\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage UTF8 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{color}
%%%%%%Tapuscrit Denis Vergès 
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
%\pagestyle{fancy}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI mars
 2011 ~\decofourright\\Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil\\Nouvelle-Calédonie}}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm.
%
%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item %Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation 

%\[(\text{E}) : \quad  z^3 - 2\left( 1 + \sqrt{3}\right)z^2 + 4\left(1 + \sqrt{3}\right)z - 8 = 0.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que le nombre 2 est une solution de l'équation (E).
On a  $2^3 - 2\left( 1 + \sqrt{3}\right)2^2 + 4\left(1 + \sqrt{3}\right)\times 2 - 8 = 8 - 8 - 8\sqrt{3} + 8 + 8\sqrt{3} - 8 = 0$, ce qui montre que 2 est une solution de l'équation (E).
		\item %En déduire qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$, que l'on déterminera, tels que l'équation (E) soit équivalente à l'équation : 
		
%$(z - 2)\left(z^2 + \alpha z+ \beta \right) = 0$.
L'équation (E) est du troisième degré ; comme 2 est solution le polynôme du troisième degré est le produit de $z - 2$ par un trinôme du second degré dont le terme de degré 2 est $z^2$ ; il existe donc deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que l'équation s'écrive :

$(z - 2)\left(z^2 + \alpha z+ \beta \right) = 0$.

En développant cette écriture :

(E) $\iff z^3 + \alpha z^2 + \beta z - 2z^2 - 2\alpha z - 2\beta = 0 \iff z^3 + (\alpha - 2)z^2 + (\beta - 2\alpha)z - 2\beta = 0$ et en l'identifiant avec l'énoncé on obtient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
\alpha - 2&=&-2 - 2\sqrt{3}\\
\beta - 2\alpha&=&4 + 4\sqrt{3}\\
- 2\beta = - 8
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\alpha &=& - 2\sqrt{3}\\
\beta - 2\alpha&=&4 + 4\sqrt{3}\\
\beta = 4
\end{array}\right.$, la seconde égalité étant vraie.

On a donc (E) $(z - 2)\left(z^2 - 2\sqrt{3}z + 4  \right) = 0$. 
		\item %Résoudre l'équation $z^2 + \alpha z + \beta = 0$, puis déterminer le module et un argument de chacune de ses solutions.
Équation du second degré : $z^2 - 2\sqrt{3}z + 4  = 0$ :

$\Delta = \left(2\sqrt{3} \right)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 12 - 16 = - 4 = (2\text{i})^2 < 0$.

Cette équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[z_{1} = \dfrac{2\sqrt{3} + 2\text{i}}{2} = \sqrt{3} + \text{i}\quad \text{et}\quad z_{2} = \sqrt{3} - \text{i}.\]

On a $\left|z_{1} \right|^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{1} \right| = 2$.

D'o\`u $z_{1} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right)$.

Or $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, donc un argument de $z_{1}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.

Comme $z_{2} = \overline{z_{1}}$, on a $\left|z_{2} \right| = 2$ et un argument de $z_{2}$ est $- \dfrac{\pi}{6}.$
	\end{enumerate} 

\medskip

%On désigne par A et B les points du plan complexe d'affixes respectives :
%
%$a = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$  et $b = 2$.
% 
%On désigne par C le milieu du segment [AB], et on note $c$ l'affixe du point C.
 
\item %On se propose dans cette question de déterminer la valeur exacte de $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B, C dans le repère \Ouv{} et démontrer que le triangle OAB est isocèle.
		On place A grâce au cercle de centre O de rayon 2 et de la droite d'équation $y = 1$ qui coupe le cercle en un point d'ordonnée positive A. Voir la figure à la fin.
		
$z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ ont pour module 2, donc OA = OB = 2 : le triangle OAB est isocèle en O.		 
		\item %Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{OB}}~;~\vect{\text{OC}}\right)$.
OAB est isocèle en O et C est le milieu de la base [AB] donc le pied de la hauteur et de la bissectrice issues de O. Comme $\left(\vect{\text{OB}}~;~\vect{\text{OA}}\right) = \frac{\pi}{6}$, on a $\left(\vect{\text{OB}}~;~\vect{\text{OC}}\right) = \frac{\pi}{12}$.		 
		\item %Déterminer l'écriture algébrique du nombre complexe $c$.
Comme C est le milieu de [AB] :

$c = \dfrac{z_{\text{A}} + z_{\text{B}}}{2} =  {\dfrac{z_1} + z_{\text{B}}}{2} = \dfrac{\sqrt{3} + \text{i} + 2}{2} = \dfrac{\sqrt{3} + 2}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}$. 
		\item %Calculer le module de $c$ et démontrer que $|c| = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.
On a $|c|^2 = \left(\dfrac{\sqrt{3} + 2}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{3 + 4 + 4\sqrt{3} + 1}{4} = \dfrac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$, donc 
		
		\[|c| = \sqrt{2 + \sqrt{3}}.\]
Calculons $\left(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \right)^2  = \dfrac{6 + 2 2\sqrt{12}}{4} = \dfrac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3} = |c|^2$.

Donc $|c| = \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.
		\item %Démontrer que $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$.
Le module $c$ est  $\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ et un de ses arguments est $\dfrac{\pi}{12}$ ; on peut donc écrire :

$c = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\text{e}{\text{i}\frac{\pi}{12}} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{\pi}{12} + \text{i}\sin \frac{\pi}{12} \right) = \dfrac{\sqrt{3} + 2}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}$.

Donc en identifiant les parties imaginaires :

$\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{1}{2} \iff \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\pscircle(0,0){2}
\psline[linestyle=dashed](0,1)(2,1)
\uput[ur](2;30){A}\uput[ur](2;0){B}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](1.9;15){C}
\psline(2;30)(2;0)\psline[linestyle=dashed](2;15)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip
 
%On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par : 
%
%\[f(x) = \cos x + 2 \sin x.\]
%
%\parbox{0.45\linewidth}{La courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-contre, dans un repère orthogonal \Oij.
% 
%On note $\mathcal{D}$ le domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d' équations $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$. 
% 
%Le but de cet exercice est de déterminer la mesure $\mathcal{V}$, exprimée 
%en unité de volume, du volume engendré par la rotation de $\mathcal{D}$ 
%autour de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.} \hfill
%\parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=3.2cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(1.57,2.3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.5](0,0)(1.57,2.3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.04,Dy=0.1,labels=none](0,0)(1.57,2.3)
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{1.57}{x 180 mul 3.14159 div cos x 180 mul 3.14159 div sin 2 mul add}
%\uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$}
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.57,0)(1.57,2)
%\end{pspicture}
%}
%
%\bigskip

\begin{enumerate}
\item %Calcul de deux intégrales 
 
%On note $I$ et $J$ les deux intégrales : $I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %En simplifiant l'écriture de $I + J$, démontrer que $I + J = \dfrac{\pi}{2}$.
$I + J =  \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x\:\text{d}x +  \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos ^2 x + \sin ^2 x\right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1\:\text{d}x = \left[x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{\pi}{2}$.
		\item %Démontrer de même que $I - J = 0$.
$I - J =  \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x\:\text{d}x -  \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos ^2 x - \sin ^2 x\right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}\sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{2} \sin \pi - \dfrac{1}{2} \sin 0 = 0 - 0 = 0$.
		\item %Déduire des questions a. et b. les valeurs de $I$ et $J$.
En ajoutant membres à membres les deux égalités précédentes : $2I = \dfrac{\pi}{2} \iff I = \dfrac{\pi}{4}$ d'o\`u $J = I = \dfrac{\pi}{4}$. 
	\end{enumerate} 
\item %On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ cherché est donné par la formule: $\mathcal{V} = \pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f^2 (x)\: \text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $f^2(x) = \cos ^2 x + 2 \sin 2x + 4 \sin ^2 x$.
$f^2(x) =  (\cos x + 2\sin x)^2 = \cos^2 x + 4\sin ^2 x + 4\sin x \cos x =$

$\cos^2 x + 4\sin ^2 x + 2\sin 2x$.
		\item %Déduire des questions précédentes, la valeur exacte de $\mathcal{V}$.
On a donc :

$\mathcal{V} = \pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f^2 (x)\: \text{d}x = \pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[\cos^2 x + 4\sin ^2 x + 2\sin 2x \right]\: \text{d}x =$

$\pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x \: \text{d}x +
 4\pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^2 x \: \text{d}x + 2\pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x  \: \text{d}x = $
 
$\pi I + 4\pi J + \pi [-\cos 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 5\pi I + \pi(1 - \cos \pi) = 5\pi I + 2\pi = \pi(5I + 2) = \pi\left(\frac{5\pi}{4} + 2\right) =$

$\mathcal{V} =  \dfrac{\pi(5\pi + 8)}{4}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une équation différentielle}

\medskip
 
%On considère l'équation différentielle (E) :\quad $ y'- y = - \text{e}^x$. 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle : $y'-y = 0$.
On sait que les solutions de l'équation sont les fonctions définies sur $\R$ par $f(x) = K\text{e}^{x},\, K \in \R$. 
\item %Vérifier que toute fonction $u$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $u(x) = - x\text{e}^x + C\text{e}^x$, où $C$ est une constante, est une solution de l'équation différentielle (E).
$u$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x) = - \text{e}^x - x\text{e}^x + C\text{e}^x$.

Donc $u'(x) - u(x) = - \text{e}^x - x\text{e}^x + C\text{e}^x - \left(- x\text{e}^x + C\text{e}^x\right) = - \text{e}^x - x\text{e}^x + C\text{e}^x + x\text{e}^x - C\text{e}^x = - \text{e}^x$, ce qui montre que les fonctions $u$ sont solutions de l'équation différentielle (E).

\item %Parmi ces solutions, déterminer celle qui vérifie la condition initiale : $u(0) = 2$.
$u(x) = - x\text{e}^x + C\text{e}^x$ et $u(0) = 2$ entra\^{\i}ne $- 0\text{e}^0 + C\text{e}^0 = 2 \iff C = 2$.

La fonction définie sur $\R$ par $u(x) = - x\text{e}^x + 2\text{e}^x = (2 - x)\text{e}^x$ est solution de (E) et vérifie $u(0) = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
%On note $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 
%
%\[f(x) = (2 - x)\text{e}^x.\]
%
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij. L'unité graphique est 2~cm.
 
\begin{enumerate}
\item Étude des limites de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}(2 - x) = - \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^x = + \infty$, donc par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.

$f(x) = 2\text{e}^x - x\text{e}^x$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 2\text{e}^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
		\item %Justifier que la courbe $\mathcal{C}$  admet une asymptote horizontale et en donner une équation.
		Le résultat précédent montre que l'axe des abscisses d'équation $y = 0$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de la fonction $f$ sur $\R$ 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et :

$f'(x) =  - \text{e}^x + (2 - x)\text{e}^x = (1 - x)\text{e}^x$. 
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$, donc :

$\bullet~~$ $1 - x > 0 \iff x < 1, f'(x) > 0$ : la fonction est croissante sur $]-\infty~;~1[$ ;

$\bullet~~$ $1 - x < 0 \iff x > 1, f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur $]1~;~+\infty[$, d'o\`u le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$}\uput[u](2.3,2){$- \infty$}\uput[u](5,2){$1$}\uput[u](7.7,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)
\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\uput[u](2.2,0){$0$}\uput[d](5,2){$\text{e}$}\uput[u](7.5,0){$- \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item Tracé de la courbe $\mathcal{C}$ 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'équation de la tangente $T_{0}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$.
On a $M(x~;~y) \in  T_{0} \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

Or $f(0) = 2 \times \text{e}^{0} = 2$ et $f'(0) = 1 \times \text{e}^{0} = 1$.

Donc $M(x~;~y) \in  T_{0} \iff y - 2 = x \iff y = x + 2$.
		\item %Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec les axes du repère.
Intersection avec l'axe des abscisses : il faut résoudre l'équation :

$f(x) = 0 \iff (2  - x)\text{e}^x  \iff 2 - x = 0$ (car $\text{e}^x \neq 0$) $\iff x = 2$.

La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses au point (2~;~0).

Intersection avec l'axe des ordonnées : $f(0) = (2 - 0)\text{e}^0 = 2$.

La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des  ordonnées au point (0~;~2).
		\item %Tracer, dans le repère \Oij, la droite $T_{0}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
Voir à la fin.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire plane}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par : $F(x) = (3 - x)\text{e}^x$, est une primitive de $f$ sur $\R$.
$F$ est dérivable sur $\R$ et :

$F'(x) = -\text{e}^x + (3 - x)\text{e}^x = (2 - x)\text{e}^x = f(x)$.

Cette égalité montre que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.  
\item %Soit $\alpha$ un nombre réel strictement inférieur à 2.
 
%On note $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, exprimée en unités d'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \alpha$ et $x = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$.
On a vu que sur $]- \infty~;~2[,\, f(x) > 0$, donc l'aire, en unité d'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ est égale à :

$\mathcal{A}(\alpha) = \displaystyle\int_{\alpha}^2 f(x) \:\text{dx} = \left[F(x)  \right]_{\alpha}^2 = F(2) - F(\alpha) = (3 - 2)\text{e}^2 - \left[(3 - \alpha)\text{e}^\alpha  \right] =$

$\text{e}^2 - \left[(3 - \alpha)\text{e}^\alpha  \right]$.  
		\item %Déterminer la limite éventuelle de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $- \infty$.
On a $(3 - \alpha)\text{e}^\alpha = 3\text{e}^\alpha - \alpha\text{e}^\alpha$.

Or $\displaystyle\lim_{\alpha \to - \infty} 3\text{e}^\alpha = 0$ et 
$\displaystyle\lim_{\alpha \to - \infty}\alpha\text{e}^\alpha = 0$, donc $\displaystyle\lim_{\alpha \to - \infty} \left[(3 - \alpha)\text{e}^\alpha  \right] = 0$ et finalement :

\[\lim_{\alpha \to - \infty}\mathcal{A}(\alpha) = \text{e}^2.\]
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\uput[d](3,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot{-1}{1}{x 2 add}\uput[ul](0.8,2.8){$T_{0}$}\uput[r](1.4,2.4){$\mathcal{C}$}\uput[d](-0.4,0){$\alpha$}\rput(2.5,1.8){$\mathcal{A}(\alpha)$}\psline[arrowsize=3pt 4]{->}(2.5,1.7)(1,0.9)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2.3}{2 x sub 2.71828 x exp mul}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.4}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul}
\psline(2,0)(-0.4,0)}
\psgrid[gridlabels=0,gridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}