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%Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\e{\text{e}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat STI Antilles-Guyane 13 septembre 2012\\[4pt]
Génie mécanique (options A et F), Génie civil, Génie énergétique}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
%
%Dans tout le sujet, on désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
%\medskip
%
%Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On donne $P(z) = z^3 - 6z^2 + 18z - 27$ où $z$ est un nombre complexe. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $P(3)$.
$P(3) = 3^3 - 6\times 3^2 + 18\times 3 - 27 = 27 - 54 + 54 - 27 = 0$.

$3$ est donc un zéro du polynôme $P$.

Il existe donc des nombres réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout nombre complexe $z,\: P(z) = (z - 3)\left(az^2 + bz + c\right) = az^3 + bz^2 + cz - 3az^2 - 3bz - 3c = az^3 + z^2(b - 3a) + z(c  - 3b) - 3c.$
En identifiant cette écriture avec celle de l'énoncé, on obtient :

$\left\{\begin{array}	{l c l}
a&=&1\\
b - 3a&=&- 6\\
c  - 3b&=&18\\
- 3c&=&- 27
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}	{l c l}
a&=&1\\
b &=&3 - 6\\
9 - 3b&=&18\\
c&=&9
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}	{l c l}
a&=&1\\
b &=&- 3\\
- 3  &=&b\\
c&=&9
\end{array}\right.$.

On a donc

\[P(z) = z^3 - 6z^2 + 18z - 27 = (z - 3)\left(z^2 - 3z + 9\right).\]
	 
%Déterminer les nombres réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout nombre complexe $z,\: P(z) = (z - 3)\left(az^2 + bz + c\right)$. 
		\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $z^2 - 3z + 9 = 0$ puis en déduire les solutions de $P(z) = 0$.
		Résolution de l'équation du second degré :
		
$\Delta = 9 - 4 \times 9 = - 3 \times 9 = \left(3\text{i}\sqrt{3}\right)^2 < 0$.

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{3 + 3\text{i}\sqrt{3}}{2}\quad \text{et}\quad \dfrac{3 - 3\text{i}\sqrt{3}}{2}\]
	\end{enumerate} 
\item %On considère les points A, B et F d'affixes respectives 

%\[z_{\text{A}} = 3 ,\quad  z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \quad \text{et}\quad  z_{\text{F}} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la forme trigonométrique des nombres complexes $z_{\text{A}},\:z_{\text{B}}$  et $z_{\text{F}}$.
$z_{\text{A}} = 3 = 3\cos 0 + \text{i}\sin 0 ;$

$z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}$. On a $\left|z_{\text{B}}  \right|^2 = \left(\dfrac{3}{2} \right)^2 +  \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{27}{4} = \dfrac{36}{4} = 9 = 3^2 \Rightarrow \left|z_{\text{B}}  \right| = 3$.

En factorisant ce module :

$z_{\text{B}} = 3\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right) = 3\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right) = 3 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

$z_{\text{F}} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}$, donc $\left|z_{\text{F}}  \right|^2 = \left(\dfrac{3}{2} \right)^2 +  \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{27}{4} = \dfrac{36}{4} = 9 = 3^2 \Rightarrow \left|z_{\text{F}}  \right| = 3$.

En factorisant ce module :

$z_{\text{F}} = 3\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right) = 3\left(\cos \frac{-\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{-\pi}{3} \right) = 3 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		\item %Justifier que les points A, B et F sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon.
Comme  $\left|z_{\text{A}}\right| = 3,\:\left|z_{\text{B}}\right| = 3$ et $\left|z_{\text{F}}\right| = 3$, on a donc OA = OB = OF = 3 : les trois points A, B et F appartiennent au cercle centré en O de rayon 3.
		\item %Placer les points A, B et F dans le repère \Ouv.
On place B et F sur le cercle précédent et la droite d'équation $x = \dfrac{3}{2}$. Voir la figure à la fin de l'exercice. 
		\item %Calculer les distances AB et AF ; quelle est la nature du quadrilatère OBAF ?
		On a AB$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right|^2 = \left|\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} - 3  \right|^2 = \left|- \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \right|^2 = \dfrac{9}{4}  \dfrac{27}{4} = \dfrac{36}{4} = 9 = 3^2 \Rightarrow \text{AB} = 3$.
		
De même AF$^2 = \left|z_{\text{F}} - z_{\text{A}}\right|^2 = \left|\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} - 3  \right|^2 = \left|- \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \right|^2 = \dfrac{9}{4}  \dfrac{27}{4} = \dfrac{36}{4} = 9 = 3^2 \Rightarrow \text{AF} = 3$.

On a donc OA = OB = AB = AF = 3 : le quadrilatère OABF quatre côtés de même longueur : c'est un losange. (mais pas un carré puisque $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \left(\vect{\text{OF}},~\vect{\text{OA}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx= 2, Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
\psdots(0,0)(3,0)(1.5,2.598)(1.5,-2.598)
\uput[dr](0,0){O}\uput[d](3,0){A}\uput[ur](1.5,2.598){B}\uput[dr](1.5,-2.598){F}
\pspolygon(0,0)(1.5,2.598)(3,0)(1.5,-2.598)
\pscircle(0,0){3}\psline[linestyle=dashed](1.5,-3)(1.5,3)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip

%On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$ par 
%
%\[f(x) = 2 \sin \left( 2x - \dfrac{\pi}{6}\right).\] 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(-2.5,-4)(2.5,4)
%\multido{\n=-4+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-6.28319,\n)(6.28319,\n)}
%\multido{\r=-6.28319+1.570796}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\r,-4)(\r,4)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,trigLabels,xunit=3.14159265]{->}(0,0)(-2.5,-4)(2.5,4)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-6.282}{6.282}{x 2 mul RadtoDeg  30  sub  sin 2 mul}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Par lecture graphique, donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$ dans l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$.
Graphiquement on voit que cette équation a 8 solutions dans l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$. 
		\item %Résoudre l'équation $f(x) = 2$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.
$f(x) = 2 \iff 2 \sin \left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = 2 \iff \sin \left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = 1 \iff$

$ 2x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} \iff 2x =  \dfrac{\pi}{6} +  \dfrac{\pi}{2} + k 2\pi \iff 2x =  \dfrac{4\pi}{6} + k 2\pi \iff 2x = \dfrac{2\pi}{3} + k 2\pi \iff x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ avec $k \in \Z$.

Sur l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$, les solutions sont $\dfrac{\pi}{3},\:\dfrac{4\pi}{3},\:- \dfrac{2\pi}{3},\:- \dfrac{5\pi}{3}$.
	\end{enumerate} 
\item %On note $(E)$ l'équation différentielle $y^{\prime\prime} + 4y = 0$, où $y$ est une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y^{\prime\prime}$ sa fonction dérivée seconde.

	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre l'équation $(E)$.
On sait la solution générale de l'équation $y^{\prime\prime} + 2^2y = 0$ est 

$y = A\cos 2x  + B \sin 2x$, avec $A, B \in \R$. 
		\item %Déterminer la solution particulière $g$ de $(E)$ qui vérifie $g(0) = - 1$ et $g^{\prime}(0) = 2\sqrt{3}$ où $g^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $g$.
On a $g^{\prime}(x) = -2A \sin 2x + 2B \cos 2x$, donc 
		
$g(0) = - 1 \iff A = - 1$ et 

$g^{\prime}(0) = 2\sqrt{3} \iff 2B = 2\sqrt{3} \iff B = \sqrt{3}$.

La solution particulière est donc définie par  $g(x) = - \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x$. 
		\item %Comparer $f(x)$ et $g(x)$ pour $x \in  [-2\pi~;~2\pi]$.
		 
%\emph{On rappelle que pour tous réels $a$ et $b$, on a : $\sin (a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a$.}
D'après la formule rappelée :

$f(x) =  2 \sin \left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = 2\sin 2x \cos \dfrac{\pi}{6} - 2\cos 2x \sin \dfrac{\pi}{6} =$

$ 2\sin (2x) \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 2\cos (2x) \times \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\sin 2x  - \cos 2x = g(x)$.

Donc $f(x) = g(x)$.
 
%\emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera en prise en compte dans la notation.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}
 
%\medskip
%
%On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par 
%
%\[f(x) = \dfrac{6\text{e}^x}{\text{e}^x + 5}.\]
%
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath }

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout réel $x$ on a $f^{\prime}(x) = \dfrac{30\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 5 \right)^2}$  puis étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ pour $x$ dans $\R$.
Le dénominateur $\text{e}^x + 5$ ne peut s'annuler puisqu'il est supérieur à $5$. $f$ est donc dérivable sur $\R$ et sur cet ensemble :

$f^{\prime}(x) = \dfrac{6\text{e}^x\left(\text{e}^x + 5 \right) - \text{e}^x \times 6\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 5 \right)^2} = \dfrac{\left(\text{e}^x \right)^2 + 30\text{e}^x - \left(\text{e}^x \right)^2}{\left(\text{e}^x + 5 \right)^2} = \dfrac{30\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 5 \right)^2}$.

Tous les termes de ce quotient sont supérieurs à zéro, donc $f^{\prime}(x) > 0$, quel que soit le réel $x$ :  la fonction est croissante sur $\R$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que pour tout réel $x$ on a : $f(x) = \dfrac{6}{1 + 5\text{e}^{- x}}$.
En multipliant chaque terme du quotient par le nombre non nul $\text{e}^{- x}$, on obtient :

$f(x) =  \dfrac{6\text{e}^x \times \text{e}^{- x}}{\text{e}^{- x}\left(\text{e}^x + 5\right)} = \dfrac{6}{1 + 5\text{e}^{- x}}$. 
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$ et en déduire l'existence de deux asymptotes $\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$. On précisera une équation de chacune de ces asymptotes.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \dfrac{6}{1} = 6$.

Géométriquement ce résultat signifie que la droite  $\Delta_{1}$ d'équation $y = 6$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.

D'autre part on sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^x + 5 = 5$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = \dfrac{0}{5} = 0$.

Géométriquement ce résultat signifie que la droite  $\Delta_{2}$ d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
	\end{enumerate} 
\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
On a vu que la fonction est croissante sur $\R$ de $0$ à $6$. 
\item %Montrer que l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ de $f$ au point d'abscisse $0$  est $y = \dfrac{5}{6}x + 1$.
On a $f(0) = \dfrac{6}{1 + 5} = 1$.

$f^{\prime}(0) = \dfrac{30\text{e}^0}{\left(\text{e}^0 + 5 \right)^2} = \dfrac{30}{25} = \dfrac{6}{5}$.

Une équation de la  tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ de $f$ au point d'abscisse $0$  est :

$y - f(0) = f^{\prime}(0)(x - 0) \iff y - 1 = \dfrac{6}{5}x \iff y = \dfrac{6}{5}x + 1$. 
\item %Dans le repère, tracer la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que les droites $\mathcal{T},\:\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$ sur une feuille de papier millimétré.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(6,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-1)(6,7)
\uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,7){$y$}\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{6}{6 2.71828 x neg exp 5 mul 1 add div}
\psplot{-2.4}{6}{5 x mul 6 div 1 add}
\uput[u](4,6){$\Delta_{1}$}\uput[d](3.7,0){$\Delta_{2}$}\rput{39.81}(6,5.5){$\mathcal{T}$}
\psline[ArrowInside=->](0,4)(2.303,4)(2.303,0)
\psline[linewidth=1.5pt](-5,6)(6,6)
\psline[linewidth=1.5pt](-5,0)(5,0)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{6 2.71828 x neg exp 5 mul 1 add div}
\psline(2,2.666667)(0,1)}
\psline[linestyle=dashed](2,2.666667)(2,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : Résolution d'une équation}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que l'équation $f(x) = 4$ admet une solution unique $x_{0}$ sur l'intervalle [1~;~5].
Sur l'intervalle [1~;~5], $f$ est strictement croissante ; de plus $f(1) = \dfrac{6\text{e}}{\text{e} + 5} \approx 2,113$ et $f(5) =  \dfrac{6\text{e}^5}{\text{e}^5 + 5} \approx 5,804$. Comme $4 \in [2,113~;~5,804]$, la droite d'équation $y = 4$ coupe $\mathcal{C}$ en un point unique $x_{0}$ tel que $f\left(x_{0}\right) = 4$.
\item %Graphiquement, donner un encadrement de $x_{0}$ à l'unité près, et placer $x_{0}$ sur le graphique.
Le graphique montre que $2 < x_{0}< 3$. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale arrondie au centième de $x_{0}$.
La calculatrice donne $2,303 < x_{0}< 2,304$.

La valeur décimale arrondie au centième de $x_{0}$ est $2,30$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C : Un calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par 
		
%		\[G(x) = \ln \left(\text{e}^x + 5\right)\]
		
%est une primitive de la  fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 5}$.
On a $\text{e}^x + 5 \geqslant 5 > 0$, donc $G$ est bien définie sur $\R$ et :

$G'(x) = \dfrac{\left( \right)^{\prime}}{\text{e}^x + 5} = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 5} = g(x)$.

$G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur $\R$. 
		\item %En déduire une primitive $H$ de la fonction $h$ définie sur $\R$ par 
		
$h(x) = \dfrac{6\text{e}^x}{\text{e}^x + 5} - \left(\dfrac{5}{6}x + 1\right)$.
D'après la question précédente une primitive de  $\dfrac{6\text{e}^x}{\text{e}^x + 5}$ est $6\ln \left(\text{e}^x + 5\right)$ ;

D'autre part une primitive de  $\dfrac{5}{6}x + 1$ est $\dfrac{5}{6}\dfrac{x^2}{2} + x$.

Donc une primitive $H$ de la fonction $h$ est définie sur $\R$ par :

$H(x) = 6\ln \left(\text{e}^x + 5\right) - \dfrac{5}{12}x^2 - x + C$, avec $C \in \R$. 	 
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer sur le graphique, le domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$, la tangente $\mathcal{T}$ ainsi que les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$.
Voir la figure plus haut. 
		\item %On admet que la fonction $h$ est positive sur l'intervalle [0~;~2]. 

%Montrer que la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de ce domaine 
%est $\mathcal{A} = 6\ln \left(\dfrac{\text{e}^2 + 5}{6} \right) - \dfrac{11}{3}$·
L'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$ est égale à l'intégrale entre $0$ et $2$ de la fonction $h$.

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^2 h(x)\,\text{d}x = [H(x)]_{0}^2 = H(2) - H(0) = 6\ln \left(\text{e}^2 + 5\right) - \dfrac{5}{12}2^2 - 2 + C - \left[6\ln \left(\text{e}^0 + 5\right) - \dfrac{5}{12}0^2 - 0 + C  \right] =  6\ln \left(\text{e}^2 + 5\right) - \dfrac{5}{3} - 2 -6 \ln 6  = 6\ln \left(\text{e}^2 + 5\right) -6\ln 6 - \dfrac{11}{3} = 6\left[\ln \left(\text{e}^2 + 5\right) - \ln 6  \right] - \dfrac{11}{3} = 6\ln \left[\dfrac{\text{e}^2 + 5}{6} \right] - \dfrac{11}{3} \approx 0,68$~(unité d'aire)
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}