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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie , des matériaux}%
\lfoot{\small{ Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole  juin 2002 ~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, génie des matériaux}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$, par :

\[ f(x) = 4x^3 - 8x^2 - x + 2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $2$ est une solution de l'équation $f(x) = 0$.
		\item Déterminer trois réels $a,~ b$ et $c$ tels que pour tout $x$ de $\R$ :

		\[f(x) = (x - 2)\left(ax^2 + bx + c\right).\]
		
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats de la question 1., résoudre dans	$\R$	chacune des équations suivantes
	\begin{enumerate}
		\item $4\ln ^3 x - 8\ln ^2x - \ln x + 2 = 0$ ;
		\item $4\text{e}^{2x} - 8\text{e}^{x} - 1 + \dfrac{2}{\text{e}^{x}}	= 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument  $\dfrac{\pi}{2}$.\\
On considère les trois nombres complexes :

\[z_{1} = 2\sqrt{3}\left(\cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{6}\right) \quad ;\quad  z_{2} = 4\quad ;\quad  z_{3} = 2\left(1 + 4\text{e}^{4\text{i}\frac{\pi}{3}}\right).\]

On appelle M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ leurs images respectives dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : $1$~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $z_{1}$ et de $z_{3}$.
\item Placer les points M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ et dans le plan $\mathcal{P}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer sous forme trigonométrique les nombres complexes :

\[z_{1} - 2\quad ;\quad z_{2} - 2\quad ;\quad z_{3} - 2.\]

		\item En déduire que les trois points M$_{1}$,~ M$_{2}$ et M$_{3}$ sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que le triangle M$_{1}$M$_{2}$M$_{3}$ est rectangle. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le but de ce problème est l'étude de la conception, des caractéristiques et de la commercialisation d'une bobine de fil.

\medskip

\textbf{Partie A - Détermination d'une fonction \boldmath $f$ \unboldmath nécessaire à la conception d'une bobine}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~4],  par 

\[f(x) = ax^2 + bx + c.\]

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{}(unité graphique : $1$~cm).
 
On impose les conditions suivantes \begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $f(0) = 2$ ;
\item[$\bullet~$] $f(2) = 1$ ;
\item[$\bullet~$] La courbe $\mathcal{C}$ admet en son point d'abscisse 2 une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a,\: b$ et $c$ pour que les trois conditions précédentes soient remplies et en déduire que pour tout $x$ de  l'intervalle $[0~;~4],\: f(x) = \dfrac{1}{4}x^2 - x + 2$.
\item Montrer que la fonction admet sur [0~;~4]  un minimum que l'on précisera.
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B} - Conception et étude des caractéristiques de la bobine

\medskip

Soit $\Delta$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x =  4$.

La rotation de la partie $\Delta$ autour de l'axe des abscisses engendre un solide (B).

Ce solide est la bobine ci-dessous dessinée, à gauche (fig. 1)
 
\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\pscurve(0.5,0.05)(0.4,0.15)(0.2,0.6)(0.1,1.25)(0.09,1.8)(0.15,2.4)(0.28,3)(0.5,3.55)(0.7,3.86)(0.9,3.98)%ellipse pleine à gauche
\rput{-5}(0.8,2){\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(0.7,2)}
\rput{-5}(4.1,2){\psellipse(0,0)(0.7,2)}
\pscurve(5.9,0.05)(5.8,0.08)(5.6,0.3)(5.5,0.6)(5.45,0.8)(5.4,1.4)(5.5,2.6)(5.6,3)(5.7,3.3)(5.8,3.58)(6,3.85)(6.25,3.96)%ellipse pleine à droite
\rput{-5}(9.8,2){\psellipse(0,0)(0.7,2)}
\pscurve(0.65,0.02)(1,0.1)(1.5,0.3)(2,0.6)(2.5,0.7)(3,0.62)(3.5,0.3)(3.75,0.1)
\pscurve(1.1,3.95)(1.5,3.7)(2,3.35)(2.5,3.2)(3,3.3)(3.5,3.58)(4,3.87)
\rput{-5}(6.1,2){\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(0.7,2)}
\rput(5.7,0){\pscurve[linestyle=dashed](0.65,0.02)(1,0.1)(1.5,0.3)(2,0.6)(2.5,0.7)(3,0.62)(3.5,0.3)(3.75,0.1)}
\rput(5.55,0){\pscurve[linestyle=dashed](1.1,3.95)(1.5,3.7)(2,3.35)(2.5,3.2)(3,3.3)(3.5,3.58)(4,3.87)}
\psline(6,0)(9.6,0) \psline(6.25,3.98)(9.95,3.98)
\rput(2,-0.5){fig. 1: bobine sans fil} \rput(8,-0.5){fig. 2 : bobine avec fil}
\end{pspicture}
 
\bigskip
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie $\Delta$ sur le graphique.
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de $\R$ :

\[[f(x)]^2 = \dfrac{1}{16}x^4 - \dfrac{1}{2} x^3 +2x^2 - 4x + 4.\]

		\item En déduire la valeur exacte en cm$^3$ du volume V$_{1}$ de la bobine sans fil. 	(On rappelle que :

\[\text{V}_{1} = \pi\displaystyle\int_{0}^4 [f(x)]^2\, \text{d}x.\]

	\end{enumerate}
\item Lorsque le fil est placé sur la bobine, l'ensemble \og bobine avec fil \fg{} 	est assimilé à un cylindre (voir fig. 2).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte, en cm$^3$, du volume V$_{2}$ de ce cylindre.
		\item En déduire la valeur exacte, en cm$^3$ du volume V occupé par le 	fil sur la bobine.
	\end{enumerate}
\item Le fabricant affirme que la bobine ainsi constituée contient $200$~m de fil cylindrique de diamètre $0,4$~mm.\\
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C} - Commercialisation des bobines

\medskip

À l'issue de la fabrication, une bobine de fil peut présenter $0,\: 1,\: 2$ ou $3$ défauts ;

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 90\,\% des bobines de fil ont $0$ défaut ;
\item[$\bullet~$] 5\,\% des bobines de fil ont $1$ défaut ;
\item[$\bullet~$] 3\,\% des bobines de fil ont $2$ défauts ;
\item[$\bullet~$] 2\,\% des bobines de fil ont $3$ défauts.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard une bobine de fil. Calculer la probabilité qu'elle présente au plus un défaut.
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bobine de fil choisie au hasard, associe le nombre de ses défauts.
	\begin{enumerate}
		\item Définir à l'aide d'un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) et donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$. 
	\end{enumerate}
\item Le prix de vente d'une bobine de fil dépend du nombre de défauts qu'elle présente comme l'indique le tableau suivant :

\medskip

\[\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{Nombre de défauts}	&0	&1	&2	&  3\\ \hline
\text{Prix (en euros)}					&	5	&3	&2	&	1\\ \hline
\end{tabularx}\]

\medskip
Soit $Y$ la variable aléatoire qui à chaque bobine de fil choisie au hasard associe son prix,
	\begin{enumerate}
		\item Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($Y$) de $Y$. Que représente E($Y$) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}