\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{diagbox} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-node} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{A. P{}. M. E. P{}.} \lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2002~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Une association propose chaque jour un spectacle au prix de $20$~\euro. Pour en assurer la promotion, chaque client, à l'entrée, lance un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Les six résultats sont équiprobables : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si le résultat est 6, l'entrée est gratuite ; \item[$\bullet~$] si le résultat est 1, l'entrée est demi-tarif (10~\euro) ; \item[$\bullet~$] dans les autres cas (2, 3, 4 ou 5), le client paie plein tarif (20~\euro). \end{itemize} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un client se présente à l'entrée. Soit $A$ l'évènement : \og le client paie plein tarif \fg. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de $A$. \item Énoncer par une phrase en français l'évènement contraire de $A$ noté $\overline{A}$ puis déterminer la probabilité de $\overline{A}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat du dé, le prix payé par le client. \begin{enumerate} \item Déterminer à l'aide d'un tableau de loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique E($X$). \end{enumerate} \item Avant promotion, le prix unique était 20~\euro{} et l'association avait en moyenne $80$~clients par jour. Depuis la promotion, la clientèle a augmenté de $40$\,\%. En utilisant la question précédente, indiquer si l'association peut espérer de meilleures recettes grâce à la promotion. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation: \[z^2 + 8z + 17 = 0.\] \item Soit $P(z) = z^3+2z^2 - 31z - 102$. Vérifier que $P(z) = (z - 6)\left(z^2 +8z + 17\right)$. \item Utiliser les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} pour résoudre sans calcul supplémentaire l'équation suivante dans $\C$ : \[z^3+2z^2 - 31z - 102 = 0.\] \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et B$'$ d'affixes respectives :\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}} $6$& , &$-4 + \text{i}$& et & $- 4 - \text{i}$\\ \end{tabularx} \medskip \item Pourquoi a-t-on OB = OB$'$ ? \item Mettre sous forme algébrique $\dfrac{-4 + \text{i}}{- 4 - \text{i}}$. \item Quel est le module de $\dfrac{-4 + \text{i}}{- 4 - \text{i}}$ ?\\ Déterminer à l'aide de la calculatrice, un argument de $\dfrac{-4 + \text{i}}{- 4 - \text{i}}$ (on donnera l'arrondi à $10^{-2}$ près). \item Déduire des questions \text{b.} et \text{d.}, les mesures en degrés des angles du triangle ODB$'$. (On donnera les arrondis a l'unité). \end{enumerate} \item Soit $\Omega$ le point d'affixe $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$. \begin{enumerate} \item Construire les points C et D, symétriques des points A et B par rapport à $\Omega$. \item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $1$~cm. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par \[g(x) = x^3 + x^2 + x + 1.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $g(- 1)$ ; déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que \[g(x) = (x+1)\left(x^2 + ax + b\right).\] \item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $g(x) \geqslant 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \left(x^3 - 2x^2 + 5x - 4\right)\text{e}^x.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le limite de $f$ en $+ \infty$ : on remarquera que, pour $x \neq 0$ : \[f(x) = x^3\left(1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{4}{x^3}\right)\text{e}^x.\] \item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ On admettra que, pour $n$ entier naturel : \[\lim_{x \to 0} x^n\text{e}^x = 0.\] En déduire l'existence d'une asymptote à $\mathcal{C}$. \item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$. Vérifier que $f'(x) = g(x)\text{e}^x$. \item Étudier les variations de $f$ à l'aide de la partie A puis dresser le tableau de variations de $f$ où figurera la valeur exacte du minimum de $f$. \item Recopier et compléter le tableau suivant à l'aide de la calculatrice en donnant les arrondis de $f(x)$ à $10^{-1}$ près. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$-10$ &$-5$ &$-4$ &$-3$ &$-2$ &$-1$ &0 &0,5 &1 &1,5 &2\\ \hline $f(x)$& & & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Calculer $f'(1)$ ; en donner l'arrondi à $10^{-1}$ près : puis tracer la tangente (T) à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. \item Tracer $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par \[F(x) = \left(x^3 - 5x + 15x - 19\right)\text{e}^x.\] \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. \item Déterminer en cm$^2 $ l'aire de la portion de plan limitée par $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $y = 0$. En donner l'arrondi à $10^{-1}$ près. \end{enumerate}\end{document}