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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~
\overrightarrow{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole Génie électronique~\decofourright\\[5pt] juin 2002 }

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique
 $2$~cm, on considère les points B, C, D, E et F, images respectives des
 nombres complexes : 

\[z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{C}} = 3 + \text{i}\sqrt{3},~
 z_{\text{D}} = 4,~ z_{\text{E}} = 3 - \text{i}\sqrt{3} ~\text{et} ~ z_{\text{F}} = 
 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres complexes 
$z_{\text{B}},~z_{\text{C}},~
 z_{\text{D}},~z_{\text{E}}$ et $z_{\text{F}}$ sous forme trigonométrique.
\item Construire à la règle et au compas les points B, C, D, E
 et F dans le repère $\left(\text{O},~ \overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}
\right)$. 
\item Calculer les distances OB, BC et CD. En déduire les
 distances DE, EF et OF. Que constate-t-on ? 
\item Calculer les mesures des angles 
$\left(\vect{\text{DC}},~\vect{\text{DO}}\right),~\left(\vect{\text{OE}},~\vect{\text{OC}}\right)$,~ et $\left(\vect{\text{OD}},~\vect{\text{OC}}\right)$ en radians. 
\item Quelle est la nature du triangle OCD ? Justifier la
 réponse.
\item Calculer les aires des triangles OCD et OBC.

En déduire, en cm$^2$ l'aire du polygone OBCDEF.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle (E) : $y'+ y = x$, où $y$ désigne une
 fonction dérivable de la variable réelle $x$ et $y'$ sa dérivée. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (H) : ~$y' + y = 0$. 
\item Déterminer les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la
 fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = ax + b$ est solution de l'équation
 (E). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le nombre $k$ désignant une constante réelle, on
 considère  la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = k\text{e}^{-x} + x - 1.\]

 Vérifier que la fonction $f$ est solution de l'équation (E). 
		\item Déterminer le réel $k$ pour que $f(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $k = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle [0 ; 2].
		\item En déduire une valeur approchée de $m$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[g(x) = \text{e}^x (x + 3) - 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$ et la limite
 de $g$ en $- \infty$.
\item Déterminer, à l'aide de la dérivée $g'$, le sens de
 variations de $g$. En déduire le tableau de variation de $g$.
\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution
 unique $\alpha$ qui appartient à l'intervalle ]- 4, 0[.
\item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ en
 fonction des valeurs de $x$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction et tracé de sa courbe
 représentative}
 
\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = -  x + (x + 2) \text{e}^x.\]

On note ($\mathcal{C}_f$) la courbe représentative de $f$ dans le plan
 rapporté à un repère orthogonal \Oij. 
 
(Unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses et $3$~cm sur l'axe
 des ordonnées)

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = - x$ est asymptote à
 la courbe ($\mathcal{C}_f$) en $- \infty.$
		\item Étudier, en fonction des valeurs de $x$, les positions relatives
 de (D) et ($\mathcal{C}_f$). 
	\end{enumerate}  
\item En remarquant que $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = 
\text{e}^x\left[\dfrac{- x}{\text{e}^x} + (x + 2)\right]$ déterminer la
 limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Vérifier que pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = g(x)$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à 
($\mathcal{C}_f$) en son point A d'abscisse $0$.
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur
 approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près, puis une valeur approchée de
 $f(\alpha)$ à $10^{-2}$ près.
\item Tracer, dans le repère \Oij, la courbe ($\mathcal{C}_f$), la
 tangente (T) et l'asymptote (D).

(Utiliser la feuille de papier millimétré fournie)
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[H(x) = (x + 1) \text{e}^x.\]
 
Calculer $H'(x)$ puis en déduire une primitive de $f$ sur $\R$.

\item Calculer, en cm$^2$ l'aire $\mathcal{A}$ de la surface
 comprise entre la courbe ($\mathcal{C}_f$), l'axe des abscisses, la droite
 d'équation $x = - 2$  et l'axe des ordonnées. On donnera la valeur exacte
 puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
 \end{enumerate}
 \end{document}