\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-node,pst-coil,pst-circ,pst-tree,multido,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \vspace{1cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ANNÉE 2002 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2002~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à novembre 2002}} \vspace{0,25cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{MetroF11}{Métropole F 11 F 11$'$ juin 2002} \dotfill \pageref{MetroF11}\\ \hyperlink{Metroappli}{Métropole Arts appliqués juin 2002} \dotfill \pageref{Metroappli}\\ \hyperlink{Antillescivil}{Antilles Génie civil juin 2002} \dotfill \pageref{Antillescivil}\\ \hyperlink{Reunioncivil}{La Réunion Génie civil juin 2002} \dotfill \pageref{Reunioncivil}\\ \hyperlink{Metrocivil}{Métropole Génie civil juin 2002} \dotfill \pageref{Metrocivil}\\ \hyperlink{Metrocivilsep}{Métropole Génie civil septembre 2002} \dotfill \pageref{Metrocivilsep}\\ %\hyperlink{Caledocivilnov}{Nouvelle-Calédonie Génie civil novembre 2002} \dotfill \pageref{Caledocivilnov}\\ \hyperlink{Antilleselectro}{Antilles Génie électronique juin 2002} \dotfill \pageref{Antilleselectro}\\ \hyperlink{Reunionelectro}{La Réunion Génie électronique juin 2002} \dotfill \pageref{Reunionelectro}\\ \hyperlink{Metroelectro}{Métropole Génie électronique juin 2002} \dotfill \pageref{Metroelectro}\\ \hyperlink{Metroelectrosep}{Métropole Génie électronique septembre 2002} \dotfill \pageref{Metroelectrosep}\\ \hyperlink{Caledoelectronov}{Nouvelle-Calédonie Génie électronique nov. 2002} \dotfill \pageref{Caledoelectronov}\\ \hyperlink{Antillesmateriaux}{Antilles Génie des matériaux juin 2002} \dotfill \pageref{Antillesmateriaux}\\ \hyperlink{Metromateriaux}{Métropole Génie des matériaux juin 2002} \dotfill \pageref{Metromateriaux}\\ \hyperlink{Metromateriauxsep}{Métropole Génie des matériaux septembre 2002} \dotfill \pageref{Metromateriauxsep}\\ \hyperlink{Caledomateriauxnov}{Nouvelle-Calédonie Génie des matériaux nov. 2002} \dotfill \pageref{Caledomateriauxnov}\\ \end{tabularx} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole F 11 STI -- juin 2002 \hypertarget{MetroF11}{} \label{MetroF11} \lhead{\small Baccalauréat STI Métropole} \lfoot{\small{F11 F11$'$}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI F11 F11$'$ Métropole juin 2002~\decofourright} \end{center} \begin{center}\textbf{Calculatrice autorisée} \textbf{Durée : 2 heures \hspace{2cm} Coefficient : 2} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points} \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par \[f(x) = x^2 \cdot \text{e}^{-x} \quad \text{et} \quad g(x) = x \cdot \text{e}^{-x} \quad \left(\text{On rappelle que}~ \text{e}^{-x} = \dfrac{1}{\text{e}^x}\right).\] Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unités graphiques $4$~cm. On désigne par $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans ce repère. La courbe $\mathcal{C}_g$ est tracée sur la feuille annexe qu'il faudra compléter et rendre avec la copie. \bigskip \textbf{I. Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ au voisinage de $- \infty$. \item On admet que la limite de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$ est égale à 0. Interpréter graphiquement ce résultat. \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que la fonction $f$ a le même signe que $2x - x^2$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \item Sur la feuille annexe, tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ dans le même repère. \end{enumerate} \bigskip \textbf{II. Étude des positions relatives des courbes \boldmath $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.\unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \item Déterminer graphiquement sur quels intervalles la courbe $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus la courbe $\mathcal{C}_f$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$ par \[f(x) = 4 \ln x - x + 2.\] \medskip et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $1$~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item Montrer que $f(x) = x \left( 4 \dfrac{\ln x}{x} - 1 + \dfrac{2}{x}\right)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. (On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$). \end{enumerate} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]0 ~;~ + \infty[$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$ et établir le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur exacte de $f(2)$ et de $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ en fonction de $\ln 2$. \item Déterminer la valeur exacte de $f(\text{e})$ et de $f(\text{e}^2)$ en fonction de e. \item Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = - x - 2$. \end{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : (On donnera des valeurs décimales approchées à $10^{-2}$ près.) \[\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0,5 &1 &2 &3 &4 &5 &7 &11&17 \\ \hline $f(x)$ & & & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Tracer $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij \item Dans le même repère, tracer la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x - 2$. Comment peut-on graphiquement retrouver le résultat de la question \textbf{3. c.} ? \item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[F(x) = 4x \ln x - 2x - \dfrac{x^2}{2}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~ ;~ + \infty[$. \item Calculer I = $\displaystyle\int_1^2 f(x)\: \text{d}x$. En donner la valeur exacte en fonction de $\ln 2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE} \end{center} \psset{unit=4cm} \rotateright{ \begin{pspicture}(-1.5,-2)(4,2) \psgrid[subgriddiv=4,gridlabelcolor=white] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,0)(4,0) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.8}{4}{x 2.71828 x exp div} \psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.5,0.375)(1.5,0.375) \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$} \uput[ul](0,0){O} \uput[u](3,0.2){\blue$\mathcal{C}_{g}$} \end{pspicture}} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole F 11 STI -- juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole Arts appliqués juin 2002 \hypertarget{Metroappli}{} \label{Metroappli} \lhead{\small Baccalauréat Arts appliqués} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole Arts appliqués ~\decofourright\\[5pt] juin 2002}} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Dans le repère orthonormal \Oij{} ci-dessous, on considère le rectangle RSTU de centre O et l'ellipse $\mathcal{E}$ inscrite dans ce rectangle. Le point R a pour coordonnées $(- 4~;~3)$. \medskip \textbf{Reproduire la figure ci-dessous sur une feuille de papier millimétré.} \medskip \begin{enumerate} \item Placer les sommets de cette ellipse qu'on notera A, A$'$, B et B$'$ et préciser leurs coordonnées. On placera A et A$'$ sur l'axe focal. Décrire la construction géométrique des foyers F et F$'$ et préciser leurs coordonnées. \item Parmi les égalités suivantes, choisir celle que vérifie tout point $M$ de l'ellipse $\mathcal{E}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} $M\text{F} - M\text{F}' = 8$ & $M\text{F} + M\text{F}' = 6$ & $M\text{F} + M\text{F}' = 8$\\ \end{tabularx} \item Parmi les égalités suivantes, choisir celle qui est une équation de l'ellipse $\mathcal{E}$ dans le repère \Oij. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} $9x^2 + 16y^2 = 144$ & $\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{16} = 1$&$\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{t^2}{9} = 1$\\ \end{tabularx} \item Déterminer l'ordonnée des points de $\mathcal{E}$ ayant pour abscisse $2$. \item On veut dessiner un carré de centre O dont les sommets sont des points de l'ellipse $\mathcal{E}$ et dont les côtés sont parallèles à ceux du rectangle. Quelle est la longueur du côté de ce carré ? \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-6,-5)(6,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=1,subgriddiv=1](0,0)(-6,-5)(6,5) \psellipse[linecolor=blue](0,0)(4,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-6,-5)(6,5) \psframe(-4,-3)(4,3) \uput[ul](-4,3){R}\uput[ur](4,3){S}\uput[dr](4,-3){T}\uput[dl](-4,-3){U} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le repère \Oij{} dont l'unité graphique est $3$~cm, on a tracé la courbe $\mathcal{P}$ représentative d'une fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = ax^2+ bx + c$ où $a,~ b$ et $c$ sont des nombres réels. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement $g(0),\: g(1),\: g'(1)$ \item En déduire les valeurs de $a,\: b,\: c$ \end{enumerate} \item Sachant que $g(x) = - x^2 + 2x + 1$, déterminer la primitive $G$ de la fonction $g$, définie sur $\R$ et vérifiant $G(0) = 0$. \item Calculer l'intégrale I$ = \displaystyle\int_{0}^2 g(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $h$ définie sur [1,5 ; 4] par $h(x) = \dfrac{3 - x}{x - 1}$ et $\mathcal{H}$ la courbe représentative de $h$ dans le même repère \Oij. \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction $h'$, dérivée de la fonction $h$. étudier son signe et en déduire les variations de $h$ sur [1,5 ; 4]. \item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe it' au point B(2 ; 1). On admettra que (T) est aussi tangente à $\mathcal{P}$ au même point B. \item Sur une feuille de papier millimétré choisir un repère \Oij{} dont l'unité graphique est $3$~cm et dont l'axe des abscisses est placé à mi-hauteur. On trace la courbe $\mathcal{H}$ et la droite (T). \item Soit $H$ la fonction définie sur [1,5 ; 4 ] par $H(x) = 2\ln(x - 1) - x$. Vérifier que $H$ est une primitive de la fonction $h$, puis calculer l'intégrale J$ = \displaystyle\int_{2}^3 h(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On considère maintenant la fonction $f$ définie sur [0~;~3] et telle que : si $0 \leqslant x \leqslant 2$ alors $f(x) = g(x)$, si $2 \leqslant x \leqslant 3$ alors $f(x) = h(x)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur le graphique de la partie B, reproduire la courbe $\mathcal{P}$ de la partie A, puis tracer en rouge la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$. \item Construire sur le graphique la courbe $\mathcal{C}'$ symétrique de $\mathcal{C}$ par rapport à 1'axe des abscisses . \end{enumerate} \item Un publicitaire veut créer un logo dont le contour est formé par $\mathcal{C},\: \mathcal{C}'$ et l'axe des ordonnées. Prouver que l'aire de ce logo, en cm$^2$ est $\mathcal{A} = 18(\text{I} + \text{J})$. En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à $1$~mm$^2$ près. \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{Annexe : exercice 2} \vspace{1cm} \psset{unit=1.9cm} \begin{pspicture}(-2,-4)(4,3) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-2,-4)(4,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1pt,Dx =5,Dy=5](0,0)(-2,-4)(4,3) \uput[ul](0,1){A} \uput[ur](2,1){B} \uput[u](1,2){S}\uput[r](3.2,-2.5){\blue $\mathcal{P}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.45}{3.45}{x 2 mul 1 add x 2 exp sub} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Arts appliqués juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles Génie civil juin 2002 \hypertarget{Antillescivil}{} \label{Antillescivil} \lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique} \lfoot{\small Antilles} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Antilles juin 2002~\decofourright\\[5pt] Génie civil, énergétique, mécanique } \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Soit i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$ \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation en $z$ \[z^2 + 25 = 0.\] \item Déterminer le module et un argument de chacune des solutions. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation en $z$ \[z^2 - 2z + 5 = 0.\] \item Calculer, sous forme algébrique, le carré de chacune des solutions de cette équation. \end{enumerate} \item Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = - 3 - 4\text{i} \quad z_{\text{B}}= - 3 + 4\text{i} \quad z_{\text{C}} = 5\text{i} \quad z_{\text{D}} = - 5\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C et D dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm. \item Démontrer que le triangle BCD est rectangle. \item Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip \textsl{Deux tableaux sont donnés. Ils sont à compléter et à rendre avec la copie.} Une machine fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques rectangulaires qui peuvent présenter trois sortes de défauts un défaut d'épaisseur, un défaut de longueur, un défaut de largeur. Dans un lot de \np{1000} pièces, fabriquées par cette machine, $90\,\%$ des pièces n'ont aucun défaut, $0,2\,\%$ ont les trois défauts et $26$ pièces ont comme seul défaut un défaut d'épaisseur. Parmi les $950$ pièces n'ayant pas de défaut d'épaisseur, il y a $29$ pièces qui ont un défaut de longueur et $10$ pièces qui ont un défaut de longueur et un défaut de largeur. Parmi les pièces ayant un défaut d'épaisseur, $24\,\%$ ont un défaut de longueur. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter les deux tableaux suivants. \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{1-3} \multicolumn{3}{|c|}{Pièces n'ayant pas de défaut d'épaisseur} & \multicolumn{1}{c}{}\\ \hline \diagbox{~\\Largeur}{Longueur}&Pièces ayant un défaut de longueur &Pièces n'ayant pas de défaut de longueur&\\ \hline Pièces ayant un défaut de largeur & 10 & & \\ \hline Pièces n'ayant pas de défaut de largeur & & & \\ \hline \multicolumn{1}{c|}{~} & 29 & & 950\\ \cline{2-4} \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \hspace*{-1.5cm} \begin{tabular}{|l|c|c|c|}\cline{1-3} \multicolumn{3}{|c|}{Pièces ayant un défaut d'épaisseur} & \multicolumn{1}{c}{}\\ \cline{1-3} \diagbox{Largeur}{Longueur}&\multicolumn{1}{|p{3cm}|}{Pièces ayant un défaut de longueur} & \multicolumn{1}{|p{3cm}|}{Pièces n'ayant pas de défaut de longueur}\\ \hline Pièces ayant un & & & \\ défaut de largeur & & & \\ \hline Pièces n'ayant pas & & & \\ de défaut de largeur & & 26 & \\ \hline \multicolumn{1}{c|}{} & & & \\ \cline{2-4} \end{tabular} \item On choisit au hasard une pièce dans ce lot de $1\:000$ pièces et on suppose tous les tirages équiprobables. On définit les évènements suivants : \begin{itemize} \item $A$ : \og la pièce possède un seul défaut \fg{} ; \item $B$ : \og la pièce possède deux défauts et deux seulement \fg. \end{itemize} Montrer que : $p(A) = 0,066$ et $p(B) = 0,032$. \end{enumerate} \item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à toute pièce tirée au hasard dans ce lot de \np{1000} pièces, associe le nombre de défauts de cette pièce. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$. On donnera les résultats sous forme de tableau. \item Calculer la valeur exacte de l'espérance mathématique E($X$). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textsc{Problème} \hfill 12 points} Soit la fonction numérique $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{3 \ln x}{2x ^2} + x - 1.\] On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} l'unité de longueur est $2$~cm. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A - étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit la fonction numérique $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = 2x^3 - 6 \ln x + 3.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le signe de $x^3 - 1$ suivant les valeurs de $x$, élément de $]0~;~+ \infty[$. On pourra utiliser le fait que \[x^3 - 1 = (x - 1)\left(x^2 + x + 1\right), ~\text{pour tout réel}~ x.\] \item Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ et étudier son signe pour tout $x$ élément de $]0~;~+ \infty[$. Donner les variations de la fonction $g$. \item En déduire que, pour tout $x$ élément de $]0~;~ + \infty[,~ g(x)$ est strictement positif \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $\dfrac{\ln x}{x^2}$ quand $x$ tend vers $0$, en justifiant la réponse. Donner une interprétation graphique de ce résultat. \item \begin{enumerate} \item Préciser la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. \item En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ et montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item Déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que : \[f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^3}, \quad \text{pour tout} \: x\: \text{élément de} \: ]0~;~+ \infty[.\] En déduire le sens de variation de la fonction $f$. \item \begin{enumerate} \item Soit K le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse 1. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point K. \item Tracer avec soin la droite $\mathcal{D}$, la droite $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C -- Calcul d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item Soit la fonction numérique $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[h(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}.\] Soit $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$. Calculer $h'(x)$. \item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~ + \infty[$. \item On considère la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. \begin{enumerate} \item Hachurer cette partie du plan, puis calculer la valeur exacte de son aire en cm$^2$. \item Donner la valeur arrondie au mm$^2$ de cette aire. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles génie civil juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% La Réunion Génie civil juin 2002 \hypertarget{Reunioncivil}{} \label{Reunioncivil} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2002~ \decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}} \end{center} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Une feuille de papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $z^2 - 4z + 8 = 0$. On notera $z_1$ et $z_2$ les solutions de cette équation. \item Déterminer le module et un argument de $z_1$ et $z_2$. \item Dans le plan complexe rapporté â un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $1$~cm, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},~\quad z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i},~\quad z_{\text{C}} = 2 + 2\sqrt{3} ~\text{et}~z_{\text{D}} = 2 + 2\sqrt{3} + 4\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Placer dans le plan complexe les points A, B, C et D. \item Calculer les longueurs AB, AC et BC. Quelle est la nature du triangle ABC ? \item Calculer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{DC}}$. \item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Une roue de loterie est partagée en $20$ secteurs identiques : \begin{itemize} \item 1 secteur porte la marque \og 100 \euro~ \fg{} ; \item 2 secteurs portent la marque \og 50 \euro~\fg{} ; \item 3 secteurs portent la marque \og 20 \euro~\fg{} ; \item 6 secteurs portent la marque \og 10 \euro~\fg{} ; \item 8 secteurs portent la marque \og 0 \euro~ \fg. \end{itemize} Après avoir misé 10 euros, un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe. Chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter devant le repère. Le joueur touche la somme indiquée par le secteur se trouvant devant le repère. \medskip \begin{enumerate} \item On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain effectif du joueur ; exemple : si un secteur \og 50~\euro~ \fg{} est devant le repère, le gain effectif est de 40 euros en tenant compte de la mise. Une perte est un gain négatif. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $X$. \item Donner la loi de probabilité de $X$ à l'aide d'un tableau. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \item L'organisateur de la loterie souhaite que le jeu lui soit favorable. Il construit une nouvelle roue avec $n$ secteurs identiques ($n > 12$). Cette roue comporte un secteur \og 100 \euro~ \fg{}, 2 secteurs \og 50~\euro~ \fg, 3 secteurs \og 20~\euro~ \fg, 6 secteurs \og 10~\euro \fg{} et $n - 12$ secteurs \og 0~\euro~ \fg. Le jeu se déroule de la même manière que précédemment : le joueur mise $10$~euros et $X$ désigne à nouveau le gain effectif. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la nouvelle loi de probabilité de $X$ en fonction de $n$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $n$. \item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que le jeu soit favorable à l'organisateur, c'est-à-dire tel que l'espérance mathématique de $X$ soit inférieure ou égale à $0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Le but du problème est la recherche des solutions de l'équation : \[\text{e}^{x + 1} - \dfrac{2x}{x - 1} = 0.\] Soit $u$ la fonction définie sur $]-\infty~;~+ \infty[$ par $u(x) = \text{e}^{x + 1}$ et soit $v$ la fonction définie sur $]- \infty~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$ par $v(x) = \dfrac{2x}{x - 1}$. On désigne par $\left(\mathcal{C}_u\right)$ et $\left(\mathcal{C}_v\right)$ leurs courbes représentatives dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses, $1$~cm sur l'axe des ordonnées). \bigskip \textbf{Partie A - étude des fonctions\boldmath $u$ \unboldmath \textbf{et} \boldmath $v$ \unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item étudier la limite de $u$ en $+ \infty$ et la limite de $u$ en $- \infty$. En déduire que ($\mathcal{C}_u$) admet une asymptote que l'on précisera. \item étudier le sens de variations de $u$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer : $\displaystyle\lim_{\begin{subarray}{l}x \to 1 \\ x > 1 \end{subarray}} v(x),~\displaystyle\lim_{\begin{subarray}{l}x \to 1 \\ x < 1\end{subarray}} v(x),~ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} v(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} v(x)$. En déduire que ($\mathcal{C}_v$) admet deux asymptotes que l'on précisera. \item étudier le sens de variation de $v$. Dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire les courbes ($\mathcal{C}_u$) et ($\mathcal{C}_v$) sur le même graphique. \item En déduire graphiquement le nombre de solutions de l'équation\\ \mbox{$\text{e}^{x + 1} - \dfrac{2x}{x - 1} = 0$}. Donner graphiquement une valeur approchée de chacune des solutions. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Résolution de l'équation} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \text{e}^{x + 1} - \dfrac{2x}{x - 1}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x),~\displaystyle\lim_{x \to - \infty},~ \displaystyle\lim_{\begin{subarray}{l}x \to 1 \\ x < 1\\ \end{subarray}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{\begin{subarray}{l}x \to 1 \\ x > 1\\ \end{subarray}} f(x)$. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations. \item Calculer $f(-1)$. \end{enumerate} \item On se place à présent sur l'intervalle $]1~;~ + \infty[$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ sur cet intervalle. Calculer $f(1,2)$, puis $f(1,3)$. En déduire un encadrement de la solution $\alpha$. \item Calculera $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Calcul d'aire} \medskip On considère toujours la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \text{e}^{x + 1} - \dfrac{2x}{x - 1}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que sur $]- \infty~;~ 1[$, la fonction $G$ définie par \[G(x) = 2x + 2\ln (1 - x)\] est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{2x}{x-1}$. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $] -1~;~ 1 [$. \item \begin{enumerate} \item Soit $a$ un réel de l'intervalle $]-1~;~ 1[$. Calculer, en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par les courbes $\left(\mathcal{C}_u\right)$ et $\left(\mathcal{C}_v\right)$ et les droites d'équation $x = - 1$ et $x = a$. \item Déterminer la limite de cette aire lorsque $a$ tend vers 1. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% La Réunion Génie civil juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole Génie civil juin 2002 \hypertarget{Metrocivil}{} \label{Metrocivil} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat TSI Métropole juin 2002 ~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil} \end{center} \subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Partie A} \medskip Une roue de loterie comporte 3 secteurs, portant respectivement les numéros 1, 2 et 3. Quand on fait tourner la roue, un repère indique le numéro sortant. La probabilité de sortie du numéro 2 est double de la probabilité de sortie du numéro 1, et la probabilité de sortie du numéro 3 est triple de celle du numéro 1. Calculer les probabilités de sortie respectives des trois numéros. \bigskip \textbf{ Partie B} \medskip \parbox[c]{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5) \pscircle(0,0){1.5} \SpecialCoor \psline(1.5;-150)(1.5;30) \psline(1.5;-90)(1.5;90) \psline(1.5;150)(1.5;-30) \rput(1;0){R} \rput(1;60){R} \rput(1;120){B} \rput(1;180){J} \rput(1;-120){R} \rput(1;-60){J} \end{pspicture}} \hfill \parbox[c]{0.65\textwidth}{La roue est maintenant divisée en 6 secteurs égaux ayant chacun la même probabilité de s'arrêter devant le repère.\\ 2 secteurs sont jaunes (marqués J sur la figure)\\ 3 secteurs sont rouges (marqués R sur la figure)\\ 1 secteur est bleu (marqué B sur la figure)} \vspace{0,3cm} La règle du jeu est la suivante : pour participer au jeu, le joueur doit miser une certaine somme et si le jaune sort, il gagne $20$~\euro, si le bleu sort, il gagne $30$~\euro, si le rouge sort, il ne gagne rien. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que la mise est de $10$~\euro. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque arrêt de la roue associe le gain effectif (positif ou négatif) du joueur. (Par exemple, si le bleu sort, le gain effectif pour le joueur est de $20$~\euro. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer son espérance mathématique. \end{enumerate} \item L'organisateur du jeu ne souhaite pas que l'espérance de gain du joueur sait positive. à quelle valeur minimale, exprimée par un nombre entier d'euros, doit-il fixer le montant de la mise ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $P(z) = z^3 - 4z^2 + 9z- 10$ où $z$ appartient à l'ensemble $\C$ des nombres complexes. \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 5 = 0$. \item Calculer $P(2)$. \item Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ tels que $P(z) = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right)$. \item Déduire des questions précédentes les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$. \end{enumerate} \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 2\quad ;\quad z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i} \quad ;\quad z_{\text{C}} = 1 - 2\text{i} \quad \text{et} \quad z_{\text{D}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C et D dans le plan complexe (sur papier millimétré). \item Calculer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}} - z_{\text{D}},~z_{\text{B}}-z_{\text{D}}$ et $z_{\text{B}} - z_{\text{A}}$. En déduire la nature du triangle ABD. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}} \bigskip \textbf{Partie A : étude du signe de} \boldmath $x^3 -1 + 2\ln (x)$ \unboldmath \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~,+ \infty[$ par \[g(x) = x^3 - 1 + 2\ln x.\] ($\ln x$ désigne le logarithme népérien de $x$) \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. (Les limites ne sont pas demandées). \item Calculer $g(1)$. \item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Courbe représentative d'une fonction et calcul d'aire}\\ On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~,+ \infty[$ par \[f(x) = x - 1 - \dfrac{\ln x}{x^2}.\] On appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij. (unités : $3$~cm sur l'axe des abscisses, $2$~cm sur l'axe des ordonnées.) \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. \item Montrer que la droite (D) d'équation $y = x - 1$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C})$. Y a-t'il une autre asymptote à $(\mathcal{C})$ ? Si oui, donner son équation. \item Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x^3}$. \item En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, déterminer le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \item Calculer les coordonnées du point d'intersection entre l'asymptote (D) et la courbe $(\mathcal{C})$. Étudier la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite (D). \item Tracer dans le repère \Oij{} la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites (D) et (T). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $H$ définie par \[H(x) = - \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\] est une primitive de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$. \item Soit $\Delta$ le domaine plan limité par (D), $(\mathcal{C})$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \sqrt{\text{e}}$. Hachurer $\Delta$ ; calculer la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, de $\Delta$ ; en donner une valeur approchée au mm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Génie civil juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole Génie civil septembre 2002 \hypertarget{Metrocivilsep}{} \label{Metrocivilsep} \lfoot{\small Métropole} \rfoot{\small{septembre 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2002~\decofourright\\[5pt]Génie énergétique, civil, mécanique}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $P$ le polynôme défini par $P(z) = z^3 - 2z^2 + 16$. \begin{enumerate} \item Trouver la valeur du nombre réel $a$, tel que, pour tout nombre complexe $z,~ P(z) = (z + 2)\left(z^2 + az + 8\right)$. \item Résoudre alors l'équation : $P(z) = 0$. \end{enumerate} \item Soient A, B et C les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 2 + 2 \text{i}\quad ; \quad z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i} \quad ; \quad ; {\text{C}}= - 2.\] \begin{enumerate} \item Donner la forme trigonométrique de $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. \item Placer les points A, B et C dans le plan complexe. \end{enumerate} \item Soit B$'$ le point d'affixe $4$i. \begin{enumerate} \item Trouver l'affixe du point $\Omega$ milieu de [BB$'$]. \item Montrer que les pointa B, B$'$ et C appartiennent à un cercle de centre $\Omega$ dont on déterminera le rayon. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip On désire redresser une tension sinusoïdale alternative à l'aide d'un montage redresseur à diodes : \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(11,5) \pnode(2,0){A} \pnode(2,3){B} \pnode(2,5){C} \pnode(6,5){K} \pnode(10,5){E} \pnode(10,0){G} \pnode(6,0){F} \pnode(6,2.5){H} \psframe(9.6,1.6)(10.4,3.2) \psline(10,0)(10,1.6)% \psline(10,3.2)(10,5)(2,5) \psline(1,2)(6,2)% \uput[l](9.6,2.4){$RC$} \psline{->}(11,0.5)(11,3.5)% \psline{->}(0,2)(0,3)% \uput[r](0,2.5){$u(t)$}% \uput[r](11,2){$u_{C}(t)$}% \diode(A)(B){$D_{2}$} \diode(B)(C){$D_{1}$}% \diode(F)(H){$D_{4}$} \diode(H)(K){$D_{3}$}% \psline(2,0)(10,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(10,4)(10,3.7) \qdisk(6,2.5){4pt} \qdisk(2,3){4pt} \psline(1,3)(2,3) \end{pspicture} \medskip La tension $u(t)$ est exprimée en volts et $t$ en secondes. La courbe représentant la tension $u(t)$ relevée à l'oscilloscope est donnée, en annexe. L'intervalle $\left[0~;~2\cdot 10^{-2}\right]$ correspond à une période de la fonction $u$. \medskip \begin{enumerate} \item $u(t)$ est de la forme $u(t) = \text{U}\sin (\omega t + \varphi)$, où U et $\omega$ sont des réels strictement positifs et $\varphi$ un réel appartenant à $]- \pi~;~ \pi]$. On suppose, conformément à la représentation graphique de la fonction $t \mapsto u(t)$, que $u(t)$ est nulle pour $t = 0$, pour $t = 10^{-2}$ et pour $t = 2\cdot 10^{-2}$ et que la valeur maximale de $u(t)$ est $325$. Déterminer, à l'aide de la courbe, la période T et le réel $\varphi$. On rappelle que T$ = \dfrac{2\pi}{\omega}$ ; en déduire la valeur exacte de la pulsation $\omega$. \item On admet désormais que la tension $u(t)$ est donnée par $u(t) = 325 \sin (100\pi t)$. La tension redressée $u_{C}(t)$ est telle que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item si $t \in \left[0~;~10^{-2}\right],{} u_{C} (t) = u(t)$, \item si $t \in \left[10^{-2}~;~2 \cdot 10^{-2}\right],{} u_{C}(t) = - u(t)$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Sur le dessin donné en annexe, tracer la représentation graphique de $u_{C}$ sur l'intervalle $\left[0~;~2\cdot 10^{-2}\right]$. (Cette feuille est à rendre avec la copie.) \item Calculer la valeur moyenne de la tension redressée $u_{C}(t)$ sur $\left[0~;~ 2\cdot 10^{-2}\right]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Annexe} à rendre avec la copie \vspace{1cm} \psset{xunit=500cm,yunit=0.007692cm} \begin{pspicture}(0,-325)(0.02,325) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=325]{->}(0,0)(0,-325)(0.02,325) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.02}{18000 x mul sin 325 mul} \uput[l](0,325){325} \uput[dl](0.01,0){$10^{-2}$}\uput[dr](0.02,0){$2\cdot 10^{-2}$} \uput[r](0,350){$u(t)$} \uput[u](0.02,0){$t$} \psline[linestyle=dashed](0,325)(0.005,325) \psline[linestyle=dashed](0,-325)(0.015,-325) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Le plan est rapporté un repère orthogonal \Oij{} (unité graphique : 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 2x - 5 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij. \medskip \textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = 2x^2 - 2 + \ln x$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$, puis étudier le signe de $g'(x)$. \item Dresser le tableau de variations de $g$ (les limites en $0$ et en $+ \infty$ ne sont pas demandées). Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : étude de \boldmath $f$ \unboldmath et représentation graphique} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. En déduire l'existence d'une droite asymptote à $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. Vérifier que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. \item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 5$ est te à $\mathcal{C}$ en $+\infty$. \item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions $\alpha$ et $\beta ~(\alpha < \beta)$ sur $]0~;~+ \infty[$. Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de chacune d'elles. \item Tracer, dans le repère \Oij, la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : étude d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $H(x) = (\ln x)^2$.\\Calculer $H'(x)$. \item Soit $\mathcal{E}$ la partie du plan limitée par $\mathcal{C}$ la droite $\Delta$ et les droites d'équations $x= \text{e}$ et $x = 5$. (e : base du logarithme népérien). Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{E}$. En donner également une valeur approchée à $1$ mm$^2$ près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Génie civil septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane électronique, optique juin 2002 \hypertarget{Antilleselectro}{} \label{Antilleselectro} \lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2002~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Une association propose chaque jour un spectacle au prix de $20$~\euro. Pour en assurer la promotion, chaque client, à l'entrée, lance un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Les six résultats sont équiprobables : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si le résultat est 6, l'entrée est gratuite ; \item[$\bullet~$] si le résultat est 1, l'entrée est demi-tarif (10~\euro) ; \item[$\bullet~$] dans les autres cas (2, 3, 4 ou 5), le client paie plein tarif (20~\euro). \end{itemize} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un client se présente à l'entrée. Soit $A$ l'évènement : \og le client paie plein tarif \fg. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de $A$. \item Énoncer par une phrase en français l'évènement contraire de $A$ noté $\overline{A}$ puis déterminer la probabilité de $\overline{A}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat du dé, le prix payé par le client. \begin{enumerate} \item Déterminer à l'aide d'un tableau de loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique E($X$). \end{enumerate} \item Avant promotion, le prix unique était 20~\euro{} et l'association avait en moyenne $80$~clients par jour. Depuis la promotion, la clientèle a augmenté de $40$\,\%. En utilisant la question précédente, indiquer si l'association peut espérer de meilleures recettes grâce à la promotion. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation: \[z^2 + 8z + 17 = 0.\] \item Soit $P(z) = z^3+2z^2 - 31z - 102$. Vérifier que $P(z) = (z - 6)\left(z^2 +8z + 17\right)$. \item Utiliser les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} pour résoudre sans calcul supplémentaire l'équation suivante dans $\C$ : \[z^3+2z^2 - 31z - 102 = 0.\] \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et B$'$ d'affixes respectives :\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}} $6$& , &$-4 + \text{i}$& et & $- 4 - \text{i}$\\ \end{tabularx} \medskip \item Pourquoi a-t-on OB = OB$'$ ? \item Mettre sous forme algébrique $\dfrac{-4 + \text{i}}{- 4 - \text{i}}$. \item Quel est le module de $\dfrac{-4 + \text{i}}{- 4 - \text{i}}$ ?\\ Déterminer à l'aide de la calculatrice, un argument de $\dfrac{-4 + \text{i}}{- 4 - \text{i}}$ (on donnera l'arrondi à $10^{-2}$ près). \item Déduire des questions \text{b.} et \text{d.}, les mesures en degrés des angles du triangle ODB$'$. (On donnera les arrondis a l'unité). \end{enumerate} \item Soit $\Omega$ le point d'affixe $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$. \begin{enumerate} \item Construire les points C et D, symétriques des points A et B par rapport à $\Omega$. \item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $1$~cm. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par \[g(x) = x^3 + x^2 + x + 1.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $g(- 1)$ ; déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que \[g(x) = (x+1)\left(x^2 + ax + b\right).\] \item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $g(x) \geqslant 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \left(x^3 - 2x^2 + 5x - 4\right)\text{e}^x.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le limite de $f$ en $+ \infty$ : on remarquera que, pour $x \neq 0$ : \[f(x) = x^3\left(1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{4}{x^3}\right)\text{e}^x.\] \item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ On admettra que, pour $n$ entier naturel : \[\lim_{x \to 0} x^n\text{e}^x = 0.\] En déduire l'existence d'une asymptote à $\mathcal{C}$. \item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$. Vérifier que $f'(x) = g(x)\text{e}^x$. \item Étudier les variations de $f$ à l'aide de la partie A puis dresser le tableau de variations de $f$ où figurera la valeur exacte du minimum de $f$. \item Recopier et compléter le tableau suivant à l'aide de la calculatrice en donnant les arrondis de $f(x)$ à $10^{-1}$ près. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$-10$ &$-5$ &$-4$ &$-3$ &$-2$ &$-1$ &0 &0,5 &1 &1,5 &2\\ \hline $f(x)$& & & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Calculer $f'(1)$ ; en donner l'arrondi à $10^{-1}$ près : puis tracer la tangente (T) à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. \item Tracer $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par \[F(x) = \left(x^3 - 5x + 15x -19\right)\text{e}^x.\] \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. \item Déterminer en cm$^2 $ l'aire de la portion de plan limitée par $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $y = 0$. En donner l'arrondi à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% Fin Antilles électronique juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% La Réunion Génie électronique juin 2002 \hypertarget{Reunionelectro}{} \label{Reunionelectro} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2002~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}} \end{center} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Une feuille de papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Soit l'équation différentielle \[(\text{E}) \quad :\quad 2y' + y = 0,\] où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $x$ et $y'$ sa dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation (E). \item \begin{enumerate} \item Déterminer la solution particulière $f$ de (E) dont la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ dans le plan rapporté à un repère \Oij passe par le point A $(\ln 9~;~ 1)$. \item Déterminer la dérivée de $f$ et en déduire le coefficient directeur de la tangente à $(\mathcal{C}_f)$ au point A. \end{enumerate} \item Montrer que la fonction $g$ définie dans $\R$ par $g(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$ est une autre solution de l'équation (E). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip \emph{La figure sera construite sur la copie et complétée au fil de l'exercice} On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.\\ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $3$~cm. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $z^2 + 2z\sqrt{3} + 4 = 0$. \item Déterminer le module et un argument de chacune des solutions. \end{enumerate} \item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 \text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{\frac{-5\text{i}\pi}{6}}$. \begin{enumerate} \item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. \item Dans le repère \Ouv, construire les points A et B à la règle et au compas. (On laissera apparentes les lignes de construction). \end{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item On désigne par A$'$ l'image de A par la rotation $r$. Placer le point A$'$. Exprimer l'affixe $z_{\text{A}'}$ du point A$'$ en fonction de celle du point A puis en déduire la forme exponentielle et la forme algébrique de $z_{\text{A}'}$. \item Soit le point C d'affixe $z_{\text{C}} = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Placer le point C dans le repère \Ouv. Montrer que C est l'image de B par la rotation $r$ et écrire $z_{\text{C}}$ sous la forme algébrique. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Soit la fonction $g$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par \[g(x) = 2 \ln (x+1) + \dfrac{x}{x + 1}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $-1$. \item Déterminer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. \item Soit $g'$ la dérivée de $g$ sur l'intervalle $]- 1 ~;~+ \infty[$. \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$. \item En déduire que $g'(x)$ est strictement positif pour tout $x$ de $]- 1 ~;~+ \infty[$. \item En déduire le sens de variations de $g$ sur $]- 1 ~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $g(0)$. \item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = (2x + 1) \ln (x + 1) - x - 1\] et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-1$. \item En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ admet une asymptote (D) dont on donnera une équation. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout $x$ de $]- 1 ~;~+ \infty[$ on a : $f(x) = x\left[\left(2 + \dfrac{1}{x}\right)\ln (x + 1) - 1 - \dfrac{1}{x}\right]$. \item En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ on a $f'(x) = g(x)$. \item En déduire le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions $a$ et $b$ sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$. Donner pour chacune l'approximation décimale à $10^{-2}$ près par défaut. \item Construire l'asymptote (D) et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère \Oij{} (\textsl{utiliser la feuille de papier millimétré fournie}). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit la fonction $U$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par \[U(x) = \left(x^2 + x\right) [\ln (x+ 1) -1].\] \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $U$ est une primitive de $f$ sur $]- 1~;~+ \infty[$. \item En déduire la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire $\mathcal{A}$ de la portion du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$. On donnera le résultat final sous la forme $n \ln 2 + p$ où $n$ et $p$ sont des nombres entiers relatifs. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion Génie électronique juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole Génie électronique juin 2002 \hypertarget{Metroelectro}{} \label{Metroelectro} \lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole Génie électronique~\decofourright\\[5pt] juin 2002 } \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique $2$~cm, on considère les points B, C, D, E et F, images respectives des nombres complexes : \[z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{C}} = 3 + \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{D}} = 4,~ z_{\text{E}} = 3 - \text{i}\sqrt{3} ~\text{et} ~ z_{\text{F}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Écrire les nombres complexes $z_{\text{B}},~z_{\text{C}},~ z_{\text{D}},~z_{\text{E}}$ et $z_{\text{F}}$ sous forme trigonométrique. \item Construire à la règle et au compas les points B, C, D, E et F dans le repère $\left(\text{O},~ \overrightarrow{u},~\overrightarrow{v} \right)$. \item Calculer les distances OB, BC et CD. En déduire les distances DE, EF et OF. Que constate-t-on ? \item Calculer les mesures des angles $\left(\vect{\text{DC}},~\vect{\text{DO}}\right),~\left(\vect{\text{OE}},~\vect{\text{OC}}\right)$,~ et $\left(\vect{\text{OD}},~\vect{\text{OC}}\right)$ en radians. \item Quelle est la nature du triangle OCD ? Justifier la réponse. \item Calculer les aires des triangles OCD et OBC. En déduire, en cm$^2$ l'aire du polygone OBCDEF. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Soit l'équation différentielle (E) : $y'+ y = x$, où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $x$ et $y'$ sa dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle (H) : ~$y' + y = 0$. \item Déterminer les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = ax + b$ est solution de l'équation (E). \item \begin{enumerate} \item Le nombre $k$ désignant une constante réelle, on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = k\text{e}^{-x} + x - 1.\] Vérifier que la fonction $f$ est solution de l'équation (E). \item Déterminer le réel $k$ pour que $f(0) = 0$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on prend $k = 1$. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle [0 ; 2]. \item En déduire une valeur approchée de $m$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \bigskip \textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : \[g(x) = \text{e}^x (x + 3) - 1.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$ et la limite de $g$ en $- \infty$. \item Déterminer, à l'aide de la dérivée $g'$, le sens de variations de $g$. En déduire le tableau de variation de $g$. \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ qui appartient à l'intervalle ]- 4, 0[. \item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ en fonction des valeurs de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = - x + (x + 2) \text{e}^x.\] On note ($\mathcal{C}_f$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij. (Unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses et $3$~cm sur l'axe des ordonnées) \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Montrer que la droite (D) d'équation $y = - x$ est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}_f$) en $- \infty.$ \item Étudier, en fonction des valeurs de $x$, les positions relatives de (D) et ($\mathcal{C}_f$). \end{enumerate} \item En remarquant que $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = \text{e}^x\left[\dfrac{- x}{\text{e}^x} + (x + 2)\right]$ déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Vérifier que pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = g(x)$. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \item Déterminer une équation de la tangente (T) à ($\mathcal{C}_f$) en son point A d'abscisse $0$. \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près, puis une valeur approchée de $f(\alpha)$ à $10^{-2}$ près. \item Tracer, dans le repère \Oij, la courbe ($\mathcal{C}_f$), la tangente (T) et l'asymptote (D). (Utiliser la feuille de papier millimétré fournie) \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Calcul d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par : \[H(x) = (x + 1) \text{e}^x.\] Calculer $H'(x)$ puis en déduire une primitive de $f$ sur $\R$. \item Calculer, en cm$^2$ l'aire $\mathcal{A}$ de la surface comprise entre la courbe ($\mathcal{C}_f$), l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = - 2$ et l'axe des ordonnées. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Génie électronique juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole Génie électronique septembre 2002 \hypertarget{Metroelectrosep}{} \label{Metroelectrosep} \lfoot{\small Métropole} \rfoot{\small{septembre 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\decofourleft~\Large\textbf{Baccalauréat STI La Réunion septembre 2002~\decofourright\\[5pt]Génie électronique électrotechnique, optique}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Dans l'urne A sont disposées 3 boules jaunes portant les indications + 3 ; $-3$ ; 1. Dans l'urne B sont disposées 3 boules vertes portant les indications + 3i ; $- 3\text{i}$ ; i. On tire une boule jaune puis une boule verte ; cela permet d'obtenir un nombre complexe $z$. (Par exemple si on tire la boule jaune marquée 3 puis la boule verte marquée, i, le résultat est le nombre complexe $z = 3 + \text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item Quels sont les différents résultats possibles ? On suppose dans tout, la suite que chacun de ces résultats a la même probabilité d'être obtenu. \item Quelle est la probabilité $p_{1}$ que le nombre complexe obtenu ait un module égal à $3\sqrt{2}$. \item Soit les quatre tirages $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$,de module $3\sqrt{2}$ et A, B, C et D les points d'affixes correspondantes. Représenter sur votre copie ces quatre points dans un plan muni d'un repère orthonormal (unité graphique $2$~cm) et montrer que A, B, C et D sont les sommets d'un carré. \item On gagne la somme $S$, en euros, égale au carré du module du nombre complexe obtenu. Par exemple si le complexe obtenu est $z = 3 + \text{i}$ alors $|z|^{2 } = 10$ et la somme $S$ est $10$~euros. Quelle est la loi de probabilité de $S$ et quelle est l'espérance de gain au cours d'une partie ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip \emph{Aucune connaissance de physique n'est nécessaire pour résoudre cet exercice} \medskip \begin{center} \begin{pspicture}(12,1) \psset{coilarm=.01} \rput(0,0.5){\rnode{A}{}} \rput(10,0.5){\rnode{M}{}} \nccoil{A}{M} \psline(10,0.5)(12,0.5) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(10,0.5)(11,0.5) \uput[d](10.5,0.5){O} \uput[u](11,0.5){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){A} \uput[ur](10,0.5){M} \end{pspicture} \end{center} \medskip Un ressort à spires est attaché à son extrémité fixe A. On attache un mobile à son autre extrémité M. On admet que l'abscisse du point M dans le repère \Oij{} vérifie l'équation différentielle du second ordre (E) $\quad y'' + 9y = 8\sin t$, où $y$ est une fonction du temps $t$ (variable réelle positive). \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right) : y'' + 9y = 0$. \item Montrer que la fonction g définie sur $[0, + \infty[$ par \[g(t) = A.\cos 3t + B.\sin 3t + \sin t \quad (A~ \text{et}~ B~ \text{réels})\] est une solution de l'équation différentielle (E). \item On suppose qu'à l'instant $t = 0$, le ressort étant compressé, le mobile passe en O avec une vitesse de 4 m.s$^{-1}$. On considère la fonction $h$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[h(t) = A. \cos 3t + B.\sin 3t + \sin t.\] Déterminer A et B pour que $h$ soit la solution de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales : $h(0) = 0$ et $h'(0) = 4$. \item On admet dans cette question que : \[\sin 3t = -4 \sin^3 t + 3 \sin t.\] Chercher les instants $t$ où le mobile repasse par le point de départ, c'est-à-dire résoudre dans l'ensemble $]0~;~+ \infty[$ l'équation $h(t) = 0$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \medskip Sur le graphique ci-dessous, $\Gamma$ est la courbe représentative dans le repère orthonormal \Oij{} d'une fonction $f$ définie sur $\R$ (figure 1). On suppose que \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $f$ est dérivable sur $\R$ et strictement monotone sur les intervalles $]- \infty~;~0]$ et $[0~;~+ \infty[$, \item[$\bullet~$] $f'(x) = 0$ si et seulement si $x = 0$. \item[$\bullet~$] $\Gamma$ passe par les points A$(- 1~;~ 0)$ et B$(0~;~-1)$. \item[$\bullet~$] la droite d'équation $y = - 1$ est tangente à la courbe $\Gamma$ au point B. \item[$\bullet~$] $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$, \item[$\bullet~$] l'axe des abscisses est asymptote à la courbe lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-5,-2)(5,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-5,-2)(5,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-2)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-1.717}{5}{x 1 add 2.71828 x exp div neg} \uput[dl](-1.6,3){\blue $\Gamma$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \medskip \textbf{Première partie : travaux sur }\boldmath $f$ \unboldmath \medskip \textbf{A. Gestion des données} \medskip \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs numériques de $f(0)$, de $f(-1)$ et de $f'(0)$ ? Justifier votre réponse. \item Quelle est la limite de $f$ en $+ \infty$. Justifier votre réponse. \item Donner le tableau de variations de la fonction $f$. \item Donner le signe des nombres dérivés $f'(-2)$ et $f'(3)$ en justifiant votre réponse. \item Résoudre dans $\R$ \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item l'équation $f(x) = 0$, \item l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Détermination de l'expression de }\boldmath $f(x)$ \unboldmath \medskip On suppose que $f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles, et $x$ la variable réelle. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ réel en fonction de $a$ et de $b$. \item En utilisant la question A. 1. précédente, déterminer les valeurs de $a$ et de $b$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Deuxième partie : travaux sur une primitive de \boldmath $f$ \unboldmath sur \boldmath $\R$ \unboldmath} \medskip \textbf{A} \medskip \begin{enumerate} \item Donner le signe de $f$ d'après la courbe $\Gamma$ donnée par la figure 1. \item Justifier pourquoi, parmi les courbes proposées sur l'annexe, les courbes $\mathcal{C}_{G}$ et $\mathcal{C}_{H}$, ne peuvent pas représenter une primitive de $f$ sur $\R$. (On appelle $F$ une primitive de $f$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{F}$ est également tracée sur l'annexe (figure 2). \end{enumerate} \medskip \textbf{B} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{F}$ en son point d'abscisse $0$. \item Déterminer (sans chercher l'expression de $F(x)$ en fonction de $x$ l'aire $\mathcal{A}$ (en unités d'aire) de la portion du plan délimitée par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Troisième partie : étude de la fonction \boldmath $F$ \unboldmath sur \boldmath $\R$ \unboldmath} \medskip On suppose désormais que, pour tout $x$ réel, $F(x) = (x + 2 )\text{e}^{-x}$. \textbf{A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $F'(x)$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} F(x)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ réel on a $F(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + \dfrac{2}{\text{e}^{-x}}.$ \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x)$. \item En déduire l'existence d'une asymptote dont on précisera une équation. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{B.} On se propose dans cette question de déterminer les points d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $D$ d'équation $y = 3x + 6$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation $(x + 2)\left(\text{e}^{x} - 3\right) = 0$. \item En déduire les coordonnées des points recherchés. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \vspace{1cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-4)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \rput(0,4.55){\textbf{Annexe}} %\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-5,-4)(5,4) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.375}{5}{x 2 add 2.71828 x exp div } \uput[dl](-1.6,3){\blue $\mathcal{C}_{F}$} \uput[dl](0,0){O} \psframe(0.4,-4)(2.25,-1) \rput(1.2,-1.5){$F(-1) = \text{e}$} \rput(1.2,-2.5){$F(0) = 2$} \rput(1.25,-3.5){$F(2) = 4\text{e}^{-2}$} \uput[u](5,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$} \rput(0,-4.5){Figure 2 : fonction $F$} \end{pspicture} \vspace{1,5cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(5,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) %\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-4,-4)(5,4) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.9}{5}{2.71828 x neg exp 2.71828 sub} \uput[dl](-2,3){\blue $\mathcal{C}_{G}$} \uput[dl](0,0){O} \psframe(-4,-4)(-1.4,-1) \rput(-3.,-1.5){$G(-1) = 0$} \rput(-3.,-2.5){$F(0) = 1 - \text{e}$} \rput(-2.8,-3.5){$G(2) = \text{e}^{-2} - \text{e}$} \rput(0,-4.5){Figure 3 : fonction $G$} \uput[u](5,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(5,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) %\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-4,-4)(5,4) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.2}{5}{x 2.71828 x exp div} \uput[dl](2,0.8){\blue $\mathcal{C}_{H}$} \uput[dl](0,0){O} \psframe(0.4,-4)(2.3,-1) \rput(1.4,-1.5){$H(-1) = -\text{e}$} \rput(1.3,-2.5){$H(0) = 0$} \rput(1.3,-3.5){$H(2) = 2\text{e}^{-2}$} \rput(0,-4.5){Figure 4 : fonction $H$} \uput[u](5,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Génie électronique septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie Génie électronique novembre 2002 \hypertarget{Caledoelectronov}{} \label{Caledoelectronov} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie ~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique novembre 2002} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip On considère dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation suivante : \[z^2 - 6z + 12 = 0.\] \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre cette équation dans $\C$. Soient $z_1$ et $z_2$ les solutions, $z_1$ étant celle dont la partie imaginaire est positive. \item Écrire $z_1$ puis $z_2$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre réel positif, i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ et $\theta$ un nombre réel ($r$ représente donc le module du nombre complexe et $\theta$ un argument). En déduire que $\dfrac{z_1}{z_2} =\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \item Dans le plan $\mathcal{P}$, rapporté à un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique $1$~cm, construire géométriquement les points A$_1$ et A$_2$ d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$ (on n'utilisera pas de valeurs approchées). Montrer l'existence d'une rotation de centre O qui transforme A$_2$ en A$_1$. Déterminer l'angle $\alpha$ de cette rotation. \item On note A$_0$ l'image de A$_1$ par la rotation de centre O et d'angle $\alpha$. Construire géométriquement A$_0$. Déterminer l'affixe du point A$_0$. \item Quelle est la nature du quadrilatère OA$_0$A$_1$A$_2$ ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Un dé cubique est truqué. Une partie consiste à lancer le dé et à noter le numéro de la face supérieure. Soit $X$ la variable aléatoire égale à ce numéro. Sa loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $i$ & 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline $P(X=i)$& 1/32& 5/32& 10/32& 10/32& 5/32& 1/32\\ \hline \end{tabularx}\] La règle du jeu est la suivante : un joueur mise $10$~euros. Il reçoit $20$~euros si le numéro est 1 ou 6, $10$~euros si le numéro est 3 ou 4, $0$~euro si le numéro est 2 ou 5. Le gain d'un joueur est la différence entre ce qu'il reçoit et ce qu'il mise (le gain peut donc être soit positif soit négatif). Soit $Y$ la variable aléatoire égale au gain du joueur au cours d'une partie. \medskip \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $Y$ ? \item Déterminer la loi de probabilité de $Y$. \item Calculer l'espérance mathématique de $Y$. \item On rappelle qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain est nulle. Pour le jeu décrit ci-dessus, on se propose de modifier la mise. La nouvelle mise est notée $m$ et est exprimée en euros. Quelle valeur faut-il donner à $m$ pour rendre le jeu équitable ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \bigskip \textbf{Partie A : étude d'une fonction} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = x + \dfrac{1}{2\left(\text{e}^x +1\right)}.\] $\mathcal{C}$ désigne sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la droite $D_1$ d'équation $y =x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+ \infty$. \item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $D_1$ \end{enumerate} \item Pour tout réel $x,\: M$ désigne le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $M'$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $- x$. \begin{enumerate} \item Déterminer, en fonction de $x$, les coordonnées du point $I$ milieu du segment $[MM']$. \item Que constatez-vous ? Qu'en déduisez-vous pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout réel $x$ : \[f(x) = x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{\text{e}^x}{2\left(\text{e}^x+1\right).}\] \item Démontrer que la droite $D_2$ d'équation $y = x + 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $- \infty$. \item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $D_2$. \end{enumerate} \item Soit $f'$ la dérivée de $f$. Vérifier que, pour tout réel $x,~ f'(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x} + 3\text{e}^x + 2}{2\left(\text{e}^x + 1\right)^2}$. Montrer que, pour tout réel $x,~ f'(x) > 0$. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \item Tracer $D_1,~ D_2$ et $\mathcal{C}$ dans le plan muni d'un repère orthonormal\Oij{} d'unités graphiques $4$~cm. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : calcul d'une primitive} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : \[g(x) = \dfrac{1}{2\left(\text{e}^x +1\right)}\] \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout réel $x,~ g(x) = \dfrac{\text{e}^{-x}}{2\left(1 + \text{e}^{-x}\right)}$. \item En déduire une primitive $G$ de la fonction $g$ sur $\R$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie Génie électronique novembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2002 \hypertarget{Antillesmateriaux}{} \label{Antillesmateriaux} \lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, des matériaux} \lfoot{\small Antilles--Guyane} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2002~\decofourright\\[5pt] Génie mécanique, des matériaux} \end{center} \bigskip \textsc{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip Un sac contient 100 boules. Sur chacune de ces boules est inscrit l'un des numéros \textcircled{0}, \textcircled{1}, \textcircled{2}, \textcircled{3} ou \textcircled{4}.\\ Le tableau ci-dessous donne la répartition de ces boules suivant leur numéro. \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Numéro inscrit sur la boule &\textcircled{0} &\textcircled{1} &\textcircled{2} &\textcircled{3} & \textcircled{4}\\ \hline Nombre de boules &30 &25 &20 &15 &10\\ \hline \end{tabularx} \bigskip Un joueur tire au hasard une boule de ce sac. On admet que tous les tirages sont équiprobables. \medskip \begin{enumerate} \item On note $p_{n}$ la probabilité que ce joueur tire une boule portant le numéro $n$. Écrire les nombres $p_{0},~ p_{1},~ p_{2},~ p_{3}$ et $p_{4}$. Justifier que ces nombres sont, dans cet ordre, les cinq premiers termes d'une suite arithmétique dont on précisera la raison. \item On convient de la règle du jeu suivante : Soit $n$ la numéro de la boule tirée par le joueur. Si le numéro $n$ est impair, le joueur perd $n$ euros. Son gain est alors $- n$. Dans tous les autres cas, le joueur gagne $n$ euros. Son gain est $n$. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que, à l'issue d'un tirage, ce joueur gagne au moins un euro ? \item Quelle est la probabilité que, à l'issue d'un tirage, ce joueur perde au moins un euro ? \item On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque numéro de boule tirée, associe le gain du joueur. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique E(X) de X. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textsc{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Le plan complexe $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $4$~cm. \medskip \begin{enumerate} \item On considère le nombre complexe $Z = \dfrac{2 + \text{i}}{3 - \text{i}}$. Calculer la forme algébrique de $Z$ ; en déduire le module et un argument de $Z$. \item On considère les points A et B d'affixes respectives : \[\dfrac{1 + \text{i}}{2}~\text{et}~\dfrac{1 - \text{i}}{2}\] Le point I est le milieu du segment [AB]. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et I. \item Calculer l'affixe du point I. \end{enumerate} \item Soit C le point d'affixe : \[z_{\text{C}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}.\] \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point C. \item Montrer que les points A, B et C sont situés sur un même cercle de centre I. Construire le cercle et placer le point C. \item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textsc{Problème \hfill 12 points} \medskip \emph{Le graphique est à complète, au fur et à mesure de la résolution du problème, et à rendre avec la copie.} Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.\\ L'unité de longueur est 2 cm. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x$ de $\R$ par : \[ f(x) = x^3\text{e}^x.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. \medskip \psset{unit=1.71429cm} \begin{pspicture}(-4,-2)(3,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-4,-2)(3,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2](0,0)(-4,-2)(3,5) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{1.161}{2.71828 x exp x 3 exp mul} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \medskip On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$. \item Déterminer les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en lesquels cette courbe admet une tangente de coefficient directeur égal à $0$. Tracer ces tangentes sur la feuille annexe \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction définie pour tout $x$ de $\R$ par \[g(x) = x^3\text{e}^{-x}.\] On appelle $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$. En déduire une équation d'une asymptote à $\mathcal{C}_{g}$. \item Calculer la limite de $g$ en $- \infty$. \end{enumerate} \item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$. \item Montrer que. pour tout nombre réel $x$ : \[g'(x) = x^2\text{e}^{-x}(3 - x).\] \item Étudier le signe de $g'(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. \item Déterminer les variations de la fonction $g$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \noindent \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ : \[f(x) - g(x) = x^3 \text{e}^{-x}\left(\text{e}^{2x} - 1\right)\] \item Étudier le signe de $f(x) - g(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{g}$. \item Comparer $f(0,0001)$ et $g(0,001)$ puis $f\left(- 10^{-4}\right)$ et $g\left(- 10^{-4}\right)$. \end{enumerate} \item Soit $a$ un réel. On considère le point $M$ de coordonnées $(a ~;~f(a))$ et le point $N$ de coordonnées $(- a ~;~g(- a))$. Démontrer que le milieu du segment [$MN$] est le point O. \end{enumerate} \bigskip \noindent \textbf{Partie C} \medskip \emph{On admet dans la suite du problème que la courbe} $\mathcal{C}_{g}$ \emph{est la courbe symétrique de} $\mathcal{C}_{f}$ \emph{par rapport à l'origine du repère.} \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $F$ est définie, pour tout $x$ de $\R$ par : \[F(x) = \left(x^3 -3x^2 + 6x - 6\right)\text{e}^x.\] Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Calculer les deux intégrales $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\,\text{d}x$ et $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\,\text{d}x$. \item Compléter le graphique par un dessin de $\mathcal{C}_{g}$. \item On considère la région $\mathcal{A}$ du plan délimitée par les courbes $\mathcal{C}_{f},~\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. \begin{enumerate} \item Hachurer $\mathcal{A}$ sur le graphique. \item Déduire de la question 2 la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{A}$ en cm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane Génie des matériaux juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole Génie des matériaux, mécanique juin 2002 \hypertarget{Metroemateriaux}{} \label{Metromateriaux} \lfoot{\small{ Métropole}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2002 ~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, génie des matériaux}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$, par : \[ f(x) = 4x^3 - 8x^2 - x + 2.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $2$ est une solution de l'équation $f(x) = 0$. \item Déterminer trois réels $a,~ b$ et $c$ tels que pour tout $x$ de $\R$ : \[f(x) = (x - 2)\left(ax^2 + bx + c\right).\] \item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$. \end{enumerate} \item En utilisant les résultats de la question 1., résoudre dans $\R$ chacune des équations suivantes \begin{enumerate} \item $4\ln ^3 x - 8\ln ^2x - \ln x + 2 = 0$ ; \item $4\text{e}^{2x} - 8\text{e}^{x} - 1 + \dfrac{2}{\text{e}^{x}} = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.\\ On considère les trois nombres complexes : \[z_{1} = 2\sqrt{3}\left(\cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{6}\right) \quad ;\quad z_{2} = 4\quad ;\quad z_{3} = 2\left(1 + 4\text{e}^{4\text{i}\frac{\pi}{3}}\right).\] On appelle M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ leurs images respectives dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : $1$~cm). \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $z_{1}$ et de $z_{3}$. \item Placer les points M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ et dans le plan $\mathcal{P}$. \item \begin{enumerate} \item Calculer sous forme trigonométrique les nombres complexes : \[z_{1} - 2\quad ;\quad z_{2} - 2\quad ;\quad z_{3} - 2.\] \item En déduire que les trois points M$_{1}$,~ M$_{2}$ et M$_{3}$ sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. \end{enumerate} \item Montrer que le triangle M$_{1}$M$_{2}$M$_{3}$ est rectangle. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Problème} \hfill 10 points} \medskip Le but de ce problème est l'étude de la conception, des caractéristiques et de la commercialisation d'une bobine de fil. \medskip \textbf{Partie A - Détermination d'une fonction \boldmath $f$ \unboldmath nécessaire à la conception d'une bobine} \medskip Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~4], par \[f(x) = ax^2 + bx + c.\] Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{}(unité graphique : $1$~cm). On impose les conditions suivantes \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $f(0) = 2$ ; \item[$\bullet~$] $f(2) = 1$ ; \item[$\bullet~$] La courbe $\mathcal{C}$ admet en son point d'abscisse 2 une tangente parallèle à l'axe des abscisses. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $a,\: b$ et $c$ pour que les trois conditions précédentes soient remplies et en déduire que pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~4],\: f(x) = \dfrac{1}{4}x^2 - x + 2$. \item Montrer que la fonction admet sur [0~;~4] un minimum que l'on précisera. \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} - Conception et étude des caractéristiques de la bobine \medskip Soit $\Delta$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 4$. La rotation de la partie $\Delta$ autour de l'axe des abscisses engendre un solide (B). Ce solide est la bobine ci-dessous dessinée, à gauche (fig. 1) \begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,4) \pscurve(0.5,0.05)(0.4,0.15)(0.2,0.6)(0.1,1.25)(0.09,1.8)(0.15,2.4)(0.28,3)(0.5,3.55)(0.7,3.86)(0.9,3.98)%ellipse pleine à gauche \rput{-5}(0.8,2){\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(0.7,2)} \rput{-5}(4.1,2){\psellipse(0,0)(0.7,2)} \pscurve(5.9,0.05)(5.8,0.08)(5.6,0.3)(5.5,0.6)(5.45,0.8)(5.4,1.4)(5.5,2.6)(5.6,3)(5.7,3.3)(5.8,3.58)(6,3.85)(6.25,3.96)%ellipse pleine à droite \rput{-5}(9.8,2){\psellipse(0,0)(0.7,2)} \pscurve(0.65,0.02)(1,0.1)(1.5,0.3)(2,0.6)(2.5,0.7)(3,0.62)(3.5,0.3)(3.75,0.1) \pscurve(1.1,3.95)(1.5,3.7)(2,3.35)(2.5,3.2)(3,3.3)(3.5,3.58)(4,3.87) \rput{-5}(6.1,2){\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(0.7,2)} \rput(5.7,0){\pscurve[linestyle=dashed](0.65,0.02)(1,0.1)(1.5,0.3)(2,0.6)(2.5,0.7)(3,0.62)(3.5,0.3)(3.75,0.1)} \rput(5.55,0){\pscurve[linestyle=dashed](1.1,3.95)(1.5,3.7)(2,3.35)(2.5,3.2)(3,3.3)(3.5,3.58)(4,3.87)} \psline(6,0)(9.6,0) \psline(6.25,3.98)(9.95,3.98) \rput(2,-0.5){fig. 1: bobine sans fil} \rput(8,-0.5){fig. 2 : bobine avec fil} \end{pspicture} \bigskip \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Hachurer la partie $\Delta$ sur le graphique. \item Vérifier que, pour tout $x$ de $\R$ : \[[f(x)]^2 = \dfrac{1}{16}x^4 - \dfrac{1}{2} x^3 +2x^2 - 4x + 4.\] \item En déduire la valeur exacte en cm$^3$ du volume V$_{1}$ de la bobine sans fil. (On rappelle que : \[\text{V}_{1} = \pi\displaystyle\int_{0}^4 [f(x)]^2\, \text{d}x.\] \end{enumerate} \item Lorsque le fil est placé sur la bobine, l'ensemble \og bobine avec fil \fg{} est assimilé à un cylindre (voir fig. 2). \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte, en cm$^3$, du volume V$_{2}$ de ce cylindre. \item En déduire la valeur exacte, en cm$^3$ du volume V occupé par le fil sur la bobine. \end{enumerate} \item Le fabricant affirme que la bobine ainsi constituée contient $200$~m de fil cylindrique de diamètre $0,4$~mm.\\ Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} - Commercialisation des bobines \medskip À l'issue de la fabrication, une bobine de fil peut présenter $0,\: 1,\: 2$ ou $3$ défauts ; \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 90\,\% des bobines de fil ont $0$ défaut ; \item[$\bullet~$] 5\,\% des bobines de fil ont $1$ défaut ; \item[$\bullet~$] 3\,\% des bobines de fil ont $2$ défauts ; \item[$\bullet~$] 2\,\% des bobines de fil ont $3$ défauts. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard une bobine de fil. Calculer la probabilité qu'elle présente au plus un défaut. \item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bobine de fil choisie au hasard, associe le nombre de ses défauts. \begin{enumerate} \item Définir à l'aide d'un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance mathématique E($X$) et donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \item Le prix de vente d'une bobine de fil dépend du nombre de défauts qu'elle présente comme l'indique le tableau suivant : \medskip \[\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \text{Nombre de défauts} &0 &1 &2 & 3\\ \hline \text{Prix (en euros)} & 5 &3 &2 & 1\\ \hline \end{tabularx}\] \medskip Soit $Y$ la variable aléatoire qui à chaque bobine de fil choisie au hasard associe son prix, \begin{enumerate} \item Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$. \item Calculer l'espérance mathématique E($Y$) de $Y$. Que représente E($Y$) ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Génie des matériaux, mécanique juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole Génie des matériaux, mécanique septembre 2002 \hypertarget{Metromateriauxsep}{} \label{Metromateriauxsep} \lfoot{\small Métropole} \rfoot{\small{septembre 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STI Métropole septembre 2002~\decofourright \\[5pt]Génie mécanique B, C, D, E, des matériaux}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$ On considère les deux nombres complexes : \[z_{1} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}~ \text{et}~z_{2} = 2\sqrt{2} - 2\text{i}\sqrt{2}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Donner le module et un argument des deux nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$. En déduire le module et un argument de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$. \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique $1$~cm. Utiliser les résultats obtenus dans la question 1, pour placer les points A et B d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ en faisant apparaître les traits de construction. \item Vérifier que $\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \text{i} \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. En comparant les formes algébrique et trigonométrique de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ donner les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et de $\sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ \item Soit C le point d'affixe $z_{3} = 4\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$. Placer le point C sur la figure faite à la question 1. \item Montrer que les trois points A, B et C sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip On considère l'équation différentielle \[4y'' + 9y = 0 \quad (\text{E})\] où $y$ désigne une fonction numérique de la variable réelle $x$, deux fois dérivable, et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$, par : $g(x) = 2 \cos \left(\dfrac{3x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)$. Vérifier que $g$ est une solution particulière de (E). \item Résoudre l'équation différentielle (E). \item Déterminer la solution particulière $f$ de (E) telle que : $f(\pi) = 1$ et $f'\left(\dfrac{5\pi}{9}\right) = 0,{} f'$ désignant la fonction dérivée de $f$. \item Montrer que $f = g$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Le but du problème est de déterminer la valeur exacte de l'aire de la région grisée sur la figure en annexe. Cette région est limitée par l'axe des ordonnées et deux morceaux de courbes symétriques par rapport à l'axe des abscisses. \emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip On considère la fonction $f$ définie, pour tout nombre réel $x$, par \[f(x) = \dfrac{4 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}.\] Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporte à un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique $2$~cm. La courbe $\mathcal{C}$ est représentée sur la figure en annexe. \medskip \textbf{Partie A : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. Que peut-on en déduire graphiquement pour $\mathcal{C}$ ? \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. (On pourra vérifier que, pour tout nombre réel $x$, on a $f(x) = \dfrac{4\text{e}^{-x} - 1}{\text{e}^{-x} + 1}$. Que peut-on déduire graphiquement pour $\mathcal{C}$ ? \item Déterminer, pour tout nombre réel $x,~ f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. étudier le signe de $f'$. En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'ensemble des nombres réels , \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de $\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées. \item Résoudre dans $\R$ l'équation $4 - \text{e}^x = 0$. En déduire que $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un point B dont on déterminera les coordonnées. \end{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~2 \ln 2]$, on a $f(x) \geqslant 0$. \item Placer les points A et B, puis tracer les droites asymptotes de $\mathcal{C}$ sur la figure en annexe à joindre à la copie. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : calcul de l'aire de la région grisée} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction numérique $F$ définie, pour tout nombre réel $x$, par $F(x) = 4x - 5 \ln \left(\text{e}^x + 1\right)$ est une primitive de $f$sur $\R$. \item Déterminer la valeur exacte, en unités d'aires, de l'aire de la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, les deux axes du repère et la droite d'équation $x = 2 \ln 2$. En déduire la valeur exacte, en cm$^2$, de l'aire de la région grisée, puis sa valeur arrondie au mm$^2$ près. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \vspace{2cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-6,-3)(6,5) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot{0}{1.38629}{ 2.71828 x exp 4 sub 2.71828 x exp 1 add div} \psplot{1.38629}{0}{4 2.71828 x exp sub 2.71828 x exp 1 add div} } \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-6}{6}{4 2.71828 x exp sub 2.71828 x exp 1 add div} \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt](0,0)(-6,-3)(6,5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-3)(6,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Génie des matériaux, mécanique septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie Génie des matériaux novembre 2002 \hypertarget{Caledomateriauxnov}{} \label{Caledomateriauxnov} \lfoot{\small Nouvelle--Calédonie } \rfoot{\small{novembre 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie novembre 2002~\decofourright\\[5pt] Génie des matériaux, mécanique A et F} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, l'unité graphique étant le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : \[(z - 11 \text{i})\left(z^2 - 16 z + 89\right) = 0.\] \item On donne les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 8 - 5 \text{i},\: z_{\text{B}} = 8 + 5$i et $z_{\text{C}} = 11$i. \begin{enumerate} \item Placer A, B et C. La figure sera complétée au fur et à mesure des questions. \item Calculer $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right|$ et interpréter géométriquement le résultat obtenu. \item Démontrer que ABC est un triangle isocèle. \end{enumerate} \item D est le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 2$ et B$'$ le milieu du segment [AC]. \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe du point B$'$. \item Calculer les affixes des vecteurs $\vect{\text{DB}}$ et $\vect{\text{DB}'}$. \item En déduire que les points D, B et B$'$ sont alignés. \item En déduire que (DB) est la médiatrice du segment [AC]. \end{enumerate} \item Justifier que la droite (DO) est une médiatrice du triangle ABC. \item Quel est le centre du cercle passant par A, B et C ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Lors de la \og foire aux affaires \fg{}, dans un magasin de bricolage, un client s'intéresse à une meuleuse d'angle et à une scie sauteuse. On admet, pour ce client, les hypothèses suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item La probabilité qu'il achète la meuleuse d'angle est $0,60$. \item La probabilité qu'il achète la scie sauteuse est $0,46$. \item La probabilité qu'il achète la meuleuse d'angle ou la scie sauteuse est $0,64$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On désigne par $M$ l'évènement \og le client achète la meuleuse d'angle \fg{} et par $S$ l'évènement \og le client achète la scie sauteuse \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Quelques calculs préliminaires : \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement \og le client n'achète pas la meuleuse d'angle \fg. \item Montrer que la probabilité de l'évènement \og le client achète la meuleuse d'angle et la scie sauteuse \fg{} est $0,42$. \item Calculer la probabilité de l'évènement $\overline{M} \cap S$. \end{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \renewcommand\arraystretch{1.5} \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|} }\hline &$M$ &$\overline{M}$& \\ \hline $S$ & 0,42 & & 0,46\\ \hline $\overline{S}$ & & & \\ \hline & 0,60 & & 1\\\hline \end{tabularx}\] \renewcommand\arraystretch{1} \item La meuleuse d'angle coûte $12,96$~\euro{} et la scie sauteuse $15,09$~\euro. On désigne par $D$ la variable aléatoire égale à la dépense, en euros, du client. \begin{enumerate} \item Déterminer les différentes valeurs de la variable aléatoire $D$. \item Établir la loi de probabilité de $D$. \item Calculer l'espérance mathématique de $D$. On en donnera l'arrondi au centime d'euro. \item Quel chiffre d'affaires le magasin peut-il espérer réaliser si 50~clients, intéressés par ces deux appareils, se présentent pendant cette \og foire aux affaires \fg{} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \bigskip \textbf{Première partie :} \medskip Soit $p$ la fonction polynôme définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[p(X) = 3 X^3 - 7 X^2 + 4.\] \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre réel $X,~ p(X) = (X- 1)\left(3X^2 - 4X - 4\right)$. \item Factorisation de $p$ : \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation : $3X^3 - 7 X ^2 + 4 = 0$. \item En déduire une écriture de $p(X)$ sous la forme d'un produit de trois polynômes du premier degré. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout nombre réel $x$, \[ 3\text{e}^{3x} - 7\text{e}^2 + 4 = \left(\text{e}^x - 1\right)\left(\text{e}^x - 2\right)\left(3\text{e}^x + 2\right).\] \item Résoudre dans l'ensemble $\R$ l'équation $3\text{e}^{3x}x - 7\text{e}^{2x}x + 4 = 0$. \item Étudier le signe de $3\text{e}^{3x} - 7\text{e}^{2x} + 4$ pour $x$ appartenant à l'ensemble $\R$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie :} \medskip On considère l'équation différentielle $E~ :~y'+ 2 y = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $E$~; \item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation $E$ vérifiant $f(\ln 2) = 1$, ou $\ln$ représente la fonction logarithme népérien. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie :} \medskip On appelle $f$ et $g$ les fonctions respectivement définies sur l'ensemble $\R$ par : \[f(x) = 4\text{e}^{-2x}\quad \text{et} \quad g(x) = 7 - 3\text{e}^x.\] On appelle $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. Unités graphiques : $6$~cm en abscisses et $2$~cm en ordonnées. \medskip \begin{enumerate} \item Limites et asymptotes \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ et de $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. \item En déduire pour chacune des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$, l'existence d'une droite asymptote nommée D pour la courbe $\mathcal{C}$ et D$'$ pour la courbe $\mathcal{C'}$. Donner une équation pour chacune de ces droites. \end{enumerate} \item Variations \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ et de $g$ sur $\R$. \item Dresser les tableaux de variation de $f$ et $g$. \end{enumerate} \item Positions respectives de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{C'}$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre réel $x,$ \[f(x) - g(x) = \text{e}^{-2x}\left(3\text{e}^{3x} - 7\text{e}^{2x} + 4\right).\] \item En déduire les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{C'}$. \item Justifier que sur l'intervalle $[0~;~\ln 2]$, $\mathcal{C}$ est en dessous de $\mathcal{C'}$. \end{enumerate} \item Construire D, D$'$,~ $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ dans le repère orthogonal $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}~;~\vect{\jmath}\right)$ dont on rappelle que les unités graphiques sont $6$~cm en abscisses et $2$~cm en ordonnées. \item On désigne par $\mathcal{P}$ le domaine plan limité par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 2$. \begin{enumerate} \item Hachurer $\mathcal{P}$. \item Calculer la valeur exacte, en cm$^2$ , de l'aire de $\mathcal{P}$. En donner l'arrondi au mm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie Génie des matériaux novembre 2002 \end{document}