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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft ~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole  \decofourright\\
septembre 2011}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 + 2x - 3$ et $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère du plan. Alors, un des points d'intersection de $\Gamma$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} (2~;~0) &\textbf{b.~~} $(- 3~;~0)$ &\textbf{c.~~} (0~;~- 3).
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x) = \dfrac{x^3}{6} + 3x^2 + x$.
 
On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Alors $g^{\prime}$ est définie sur $\R$ par : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $g^{\prime}(x) = 3x^2 + 2x + 1$& \textbf{b.~~} $g^{\prime}(x) = \dfrac{3x^2}{2} +6x + 1$&\textbf{c.~~}  $g^{\prime}(x) = \dfrac{x^2}{2} + 6x + 1 $\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle I $= [ 1~;~+ \infty[$ par : $h(x) = \dfrac{7}{2x + 1}$. 

Une primitive sur I de la fonction $h$ est la fonction $H$ définie sur I par : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $H(x) = \dfrac{7x}{x^2 + x}$&\textbf{b.~~} $H(X) = \dfrac{- 14}{(2x + 1)^2}$&\textbf{c.~~}  $H(x)= \dfrac{7}{2}\ln (2x + 1) + 8$.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item L'équation $\text{e}^{x + 3} = 5$ a pour solution réelle :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $\ln 2$&\textbf{b.~~} $\ln 5 - 3$&\textbf{c.~~} $\dfrac{\text{e}^5}{3}$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\textbf{Dans les questions 5 et 6}, on considère la conique C d'équation cartésienne $4x^2 + 9y^2 = 36$ dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

 
\item La conique C est une
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} parabole& \textbf{b.~~} ellipse &\textbf{c.~~} hyperbole.
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item Un des foyers de la conique est le point de coordonnées : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $\left(\sqrt{5}~;~0\right)$&\textbf{b.~~} $\left(0~;~\sqrt{5}\right)$& 
\textbf{c.~~} $\left(\sqrt{13}~;~0\right)$. \\
\end{tabularx}
\medskip 

\item Dans une classe de terminale de 30 élèves, 16 suivent une option cinéma-audio-visuel, 12 suivent une option arts plastiques et 8 suivent ces deux options. On choisit un élève au hasard dans cette classe. La probabilité de l'évènement \og l'élève suit au moins une de ces deux  options \fg{} est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} $\dfrac{4}{15}$ &\textbf{b.~~}$\dfrac{10}{15}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{14}{15}$\\
\end{tabularx}
\medskip  
  
\item On lance deux fois de suite un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros apparaissant sur la face supérieure. Sachant que cette somme est 6, 
la probabilité que les deux numéros soient égaux est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{5}$ &$\dfrac{1}{3}$& $\dfrac{1}{2}$\\
\end{tabularx}
\medskip  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~3] par 

\[g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x + \dfrac{5}{2}\] 
 
La courbe représentative de cette fonction est une partie P de la parabole représentée en annexe dans un repère orthogonal du plan. Unités graphiques : 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive G de la fonction g sur l'intervalle [0, 3]. 
\item Calculer l'intégrale $I =  \displaystyle\int_{0}^3   g(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [3~;~6] par 

\[h(x) = 3 \ln x - 3\ln 3 + 1\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le même repère que celui de la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $h^{\prime}$ la dérivée de la fonction $h$. Vérifier que : 
		
Pour tout réel $x$ de l'intervalle [3~;~6], $h^{\prime}(x) = \dfrac{3}{x}$. 
		\item Quel est le sens de variation de $h$ sur l'intervalle [3, 6] ? 
		\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse 3.
		 
On admettra que T est également tangente à la courbe P au même point.
	\end{enumerate} 
\item Compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&3&3,5&4&4,5&5&5,5&6\\ \hline
$h(x)$&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Tracer la courbe $\Gamma$ et la droite T dans le repère joint en annexe.
\item Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle [3~;~6] par 

\[H (x) = 3x \ln x - (3\ln 3 + 2)x. \]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle [3~;~6]. 
		\item On appelle $J$ l'aire (en unités d'aires) de la partie du plan limitée par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 3$ et $x = 6$. Déterminer la valeur arrondie de $J$ au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle C la réunion des courbes P et $\Gamma$.
 
Construire sur le graphique la courbe C$'$ symétrique de C par rapport à l'axe des abscisses. 
\item On veut connaître l'aire d'un logo dont le contour est formé par C, C$'$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 6$. 

Justifier que l'aire de ce logo est égale, en cm$^2$, à $4(I + J)$. En donner la valeur arrondie à l'unité.
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}

{\large \textbf{Annexe à l'exercice 2 }}

\textbf{(à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-4)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-4)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.5,-4)(7,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridwidth=0.3pt,subgridcolor=orange](-1.5,-4)(7,7)
\uput[u](2,0.5){P}\uput[d](7.2,0){$x$}\uput[l](0,6.7){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{3}{x dup mul 0.5 mul 2 x mul sub 2.5 add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-1.5}{0}{x dup mul 0.5 mul 2 x mul sub 2.5 add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{3}{5.5}{x dup mul 0.5 mul 2 x mul sub 2.5 add}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{document}