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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique}
\lfoot{\small Nouvelle--Calédonie }
\rfoot{\small{novembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie novembre 2002~\decofourright\\[5pt] Génie des matériaux, mécanique A et F}
\end{center} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill	5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, l'unité graphique étant le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
 
\[(z - 11 \text{i})\left(z^2 - 16 z + 89\right) = 0.\]

\item On donne les points A, B et C d'affixes  respectives $z_{\text{A}} = 8 - 5 \text{i},\: z_{\text{B}} = 8 + 5$i  et $z_{\text{C}} = 11$i. 
	\begin{enumerate} 
		\item Placer A, B et C. La figure sera complétée au fur et à mesure des	questions.	
		\item Calculer $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right|$ et interpréter	géométriquement le résultat obtenu.	
		\item Démontrer que ABC est un triangle isocèle.
	\end{enumerate}
\item D est le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 2$ et  B$'$ le milieu du segment [AC]. 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer l'affixe du point B$'$.	
		\item Calculer les affixes des vecteurs 	$\vect{\text{DB}}$	et $\vect{\text{DB}'}$.	
		\item En déduire que les points D, B et B$'$ sont alignés.	
		\item En déduire que (DB) est la médiatrice du segment [AC].
	\end{enumerate}
\item Justifier que la droite (DO) est une médiatrice du triangle ABC.
\item Quel est le centre du cercle passant par A, B et C ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Lors de la \og foire aux affaires \fg{}, dans un magasin de bricolage, un client s'intéresse à une meuleuse d'angle et à une scie sauteuse. On admet, pour ce client, les  hypothèses suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  La probabilité qu'il achète la meuleuse d'angle est $0,60$.
\item  La probabilité qu'il achète la scie sauteuse est $0,46$.
\item  La probabilité qu'il achète la meuleuse d'angle ou la scie sauteuse est $0,64$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
	
On désigne par $M$ l'évènement \og le client achète la meuleuse d'angle \fg{} et par $S$ l'évènement \og le client achète la scie sauteuse \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelques calculs préliminaires :
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og le client n'achète pas la meuleuse d'angle \fg.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement \og le client achète la meuleuse d'angle et la scie sauteuse \fg{} est $0,42$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement 
$\overline{M} \cap S$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\renewcommand\arraystretch{1.5} 
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|} }\hline
		&$M$	&$\overline{M}$& \\ \hline
$S$		& 	0,42		& 		& 	0,46\\ \hline
$\overline{S}$	&		&	& \\ \hline
		& 0,60 		&  	& 	1\\\hline
\end{tabularx}\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\item La meuleuse d'angle coûte $12,96$~\euro{} et la scie 
sauteuse $15,09$~\euro. On désigne par $D$ la variable aléatoire égale à la dépense, en euros, du client.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les différentes valeurs de la variable aléatoire $D$.	
		\item Établir la loi de probabilité de $D$.	
		\item Calculer l'espérance mathématique de $D$. On en donnera l'arrondi au centime d'euro.	
		\item Quel chiffre d'affaires le magasin peut-il espérer réaliser si 50~clients, intéressés par ces deux appareils, se présentent pendant 
cette \og foire aux affaires \fg{} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Première partie :}

\medskip

Soit $p$ la fonction polynôme définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[p(X) = 3 X^3  - 7 X^2 + 4.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que pour tout nombre réel $X,~ p(X) = (X- 1)\left(3X^2 - 4X - 4\right)$.
 \item Factorisation de $p$ : 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $3X^3 - 7 X ^2 + 4 = 0$.
		\item En déduire une écriture de $p(X)$ sous la forme d'un produit de trois polynômes du premier degré.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout nombre réel   
 $x$,
 
\[ 3\text{e}^{3x} - 7\text{e}^2 + 4  = \left(\text{e}^x - 1\right)\left(\text{e}^x - 2\right)\left(3\text{e}^x + 2\right).\]

		\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ l'équation 
$3\text{e}^{3x}x - 7\text{e}^{2x}x + 4 = 0$.
		\item Étudier le signe de $3\text{e}^{3x} - 7\text{e}^{2x} + 4$ 
pour $x$ appartenant à l'ensemble $\R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie :}

\medskip

On considère l'équation différentielle $E~ :~y'+ 2 y = 0$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation $E$~;
\item Déterminer la solution particulière $f$ de  l'équation $E$ vérifiant $f(\ln 2) = 1$, ou $\ln$ représente la fonction logarithme népérien.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie :}

\medskip

On appelle $f$ et $g$ les fonctions respectivement définies sur l'ensemble $\R$ par :
	
\[f(x) = 4\text{e}^{-2x}\quad  \text{et} \quad g(x) = 7 - 
3\text{e}^x.\]

On appelle $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère orthogonal  \Oij.  Unités graphiques : $6$~cm en abscisses et $2$~cm en ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Limites et asymptotes
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les limites de $f$ et de $g$ en $- \infty$  et 	en $+ \infty$.	
		\item En déduire pour chacune des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$, l'existence d'une droite asymptote nommée D pour la courbe $\mathcal{C}$ et D$'$ pour la courbe $\mathcal{C'}$. Donner une équation pour chacune de ces droites.
	\end{enumerate}
\item Variations
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de $f$ et de $g$ sur $\R$.	
		\item Dresser les tableaux de variation de $f$ et $g$.
	\end{enumerate}
\item Positions respectives de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{C'}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x,$
    
\[f(x) - g(x) = \text{e}^{-2x}\left(3\text{e}^{3x} - 7\text{e}^{2x} + 4\right).\]

		\item En déduire les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{C'}$.
		\item Justifier que sur l'intervalle $[0~;~\ln 2]$, $\mathcal{C}$ est en dessous de $\mathcal{C'}$.
	\end{enumerate}
\item Construire D, D$'$,~ $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ dans le repère orthogonal $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}~;~\vect{\jmath}\right)$ dont on rappelle que les unités graphiques sont $6$~cm en abscisses et $2$~cm en ordonnées.
\item On désigne par $\mathcal{P}$ le domaine plan limité par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer $\mathcal{P}$.
		\item Calculer la valeur exacte, en cm$^2$ , de l'aire de $\mathcal{P}$. En donner l'arrondi au mm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}