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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, civil  ~\decofourright\\Métropole 21 juin 2011}}

\vspace{0,25cm} 

\end{center}


\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Au libre-service d'un restaurant d'entreprise, un repas est composé obligatoirement d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. Pour chaque repas, un employé choisit au hasard :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item une entrée parmi trois : Crudités (C), Salade (S) ou Quiche (Q),
%\item un plat parmi deux : Poisson (P) ou Viande (V)
%\item un dessert parmi trois : Glace (G), Fruits (F) ou Laitage (L).
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item %Sur l'annexe fournie (à rendre avec la copie), compléter l'arbre des repas.
Voir l'annexe
\item %En déduire le nombre de repas que peut composer un employé.
Il y a $3 \times 2 \times 3 = 18$ branches donc 18 repas différents.
\item %On appelle :
%\begin{description}
%\item[ ] A l'évènement : \og le repas composé contient le plat de poisson \fg,
%\item[ ] B l'évènement : \og le repas composé contient des fruits au dessert \fg.
%\end{description}
%
%On note $p$(A) la probabilité de l'évènement A.

%Calculer $p$(A), $p$(B), $p(\text{A} \cap \text{B})$ et en déduire $p(\text{A} \cup \text{B})$.
Il y a une chance sur deux de choisir poisson ou viande, donc $p(\text{A}) = \dfrac{1}{2}$.

De m\^eme on peut choisir de fa\c{c}on équiprobable chacun des trois déserts, donc $p(\text{B}) = \dfrac{1}{3}$.

$p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ car les évènements A et B sont indépendants.

$p(\text{A} \cup \text{B}) = $p(\text{A}) + $p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} \dfrac{2}{3}$.
\item  %Le tableau suivant donne en kcal le bilan calorique des mets proposés :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%Entrées	& Crudités (C) : 300	& Salade composée (S) : 300	& Quiche (Q) : 400\\ \hline
%Plats	&\multicolumn{2}{c|}{ Viande (V) : 900}				& Poisson (P) : 600\\ \hline
%Desserts& Glace (G) : 300		& Laitage (L) : 100			& Fruits (F) : 100\\ \hline
%\end{tabularx}

\medskip

%Compléter, sur l'annexe, le bilan calorique de chaque repas.
Voir l'annexe.
\item  %On appelle $R$ la variable aléatoire qui à chaque repas associe son bilan calorique.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire $R$.
$R \in \{\np{1000},~\np{1100},~\np{1200},~\np{1300},~\np{1400},~\np{1500},~\np{1600},~\}$.
		\item %Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $R$.
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X = R_{i}$&\np{1000}&\np{1100}&\np{1200}&\np{1300}&\np{1400}&\np{1500}&\np{1600}\\ \hline
$p(X= R_{i})$&$\frac{4}{18}$&$\frac{2}{18}$&$\frac{2}{18}$&$\frac{5}{18}$&$\frac{2}{18}$&$\frac{2}{18}$&$\frac{1}{18}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item %Montrer que le bilan calorique moyen d'un repas est \np{1250} kcal.
L'espérance mathématique de cette variable est donc :

E$(R) = \np{1000} \times \frac{4}{18} + \np{1100} \times \frac{2}{18} + \np{1200} \times \frac{2}{18} + \np{1300} \times \frac{5}{18} + \np{1400} \times \frac{2}{18} + \np{1500} \times \frac{2}{18} + \np{1600} \times \frac{1}{18} = \dfrac{\np{22500}}{18} = \np{1250}$.

Sur un grand nombre de repas pris dans ce restaurant, le bilan calorique moyen d'un repas est \np{1250} kcal. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  exo 2
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.\\
%Une bonne réponse rapporte un point.\\
%Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = 3\text{e}^{2x}$. On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère donné.

%Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point de la courbe d'abscisse $0$ est :

%A.~~ $y = 3x+3$
%
%B.~~ $y = 6x+6$
%
%C.~~ $y = 3x+6$
%
%D.~~ $y = 6x+3$
On a $f'(x) = 2 \times 3\text{e}^{2x} = 6\text{e}^{2x}$. Donc $f'(0) = 6$. Comme $f(0) = 3$ l'équation est de la forme $y = 6x + b$ et $3 = 6 \times 0 + 3$ soit $b = 3$. D'o\`u la réponse D.
\item  %Pour tout nombre réel $a$, on définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^a  \text{e}^{2x}\:\text{d}x$. La valeur de $I$ est :

%A.~~ $I = 0,5\text{e}^{2a} - 0,5$
%
%B.~~ $I = 0,5\text{e}^{2a} - 0,5$
%
%C.~~ $I = 0,5 - \text{e}^{2a}$
%
%D.~~ $I = 0,5 - 0,5\text{e}^{2a}$
Une primitive de $\text{e}^{2x}$ est $\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$ ; donc :

$I = \displaystyle\int_{0}^a  \text{e}^{2x}\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} \right]_{0}^a = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2a} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2 \times 0} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2a} - \dfrac{1}{2}$. Donc réponse A.
\item  %Soit l'équation différentielle $y' + \dfrac{1}{2}y = 0$
% où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

%Trouver parmi ces fonctions dérivables sur l'ensemble des nombres réels $\R$, une solution de
%l'équation proposée.
%
%A.~~ $f(x) = 40\text{e}^{0,5x}$
%
%B.~~ $g(x) = - 10\cos (0,5x) + 12\sin (0,5x)$
%
%C.~~ $h(x) = 120\text{e}^{- 0,5x}$
%
%D.~~ $i(x) = - 0,5x$
$y' + \dfrac{1}{2}y = 0 \iff y' = - \dfrac{1}{2}y$. On sait que les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\R$ par $f(x) = C\text{e}^{- \frac{1}{2}x}$, $C$ étant un réel quelconque. D'o\`u la réponse C.
\item  %Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = - \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est :

%A.~~ $z = 3\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$
%
%B.~~ $z = 3\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
%
%C.~~ $z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$
%
%D.~~ $z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
On peut écrire : $z = - \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right)$.

Or $- \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\5pi}{6}$ et $\dfrac{1}{2} = \sin \frac{5\pi}{6}$, donc un argument de $z$ est $\frac{\pi}{6}$. On a donc $z = \sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. Réponse C.
\item  %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère le point $\Omega$ d'affixe $3 \text{i}$ et le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{2}$. Trouver parmi les points proposés un point du cercle $\mathcal{C}$.

%A.~~ M d'affixe $1 - 3\text{i}$
%
%B.~~ N d'affixe $2 + \text{i}\sqrt{3}$
%
%C.~~ P d'affixe $2 - 2\text{i}\sqrt{3}$
%
%D.~~ Q d'affixe $0$
On a : $\Omega\text{M}^2 = |1 - 3\text{i} - 3 + \text{i}|^2 = |- 2 - 2\text{i}|^2 = 4+ 4 = 8 = \left(2\sqrt{2} \right)^2$ ; réponse A.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%Probl\ème
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

%\textbf{Objectif :} \emph{Le but de ce problème est de comparer, sur un exemple, deux méthodes de calcul de volumes.}
%
%\smallskip
%
%On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10] par 
%
%\[f(x) = - x\ln x + 2x.\]

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10] par : $f'(x) = - \ln x + 1.$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$, donc sur [1~;~10] et sur cet intervalle :

$f'(x) = - \ln x - x \times \dfrac{1}{x} + 2 = - \ln x  - 1 + 2 = 1 - \ln x$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ en fonction des valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10].
On a $f'(x) > 0 \iff 1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x$ et par croissance de la fonction exponentielle $\text{e} > x \iff x <  \text{e}$.

On a donc $f'(x) > 0$ sur $[1~ ;~\text{e}]$ et de la m\^eme fa\c{c}on on trouverait que $f'(x) < 0$ sur $[\text{e}~;~10]$.

Enfin $f(\text{e}) = 0$.
		\item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10].
$f(1) = - 1\ln 1 + 2 \times 1 = 2$,  f(\text{e})  - \text{e}\ln \text{e} + 2\text{e} = \text{e}$ et $f(10) =    - 10\ln 10 + 2 \times 10 = 20 - 10\ln 10$.

On en déduit le tableau de variations suivant :
		
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.1,2.5){$1$} \uput[u](4,2.5){$\text{e}$} \uput[u](6.8,2.5){$10$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(2.5,2.25){$+$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$-$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5) \psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) 
\rput(0.5,1){$f(x)$} \uput[u](1.2,0){1} \uput[d](4,2){$\text{e}$} \uput[u](6.1,0){$20 - 10\ln 10$}
\end{pspicture}		
		
 	\end{enumerate}
\item ~%On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan (unités : 1~cm en abscisses, 1~cm en ordonnées).
	
%Représenter graphiquement $\mathcal{C}$ dans ce repère.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.5,-3.5)(11,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-3.5)(11,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgrdiddiv=1,gridcolor=orange](0,-3.5)(11,3)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{10}{2 x mul x ln x mul sub}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{7}{2 x mul x ln x mul sub}
\psline(7,0)(1,0)(1,2)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %On considère l'équation (E) : $f(x) = 0$ sur l'intervalle [1~;~10].

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le nombre de solutions de l'équation (E).
Sur [1~;~10], $f(x) = 0 \iff 2x - x\ln x = 0 \iff x(2 - \ln x) = 0 \iff \{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
2 - \ln x&=&0
\end{array}\right. \iff \{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
2 &=&\ln x
\end{array}\right. \iff \{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
\text{e}^2 &=&x
\end{array}\right.$

Comme $0 \notin [1~ ;~10]$ il n'y a qu'une solution $\text{e}^2$.
		\item %Pour chacune des solutions trouvées, donner une valeur approchée à $10^{- 2}$ près, en explicitant votre méthode.
On a $\text{e}^2 \approx 7,389 \approx 7,39$ à $10^{- 2}$ près.
 	\end{enumerate}
\item %On considère la fonction $F$, définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~10], par
	
	%\[F(x) = x^2\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2}\ln x\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10].
$F$ est dérivable sur [1~ ;~10] et sur cet intervalle :
		
$F'(x) = 2x\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2}\ln x\right) + x^2 \left( - \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{5}{2}x - x \ln x - \dfrac{1}{2}x = 2x - x \ln x = f(x)$.

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur [1~ ;~10].
		\item %Sur la représentation graphique réalisée précédemment, hachurer la portion $S$ du plan comprise entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 7$.
		\item %À l'aide de la représentation graphique, évaluer (en unités d'aire) l'aire de la portion $S$.
		
%Justifier la méthode utilisée.
L'unité sur les deux axes étant égale à 1~cm, chaque carreau a une aire de 1~cm$^2$.
La surface hachurée contient approximativement 12 carreaux, donc l'aire de la portion est à peu près égale à 12~cm$^2$.
		\item %Calculer la valeur exacte de cette aire en unités d'aire.
La fonction $f$ étant positive sur l'intervalle [1~;~7], l'aire de la surface $S$ est égale à l'intégrale :
		
$\displaystyle\int_{1}^7 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{1}^7 = F(7) - F(1) = 7^2\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2}\ln 7\right) - \left[1^2\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2}\ln 1\right)  \right] = \dfrac{245}{4} - \dfrac{49\ln 7}{2} - \dfrac{5}{4} = 60 - \dfrac{49\ln 7}{2}$~cm$^2
~\approx 12,3$.
 	\end{enumerate}
\item %On veut déterminer le volume $V_{s}$ du solide engendré par la rotation de la partie hachurée autour de l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate}
		\item %Méthode par calcul formel :
		
%À l'aide d'un logiciel de calcul formel on obtient :

%\[V_{s} = \pi\left(\dfrac{343(\ln 7)^2}{3} - \dfrac{\np{4802}\ln 7}{9} + \dfrac{\np{1900}}{3}\right)\, \text{unités de volume.}\]
		
%En déduire une valeur approchée de $V_{s}$ à $10^{-2}$ près.
La calculatrice donne $V_{s} \approx 88,005 \approx 88,01$~unités de volume à $10^{-2}$ près.
		\item Méthode des trois niveaux :
		
%\emph{La méthode, dite des trois niveaux, permet d'estimer le volume d'un solide.}
		
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7,8.5)
%%\psgrid
%\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0.4,0.1)(6.2,0.1)
%\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(3.3,0.8)(6.2,0.8)
%\psline[linestyle=dashed](0.4,5.15)(0.4,0.1)
%\psline[linestyle=dashed](6.2,5.15)(6.2,0.1)
%\psline[linestyle=dashed](3.3,0.8)(3.3,5.15)
%\rput(0.4,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.95}{90}{270}}}%
%\rput(0.4,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.95}{-90}{90}}}%
%\rput(3.3,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){2.9}{90}{270}}}%
%\rput(3.3,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){2.9}{-90}{90}}}%
%\rput(6.2,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.92}{90}{270}}}%
%\rput(6.2,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.92}{-90}{90}}}%
%\pscurve[linewidth=1.2pt](0.4,7.1)(1,7.5)(2,7.9)(3,8.05)(4,7.95)(5,7.68)(6,7.25)(6.2,7.1)
%\pscurve[linewidth=1.2pt](0.4,3.2)(1,2.8)(2,2.4)(3,2.25)(4,2.35)(5,2.62)(6,3.05)(6.2,3.2)
%\uput[ur](0.4,5.15){A$_{0}$}\uput[ur](3.3,5.15){A$_{1}$}\uput[ur](6.2,5.15){A$_{2}$}
%\uput[u](3.3,0.1){$h$} \uput[u](4.75,0.8){$\frac{h}{2}$}
%\psdots(0.4,5.15)(3.3,5.15)(6.2,5.15)
%%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=lightgray]{0.4}{6.2}{2 x mul x ln x mul sub}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Par cette méthode, le volume estimé d'un solide de révolution de hauteur $h$ est égale à
%
%$V_{e} = \dfrac{1}{6}h\left(\text{A}_{0} + 4\text{A}_{1} +\text{A}_{2}\right)\, \text{où}\, A_{0}$ est l'aire de la section gauche, A$_{1}$ l'aire de la section
%intermédiaire et A$_{2}$ l'aire de la section droite.
%
%Compléter, par des valeurs approchées au centième, le tableau des surfaces figurant en
%annexe.
%
%En déduire une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de $V_{e}$.
On a donc $V_{e} \approx \dfrac{1}{6}\times 6 \left(12,57 + 4\times 18,86 + 0,45\right) \approx 88,46$.
		\item %On considère que la méthode des trois niveaux est acceptable si le rapport $\dfrac{V_{e}}{V_{s}}$ est compris entre 0,95 et 1,05. Peut-on affirmer que cette méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple ?
On a $\dfrac{V_{e}}{V_{s}} \approx \dfrac{88,46}{88,01} \approx 1,005$.

La méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%% Annexe
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
\bigskip

\textbf{Exercice 1 : arbre des repas}

\vspace{2cm}

\pstree[treemode=R,levelsep=3.5cm,treesep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree[treesep=1.4cm]{\TR{C}}
	{
	\pstree[treesep=0.4cm]{\TR{V}}
		{\TR{G}~{\np{1500} kcal}
		\TR{L}~{\np{1300} kcal}
		\TR{F}~{\np{1300} kcal}
		}
	\pstree[treesep=0.4cm]{\TR{P}}
		{\TR{G}~{\np{1200} kcal}
		\TR{L}~{\np{1000} kcal}
		\TR{F}~{\np{1000} kcal}
		}
	}
\pstree[treesep=1.4cm]{\TR{S}}
	{
	\pstree[treesep=0.4cm]{\TR{V}}
		{\TR{G}~{\np{1500} kcal}
		\TR{L}~{\np{1300} kcal}
		\TR{F}~{\np{1300} kcal}
		}
	\pstree[treesep=0.4cm]{\TR{P}}
		{\TR{G}~{\np{1200} kcal}
		\TR{L}~{\np{1000} kcal}
		\TR{F}~{\np{1000} kcal}
		}
	}
	
\pstree[treesep=1.4cm]{\TR{Q}}
	{
	\pstree[treesep=0.4cm]{\TR{V}}
		{\TR{G}~{\np{1600} kcal}
		\TR{L}~{\np{1400} kcal}
		\TR{F}~{\np{1400} kcal}
		}
	\pstree[treesep=0.4cm]{\TR{P}}
		{\TR{G}~{\np{1300} kcal}
		\TR{L}~{\np{1100} kcal}
		\TR{F}~{\np{1100} kcal}
		}
	}
}
\vspace{3cm}

\textbf{Problème : tableau des surfaces}

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Surface & Section gauche&Section intermédiaire&Section droite\\ \hline
Rayons&$f(1) = -1\ln 1 + 2 \times 1 = 2$&$f(4) = - 4\ln (4) + 8 \approx 2,45$&$f(7) = -7\ln 7 + 2\times 7 = 1\approx 0,38$\\ \hline
Aires&12,57&18,86&0,45\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}