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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
\textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués~\decofourright\\Métropole--La Réunion 21 juin 2011}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les 32 employés d'une entreprise se répartissent de la façon suivante: 18 ouvriers, 6 cadres et 8 techniciens.
 
14 employés ont plus de 40 ans. Parmi les techniciens, 3 ont plus de 40 ans.
 
On interroge au hasard un technicien. La probabilité qu'il ait moins de 40 ans est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}$\dfrac{5}{8}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{3}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{5}{32}$\\ 
\end{tabularx}

\medskip 
	 		 		 
\item On interroge au hasard un employé de l'entreprise considérée à la question 1. La probabilité que ce ne soit ni un technicien, ni une personne de plus de quarante ans est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}$\dfrac{3}{8}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{22}{32}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{13}{32}$\\  
\end{tabularx}

\medskip  

  
\parbox{0.62\linewidth}{Dans les questions 3. et 4., on considère l'ellipse (E) représentée ci-contre dans le plan rapporté au repère 
orthonormal \Oij.} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.4cm}\begin{pspicture}(-5.5,-3.5)(5.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5.5,-3.5)(5.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-5,-3)(5,3)
\uput[d](5.5,0){$x$}\uput[l](0,3.5){$y$}\uput[dr](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}  \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psellipse(0,0)(5,3)
\end{pspicture}}
 

\item L'ellipse (E) a pour équation:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~}$25x^2 +9y^2 = 1$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$&\textbf{c.~~} $\dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{3} = 1$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Un des foyers de l'ellipse (E) a pour coordonnées:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}(4~;~0)&\textbf{b.~~} (2~;~0) &\textbf{c.~~} (0~;~4) \\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Soit $S$ l'ensemble des solutions dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation $\ln x = - 2$, alors: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $S = 0$&\textbf{b.~~} $S = \{- 2\}$ &\textbf{c.~~} $S = \left\{\dfrac{1}{\text{e}^2}\right\}$ \\ 
\end{tabularx}

\medskip 

\item  L'équation $0,5 \text{e}^x = 4$ a pour solution :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\ln 8$&\textbf{b.~~} $2\ln 4$ &\textbf{c.~~} $\text{e}^8$ \\  
\end{tabularx}

\medskip  

\item  Une primitive de la fonction $h :\quad  x \longmapsto x^2 + 2$ définie sur $\R$ est la fonction $H$ définie sur $\R$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $H(x) = 2x $&\textbf{b.~~} $\dfrac{x^3}{3} + 2x + 1$ &\textbf{c.~~} $x^3 + 2x$ \\ 
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 2x + 1 + \dfrac{1}{x}$. Sa courbe représentative dans un repère du plan admet pour asymptote en $+ \infty$, la droite d'équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $x = 1$&\textbf{b.~~} $y = 0$ &\textbf{c.~~} $y = 2x + 1$ \\ 
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
La courbe $(\mathcal{C})$ donnée en annexe (à rendre avec la copie) est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~3] dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O et d'unité graphique 5~cm. 

On suppose que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~3] et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.
 
Les données sont les suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[(1)] : La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points A, B et D d'abscisses respectives 1, 2 et 3. Les points A, A$'$, B$'$ et D$'$ ont des coordonnées entières. 
\item[(2)] : La droite (BE), parallèle à l'axe des abscisses, est tangente en B à la courbe $(\mathcal{C})$. 
\item[(3)] : La droite (AB$'$) est tangente en A à la courbe $(\mathcal{C})$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\vspace{0,5cm}
 
On répondra aux questions ci-dessous par une lecture graphique. De ce fait, certains résultats seront arrondis au dixième.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(1),\,f(2)$ et $f(3)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB$'$). 
		\item Déterminer $f'(1)$ et $f'(2)$.
	\end{enumerate}		 
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ et préciser le signe de sa dérivée $f'$. 
\item Déterminer l'aire du triangle AA$'$B$'$ en unités d'aires.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. 
Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~3] par $f(x) = x - 2 \ln x$ ($\ln$ désigne la fonction logarithme népérien) satisfait au données (2) et (3) de la partie 1.

\medskip
 
On suppose désormais que la fonction $f$ représentée en annexe est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~3] par : $f(x) = x - 2\ln x$.

\medskip
 
 \item  Soit $F$ la fonction définie sur [1~;~3] par : $F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2x -2x\ln x$. Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [1~;~3]. 
\item  On pose $I = \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$. Calculer la valeur exacte de $I$ et en donner une interprétation graphique. 
\item  Soit $(\mathcal{P})$ la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, la droite (AB$'$) et la droite (DD$'$). 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $(\mathcal{P})$ et calculer son aire en unités d'aire. 
		\item Le domaine $(\mathcal{P})$ représente la maquette à l'échelle $\dfrac{1}{3}$ du logo d'une société. Calculer l'aire en cm$^2$ de ce logo, arrondie à l'unité.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à l'exercice 2 - À joindre à la copie} 

\vspace{2cm}

\psset{unit=3.6cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(3.3,1.7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(3.3,1.7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,gridwidth=0.5pt,subgridwidth=0.25pt,subgridcolor=orange](-0.2,-0.2)(3.3,1.7)
\psline(1,1)(2,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,0.8)(3,0.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,0.6)(2,0.6)
\uput[ur](1,1){A} \uput[ur](2,0.6){B} \uput[ur](3,0.8){D} 
\uput[ul](0,0.6){E} \uput[ur](1,0){A$'$} \uput[ur](2,0){B$'$} \uput[ur](3,0){D$'$} 
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x x ln 2 mul sub}
\uput[d](2.6,0.7){$(\mathcal{C})$}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](3.2,0){$x$}\uput[r ](0,1.6){$y$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,1)(2,0.6)(3,0.8)(0,0.6)(1,0)(2,0)(3,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}