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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique,  optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STI Métropole 23 juin 2008~\decofourright\\[5pt] Génie électrotechnique, optique}}

\vspace{0,5cm}

Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète on non fructueuse, qu'il aura développée.

Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées en même temps que le sujet.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :

\[z^2 + 6z\sqrt{3} + 36 = 0.\]

\item On considère les points A, B et C d'affixes respectives :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$z_{\text{A}} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}$&$z_{\text{B}} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}$	 & et	$z_{\text{C}}= -6\sqrt{3}$.\\
\end{tabularx}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $- \pi$ et $\pi$.
		\item  Placer les points A, B, C dans le plan muni du repère \Ouv.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature du triangle ABC.
		\item En déduire que le quadrilatère OACB est un losange.
 	\end{enumerate}
\item On appelle K le point du plan complexe d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O.

On note $z_{\text{K}}$ l'affixe du point K.
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point K sur la figure.
		\item Par quelle rotation de centre O, le point K est-il l'image du point A ?
		\item Écrire alors $z_{\text{K}}$, sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ (où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un réel compris entre $-\pi$ et $\pi$) puis sous forme algébrique.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

On considère l'équation différentielle :

\[(\text{E})  : \quad y'' + 25y = 0\]

où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E).
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$, dont on note $f'$ la fonction dérivée, vérifiant les trois conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $f$ est solution de l'équation différentielle (E) ;
\item[$\bullet~$] la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan passe par le point de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{6}~;~-2\right)$ ;
\item[$\bullet~$] $f'(0) = - 5$.
\end{itemize}
Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) =\sqrt{3}\cos 5x - \sin 5x$.
\item Vérifier que, pour tout réel $x,~ f(x) = 2 \cos \left(5x + \dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle sur $\left[0~  ;~\dfrac{\pi}{6}\right]$.
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points}

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 4~cm en abscisse et 2~cm en ordonnée.

On s'intéresse dans ce problème à la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par
 
\[f(x) = \dfrac{3}{\text{e}^{3x} +  1}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A :  étude de la fonction}\boldmath  $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item  En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.
		\item  Déterminer le signe de $f(x)$ pour tout nombre réel $x$ ; qu'en déduit-on sur la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à cette asymptote ?
	\end{enumerate}
\item On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 3$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
		\item  En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite $\mathcal{D}$ comme asymptote.
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = 3 - \dfrac{3\text{e}^{3x}}{\text{e}^{3x} +  1}$.
		\item  En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
 	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f' (x) = \dfrac{- 9\text{e}^{3x}}{\left(\text{e}^{3x} +  1\right)^2}$.
		\item   En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$, puis dresser son tableau de variations.
 	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ au point d'abscisse $0$.
\item Dans le plan muni du repère \Oij{} tracer les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ ainsi que la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B : Calcul de l'aire d'une partie du plan}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 
		
		\[g(x) = \dfrac{3\text{e}^{3x}}{\text{e}^{3x} + 1}.\]
		
Déterminer une primitive $G$ de la fonction $g$ sur $\R$. (On pourra remarquer que la fonction $g$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ où $u$ est une fonction que l'on précisera).
		\item  En utilisant la question 2. c. de la partie A, déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
 	\end{enumerate}
\item Soit $a$ un réel strictement positif.

On note $\mathcal{A}(a)$ la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan  comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = a$.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $\mathcal{A}(a)$ à l'aide d'une intégrale.
		\item Établir que $\mathcal{A}(a) = 3a - \ln \left(\text{e}^{3a} + 1\right) + \ln 2$.
		\item  En remarquant que $3a = \ln \left(\text{e}^{3a}\right)$, écrire $\mathcal{A}(a)$ sous la forme du logarithme népérien d'un quotient ; déterminer alors la limite de $\mathcal{A}(a)$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$.
		
\emph{Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même incomplète, figurant sur la copie sera prise en compte dans l'évaluation.}
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}