicolumn{5}{c}{\emph{Tableau $2$ répartition des pièces en fonction de leur origine et de leur qualité.}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau 2.
		\item Montrer que \np{1000}~pièces ont une durée de vie estimée de deux ans.
	\end{enumerate}
\item On choisit une pièce au hasard, chaque pièce ayant la même probabilité d'être choisie. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que la durée de vie estimée de la pièce choisie soit de deux ans. 
		\item On suppose que la pièce choisie provient du producteur Lavigne. Quelle est alors la probabilité que sa durée de vie estimée soit de deux ans ?
	\end{enumerate}
\item	On note $X$ la variable aléatoire qui, pour chaque pièce du lot considéré, associe sa durée de vie estimée.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og $X = 3$ \fg.
		\item Établir sous forme d'un tableau la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce nombre.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Problème}  \hfill 4 points}
 
\medskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$, d'expression : 

\[f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^x\right) - 1.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij.
 
\medskip

\textbf{Partie A Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. Donner une interprétation graphique du résultat. 
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
 	\end{enumerate}
\item	Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. Vérifier que, pour tout $x$ de $\R$, on a : $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ et établir le tableau de variations de $f$ sur $\R$. 
		\item  Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}_{f}$ au point E d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $x$ de $\R$, on a : $f(x) -(x - 1) = \ln \left(1 +\text{e}^x \right) - \ln \left(\text{e}^x \right)$.
		
	En déduire que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f(x) - (x - 1) = \ln\left(\text{e}^{-x} + 1\right)$.
		\item  Déterminer la limite de $f(x) - (x - 1)$ en $+\infty$. Donner une interprétation graphique du résultat.
		\item  Soit $\Delta$ la droite d'équation : $y = x - 1$.
		
	Étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item	En prenant comme unité graphique 2~cm sur chaque axe, construire sur une feuille de papier millimétré la droite T, la droite $\Delta$, la droite d'équation : $x = 1$, et la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\end{enumerate}
		
\medskip
		
\textbf{Partie B Encadrement d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le graphique la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations : $x = 1$ et $x = 2$.

On va déterminer un encadrement de la valeur de l'aire $\mathcal{A}$, de cette surface en unités d'aire.
\item Tracer la droite D d'équation : $y = 0,8x - 0,2$.
\item Par lecture graphique préciser la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite D sur l'intervalle [1~;~2].
\item On admet que : 

\[\int_{1}^2 (x - 1)\:\text{d}x  \leqslant \int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant \int_{1}^2 (0,8x-0,2)\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $I = \displaystyle\int_{1}^2 (x - 1)\:\text{d}x$  et $J = \displaystyle\int_{1}^2 (0,8x-0,2)\:\text{d}x$.
		\item En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}