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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil~\decofourright\\Métropole 16 septembre 2011}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée pour cette épreuve.


Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On appelle C l'ensemble des nombres complexes.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$ vérifiant le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\sqrt{3}z_{1} + z_{2}&=&4\\ 
z_{1} - \sqrt{3}z_{2} &=&4\text{i}
\end{array}\right.\]
 
\item Soit M$_{1}$ et M$_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1} = \sqrt{3} + \text{i}$ et $z_{2} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$.
 
Écrire $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme trigonométrique. 
\item Placer de façon précise les points M$_{1}$ et M$_{2}$ dans le repère orthonormé \Ouv{} défini précédemment. (\emph{On laissera apparents les traits de construction.}) 
\item Calculer le module du nombre complexe $z_{2} - z_{1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le cercle de diamètre [M$_{1}$M$_{2}$]. (\emph{On laissera apparents les traits de construction.}) 
		\item Montrer, par deux méthodes différentes, que le point O appartient au cercle de diamètre [M$_{1}$M$_{2}$]. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.\\
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte.\\
 Le barème est le suivant : $1$ point pour une bonne réponse et $0$ point pour une réponse fausse ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\emph{On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 
Une entreprise possède deux usines U$_{1}$ et U$_{2}$ produisant un même type de disque informatique à haute capacité. On a prélevé \np{5000} unités sortant de l'usine U$_{1}$ et \np{3000} de l'usine U$_{2}$.
 
Ces disques peuvent présenter deux types de défauts : un défaut de diamètre noté D et un défaut d'esthétique noté E.
 
La répartition des différentes configurations est donnée dans le tableau ci-dessous : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{}&D seul &E seul &D et E &ni D ni E &total\\ \hline 
usine U$_{1}$& 250 &150 &100 &\np{4500} &\np{5000}\\ \hline 
usine U$_{2}$& 90 &150 &30 &\np{2730} &\np{3000}\\ \hline  
total &340 &300 &130 &\np{7230} &\np{8000}\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
Chaque disque ayant la même chance d'être choisi, on choisit au hasard un disque parmi les \np{8000} prélevés.
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que le disque choisi soit fabriqué par l'usine U$_{1}$ est

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 1,600 &\textbf{b.~~} 0,667 &\textbf{c.~~} 0,625 &\textbf{d.~~} 0,375\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité que le disque choisi présente au moins le défaut D est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~} $\dfrac{47}{800}$&\textbf{b.~~}  $\dfrac{17}{800}$&
\textbf{c.~~}  $\dfrac{800}{13}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{32}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité que le disque choisi présente le défaut D ou le défaut E est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
 \textbf{a.~~}  $\dfrac{51}{800}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{77}{800}$ &\textbf{c.~~}  $\dfrac{1}{20}$ 
&\textbf{d.~~}  $\dfrac{1}{32}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 

\item On sait que le disque choisi provient de l'usine U$_{2}$ La probabilité qu'il présente uniquement le  défaut D est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \textbf{a.~~}  $\dfrac{9}{800}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{9}{34}$&  
\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{20 }$ & \textbf{d.~~} $\dfrac{3}{100}$\\
\end{tabularx}
\medskip  

\item L'entreprise décide de commercialiser les \np{8000}~disques prélevés :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item les disques présentant les deux défauts sont invendables et sont détruits coûtant ainsi $0,50$~euro chacun; 
\item les disques présentant uniquement un défaut de diamètre D sont bradés au prix de $1,50$~euros chacun: 
\item ceux présentant uniquement un défaut d'esthétique E sont soldés au prix de 3~euros chacun 
\item enfin les disques sans défaut sont vendus au prix de 10~euros chacun.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Sachant que le co\^ut de fabrication d'un disque est de 2~euros, on considère le bénéfice exprimé en euros réalisé par l'entreprise sur la commercialisation de l'ensemble des \np{8000}~disques.
 
L'entreprise peut espérer un bénéfice, exprimé en euros, de : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} \np{73300} & \textbf{b.~~} \np{57300} & \textbf{c.~~} \np{57645} & \textbf{d.~~} \np{73645}\\
\end{tabularx}
\medskip   
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Lors d'un usinage, la partie active d'un outil, en mouvement relatif par rapport à la pièce travaillée et aux copeaux que l'on désire produire, est soumise à des sollicitations mécaniques et thermiques très importantes.
 
On usine ici des barres cylindriques (en alliage d'aluminium). Le volume $V$, exprimé en centimètres cubes, de copeaux obtenus avant la mort de l'outil est modélisé par la relation : 

\[V = \np{36000}\left(\text{e}^{-0,002v} - \text{e}^{- 0,004v}\right) \]

où $v$ désigne la vitesse de coupe, exprimée en mètres par minute $\left(\text{m.min}^{- 1}\right)$.

\medskip
 
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est de déterminer la vitesse de coupe conduisant à une production maximale de copeaux avant la mort de l'outil.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculs préliminaires. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume, en cm$^3$, de copeaux obtenus avant la mort de l'outil lorsque la vitesse de coupe est de \np{1200}~mètres par minute ; on donnera la valeur approchée arrondie au cm$^3$. 
		\item Calculer $V$ lorsque $v$ égale $0$~m.min$^{-1}$ ; pouvait-on prévoir ce résultat ? 	
	\end{enumerate}
\item Étude de fonction numérique
 
On considère la fonction numérique $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}] par 

\[f(x) = \np{36000}\left(\text{e}^{-0,002x} -  \text{e}^{-0,004x}\right).\]
 
On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}]. 		
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f^{\prime}(x) = 72\text{e}^{-0,002x}\left(2\text{e}^{-0,002x} - 1\right)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}]. 
		
Soit $g$ la fonction numérique, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}] par :

\[g(x) = 2\text{e}^{-0,002x} - 1.\]

 La courbe représentative de la fonction $g$ est donnée en annexe. 
		\item Vérifier que la fonction $g$ s'annule en $500\ln (2)$. 
		\item À l'aide de la question b. et du graphique réalisé, déterminer le signe de $g(x)$ sur 
l'intervalle [0~;~\np{1200}]. 
		\item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur cet intervalle. 
		\item Dresser alors le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~\np{1200}]. 
		\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan (unités : 1~cm pour 100 unités en abscisses et 1~cm pour \np{1000}~unités en ordonnées).
		 
Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans ce repère orthogonal.
	\end{enumerate} 
\item Bilan. 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de l'étude précédente le volume maximal, en centimètres cubes, de copeaux que l'on peut obtenir lors de l'usinage d'une pièce, avant la mort de l'outil. 
		\item Donner alors une valeur approchée, arrondie au mètre par minute, de la vitesse de coupe correspondante.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 

\textbf{Partie B}

\medskip

L'objectif de cette partie est, à vitesse de coupe donnée, de déterminer le nombre d'outils nécessaires à l'obtention de \np{10000} cm$^3$ de copeaux. 
\begin{enumerate}
\item On considère désormais que la vitesse de coupe $v$ est de 350~mètres par minute, et que la section d'usinage $s$ est de $0,004$~centimètres carrés. 
	\begin{enumerate}
		\item Le temps d'usinage $T_{0}$ (exprimé en minutes), nécessaire pour obtenir \np{10000}~cm$^3$ de copeaux est donné par la relation : 

\[T_{0} = \dfrac{\np{10000}}{v \times 100 \times s} = \dfrac{100}{v \times s}\] 
 
où $v$ désigne la vitesse de coupe, exprimée en mètres par minute $\left(\text{m.min}^{- 1}\right)$ et $s$ est la section d'usinage exprimée en centimètres carrés.
 
Déterminer une valeur approchée (par excès à la minute près) de ce temps d'usinage $T_{0}$. 
		\item Le temps effectif de coupe d'un outil (exprimé en minutes), est donné par la relation 

\[T_{\text{eff}} = C \times x^n\]

où $x$ désigne la vitesse de coupe exprimée en mètres par minute. 

Dans le cas d'une usure maximale possible de 0,3~millimètre, on obtient expérimentalement les valeurs suivantes : $C \approx  1,8 \times  10^7$ et $n \approx -2,25$. 

Déterminer une valeur approchée (par défaut à la minute près) de ce temps effectif de coupe d'un outil, noté $T_{\text{eff}}$ pour une vitesse de coupe de $350$~mètres par minute. 
		\item En déduire le nombre d'outils nécessaires à l'obtention de \np{10000}~cm$^3$ de copeaux. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte.} 

L'exposant \emph{négatif} dans la relation $T_{\text{eff}} = 1,8 \cdot 10^7 \times x^{-2,25}$ obtenue expérimentalement paraît-il conforme à l'intuition ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE : courbe représentative de} \boldmath  $g$ \unboldmath 

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.009cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-50,-1)(1300,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=400]{->}(0,0)(0,-1)(1300,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=400](0,0)(1300,1.1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{1200}{2 2.71828 0.002 x mul exp div 1 sub}
\uput[d](1290,0){$x$} \uput[l](0,1.08){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}