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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, civil   ~\decofourright\\Métropole 16 septembre 2011}}

\vspace{0,25cm}

%L'utilisation d'une calculatrice est autorisée pour cette épreuve.
%
%
%Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%On appelle C l'ensemble des nombres complexes.
% 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
% 
%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$ vérifiant le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\sqrt{3}z_{1} + z_{2}&=&4\\ 
z_{1} - \sqrt{3}z_{2} &=&4\text{i}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
3z_{1} + \sqrt{3}z_{2}&=&4\sqrt{3}\\ 
z_{1} - \sqrt{3}z_{2} &=&4\text{i}
\end{array}\right. \Rightarrow \text{(par somme)}\: 4z_{1} = 4\sqrt{3} + 4\text{i} \iff z_{1} = \sqrt{3} + \text{i}\]

De la première équation on en déduit que :

$z_{2} = 4 - \sqrt{3}z_{1} = 4 - \sqrt{3}\left(\sqrt{3} + \text{i}\right) = 1 - \sqrt{3}\text{i}$.
 
\item %Soit M$_{1}$ et M$_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1} = \sqrt{3} + \text{i}$ et $z_{2} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$.
 
%Écrire $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme trigonométrique.
On a $\left|z_{1}\right|^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{1}\right| = 2$.

Donc $z_{1} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i} \right)$.

On reconnaît le cosinus et le sinus de $\dfrac{\pi}{6}$.

$z_{1} = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{6}\right) = 2\text{e}^{\frac{\pi}{6}}$.

De m\^eme $\left|z_{2} \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{2} \right| = 2$.

Donc $z_{2} = 2\left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \right)$.

On reconnaît le cosinus et le sinus de $-\dfrac{\pi}{3}$.

$z_{2} = 2\left(\cos \dfrac{-\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{-\pi}{3}\right) = 2\text{e}^{-\frac{\pi}{3}}$.
\item %Placer de façon précise les points M$_{1}$ et M$_{2}$ dans le repère orthonormé \Ouv{} défini précédemment. (\emph{On laissera apparents les traits de construction.})
On place M$_{1}$ sur le cercle centré en O de rayon 2 et sur la droite d'équation $x  = 1$, son ordonnée étant positive.

On place M$_{2}$ sur le cercle centré en O de rayon 2 et sur la droite d'équation $y  = - 1$, son abscisse étant positive.

Voir la figure. 
\item %Calculer le module du nombre complexe $z_{2} - z_{1}$.
On a $\left|z_{2} - z_{1}  \right| = \left|1 - \text{i}\sqrt{3} - \sqrt{3} - \text{i}  \right|= \left|1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(- \sqrt{3} - 1\right)\right|$.

Donc  $\left|z_{2} - z_{1}  \right|^2 = \left(1 - \sqrt{3} \right)^2  + \left(\sqrt{3} + 1 \right)^2 = 1 + 3 - 2\sqrt{3} + 3 + 1 + 2\sqrt{3} = 8 \Rightarrow \left|z_{2} - z_{1}  \right| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Construire le cercle de diamètre [M$_{1}$M$_{2}$]. (\emph{On laissera apparents les traits de construction.})
		On construit la médiatrice de [M$_{1}$M$_{2}$] qui coupe ce segment au centre du cercle. Le cercle a pour rayon $\dfrac{\text{M}_{1}\text{M}_{2}}{2} = \sqrt{2}$.
		\item %Montrer, par deux méthodes différentes, que le point O appartient au cercle de diamètre [M$_{1}$M$_{2}$].
$\bullet~~$Le milieu O$_{1}$ de [M$_{1}$M$_{2}$] a pour cordonnées $\left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}~;~ \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}\right)$.

On a donc OO$_{1}^2 = \left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}\right)^2  = \dfrac{1 + 3  + 2\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1 + 3  - 2\sqrt{3}}{4} = 2 \Rightarrow \text{OO}_{1} = \sqrt{2}$.

Le point O est bien à une distance de O$_{1}$ égale au rayon du cercle.

$\bullet~~$Étant donné que $\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$, le triangle OM$_{1}$M$_{2}$ est rectangle en O. Il est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse [M$_{1}$M$_{2}]$, donc le point O appartient au cercle de diamètre [M$_{1}$M$_{2}$]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
\psline[linestyle=dashed](0,-1)(2.5,-1)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,2.5)
\psdots(1.732,1)(1,-1.732)
\uput[ur](1.732,1){M$_{1}$} \uput[dr](1,-1.1732){M$_{2}$}\uput[dl](0,0){O}
\pscircle(1.366,-0.366){1.414}
\psline(1.732,1)(0,0)(1,-1.732)
\psarc(0,0){0.3}{0}{30}\psarc(0,0){0.4}{-60}{0}
\rput(0.45,0.15){$\pi/6$}\rput(0.5,-0.25){$\pi/3$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.\\
%Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte.\\
%Le barème est le suivant : $1$ point pour une bonne réponse et $0$ point pour une réponse fausse ou une absence de réponse.}
%
%\medskip
% 
%\emph{On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}
%
%\medskip
% 
%Une entreprise possède deux usines U$_{1}$ et U$_{2}$ produisant un même type de disque informatique à haute capacité. On a prélevé \np{5000} unités sortant de l'usine U$_{1}$ et \np{3000} de l'usine U$_{2}$.
% 
%Ces disques peuvent présenter deux types de défauts : un défaut de diamètre noté D et un défaut d'esthétique noté E.
% 
%La répartition des différentes configurations est donnée dans le tableau ci-dessous : 
%
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
%\multicolumn{1}{c|}{}&D seul &E seul &D et E &ni D ni E &total\\ \hline 
%usine U$_{1}$& 250 &150 &100 &\np{4500} &\np{5000}\\ \hline 
%usine U$_{2}$& 90 &150 &30 &\np{2730} &\np{3000}\\ \hline  
%total &340 &300 &130 &\np{7230} &\np{8000}\\ \hline 
%\end{tabularx}

%\medskip
% 
%Chaque disque ayant la même chance d'être choisi, on choisit au hasard un disque parmi les \np{8000} prélevés.
 
\begin{enumerate}
\item %La probabilité que le disque choisi soit fabriqué par l'usine U$_{1}$ est

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 1,600 &\textbf{b.~~} 0,667 &\textbf{c.~~} $\fbox{0,625}$ &\textbf{d.~~} 0,375\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item %La probabilité que le disque choisi présente au moins le défaut D est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~} $\fbox{\dfrac{47}{800}}$&\textbf{b.~~}  $\dfrac{17}{800}$&
\textbf{c.~~}  $\dfrac{800}{13}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{32}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item %La probabilité que le disque choisi présente le défaut D ou le défaut E est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
 \textbf{a.~~}  $\dfrac{51}{800}$&\textbf{b.~~} $\fbox{\dfrac{77}{800}}$ &\textbf{c.~~}  $\dfrac{1}{20}$ 
&\textbf{d.~~}  $\dfrac{1}{32}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 

\item %On sait que le disque choisi provient de l'usine U$_{2}$ La probabilité qu'il présente uniquement le  défaut D est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
% \textbf{a.~~}  $\dfrac{9}{800}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{9}{34}$&  
%\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{20 }$ & \textbf{d.~~} $\fbox{\dfrac{3}{100}}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip  

\item %L'entreprise décide de commercialiser les \np{8000}~disques prélevés :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item les disques présentant les deux défauts sont invendables et sont détruits coûtant ainsi $0,50$~euro chacun; 
%\item les disques présentant uniquement un défaut de diamètre D sont bradés au prix de $1,50$~euros chacun: 
%\item ceux présentant uniquement un défaut d'esthétique E sont soldés au prix de 3~euros chacun 
%\item enfin les disques sans défaut sont vendus au prix de 10~euros chacun.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Sachant que le co\^ut de fabrication d'un disque est de 2~euros, on considère le bénéfice exprimé en euros réalisé par l'entreprise sur la commercialisation de l'ensemble des \np{8000}~disques.
% 
%L'entreprise peut espérer un bénéfice, exprimé en euros, de : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} \np{73300} & \textbf{b.~~} \np{57300} & \textbf{c.~~} $\fbox{\np{57645}} & \textbf{d.~~} \np{73645}\\
\end{tabularx}
\medskip   
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

%Lors d'un usinage, la partie active d'un outil, en mouvement relatif par rapport à la pièce travaillée et aux copeaux que l'on désire produire, est soumise à des sollicitations mécaniques et thermiques très importantes.
% 
%On usine ici des barres cylindriques (en alliage d'aluminium). Le volume $V$, exprimé en centimètres cubes, de copeaux obtenus avant la mort de l'outil est modélisé par la relation : 
%
%\[V = \np{36000}\left(\text{e}^{-0,002v} - \text{e}^{-0,004v}\right) \]
%
%où $v$ désigne la vitesse de coupe, exprimée en mètres par minute $\left(\text{m.min}^{- 1}\right)$.
%
%\medskip
% 
%Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%L'objectif de cette partie est de déterminer la vitesse de coupe conduisant à une production maximale de copeaux avant la mort de l'outil.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculs préliminaires. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le volume, en cm$^3$, de copeaux obtenus avant la mort de l'outil lorsque la vitesse de coupe est de \np{1200}~mètres par minute ; on donnera la valeur approchée arrondie au cm$^3$.
$V(\np{1200}) = \np{36000}\left(\text{e}^{-0,002\times \np{1200}} - \text{e}^{-0,004 \times \np{1200}}\right) \approx \np{1703,099}\approx \np{1703}$~cm$^3$.	 
		\item %Calculer $V$ lorsque $v$ égale $0$~m.min$^{-1}$ ; pouvait-on prévoir ce résultat ? 
$V(0) = \np{36000}(1 - 1) = 0$, ce qui est normal : vitesse nulle, outil à l'arr\^et, donc pas de copeaux.	
	\end{enumerate}
\item %Étude de fonction numérique
 
%On considère la fonction numérique $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}] par 
%
%\[f(x) = \np{36000}\left(\text{e}^{-0,002x} -  \text{e}^{-0,004x}\right).\]
% 
%On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}]. 		
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $f^{\prime}(x) = 72\text{e}^{-0,002x}\left(2\text{e}^{-0,002x} - 1\right)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}]. 
$u(x)$ étant étant une fonction dérivable de l'intervalle [0~;~\np{1200}], on sait que la dérivée de la fonction $\text{e}^{u(x)}$ sur le m\^eme intervalle est $u^{\prime}\times \text{e}^{u(x)}$.

Donc $f^{\prime}(x) = \np{36000}\left(-0,002 \text{e}^{-0,002x} - (- 0,004)\text{e}^{-0,004x}\right) =$

$ \np{36000}\left(-0,002 \text{e}^{-0,002x} + 0,004\text{e}^{-0,004x}\right) = \np{36000} \times 0,002\left(- \text{e}^{-0,002x} + 2\text{e}^{-0,004x}\right) = 72\left(- \text{e}^{-0,002x} + 2\text{e}^{-0,004x}\right) = 72\left(- \text{e}^{-0,002x} + 2\text{e}^{2 \times (-0,002x)}\right) = 72\left(- \text{e}^{-0,002x} + 2\left[\text{e}^{(-0,002x)}\right]^2\right) = 72\text{e}^{-0,002x}\left(-1 + 2\text{e}^{-0,002x}\right) = 72\text{e}^{-0,002x}\left(2\text{e}^{-0,002x} - 1\right)$.
		
%Soit $g$ la fonction numérique, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}] par :
%
%\[g(x) = 2\text{e}^{-0,002x} - 1.\]

% La courbe représentative de la fonction $g$ est donnée en annexe. 
		\item %Vérifier que la fonction $g$ s'annule en $500\ln (2)$.
$g(x) = 0 \iff  2\text{e}^{-0,002x} - 1 = 0 \iff 2\text{e}^{-0,002x} = 1 \iff \text{e}^{-0,002x} = \dfrac{1}{2}$ et par croissance de la fonction  logarithme népérien : $-0,002x = \ln \left(\frac{1}{2} \right) \iff - 0,002x = - \ln 2 \iff x =  \dfrac{\ln 2}{0,002} = 500\ln 2$.
		\item %À l'aide de la question b. et du graphique réalisé, déterminer le signe de $g(x)$ sur l'intervalle [0~;~\np{1200}].
On « voit » sur le graphique que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $g(x) > 0$ sur $\left[0~;~500\ln 2\right[$ ;
\item[$\bullet~~$] $g\left(500\ln 2\right) = 0$ ; 
\item[$\bullet~~$] $g(x) < 0$ sur  $\left]500\ln 2~;~\np{1200}\right[$
\end{itemize}
 
		\item %En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur cet intervalle.
		Comme $72 > 0$ et que $\text{e}^{-0,002x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f^{\prime}(x)$ est celui de $g(x)$.
		
		\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f^{\prime}(x) > 0$ sur $\left[0~;~500\ln 2\right[$ ;
\item[$\bullet~~$] $f^{\prime}\left(500\ln 2\right) = 0$ ; 
\item[$\bullet~~$] $f^{\prime}(x) < 0$ sur  $\left]500\ln 2~;~\np{1200}\right[$
\end{itemize}
		\item %Dresser alors le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~\np{1200}].
		Le résultat précédent nous permet de conclure :
		
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f$ est croissante sur $\left[0~;~500\ln 2\right[$ ;
\item[$\bullet~~$] $f\left(500\ln 2\right)$ est un maximum 
\item[$\bullet~~$] $f$ est décroissante sur  $\left]500\ln 2~;~\np{1200}\right[$
\end{itemize}		 
		\item ~
		%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan (unités : 1~cm pour 100 unités en abscisses et 1~cm pour \np{1000}~unités en ordonnées).~
		 
%Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans ce repère orthogonal.
	\end{enumerate}
	
\psset{xunit=0.01cm,yunit=0.001cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-10,-100)(1250,10000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=100,Dy=1000]{->}(0,0)(-10,-10)(1250,10000)
\multido{\n=0+100}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,10000)}
\multido{\n=0+1000}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(1200,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1200}{2.71828 0.002 x mul neg exp 2.71828 0.004 x mul neg exp sub 36000 mul}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item Bilan. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déduire de l'étude précédente le volume maximal, en centimètres cubes, de copeaux que l'on peut obtenir lors de l'usinage d'une pièce, avant la mort de l'outil.
Les résultats précédents nous permettent d'affirmer que le volume maximal est égal à  $V(500\ln 2) = f(500\ln 2) = \np{9000}$  
		\item %Donner alors une valeur approchée, arrondie au mètre par minute, de la vitesse de coupe correspondante.
La vitesse optimale est égale  $500\ln 2 \approx 346,6~$m.min$^{- 1} \approx 347~$m.min$^{- 1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 

\textbf{Partie B}

%\medskip
%
%L'objectif de cette partie est, à vitesse de coupe donnée, de déterminer le nombre d'outils nécessaires à l'obtention de \np{10000} cm$^3$ de copeaux. 
%\begin{enumerate}
%\item On considère désormais que la vitesse de coupe $v$ est de 350~mètres par minute, et que la section d'usinage $s$ est de $0,004$~centimètres carrés. 
	\begin{enumerate}
		\item %Le temps d'usinage $T_{0}$ (exprimé en minutes), nécessaire pour obtenir \np{10000}~cm$^3$ de copeaux est donné par la relation : 

%\[T_{0} = \dfrac{\np{10000}}{v \times 100 \times s} = \dfrac{100}{v \times s}\] 
 
%où $v$ désigne la vitesse de coupe, exprimée en mètres par minute $\left(\text{m.min}^{- 1}\right)$ et $s$ est la section d'usinage exprimée en centimètres carrés.
 
%Déterminer une valeur approchée (par excès à la minute près) de ce temps d'usinage $T_{0}$.
$T_{0} = \dfrac{100}{350 \times 0,004} = \dfrac{350}{1,4} = 250$~min. 
		\item %Le temps effectif de coupe d'un outil (exprimé en minutes), est donné par la relation 

%\[T_{\text{eff}} = C \times x^n\]

%où $x$ désigne la vitesse de coupe exprimée en mètres par minute. 

%Dans le cas d'une usure maximale possible de 0,3~millimètre, on obtient expérimentalement les valeurs suivantes : $C \approx  1,8 \times  10^7$ et $n \approx -2,25$. 

%Déterminer une valeur approchée (par défaut à la minute près) de ce temps effectif de coupe d'un outil, noté $T_{\text{eff}}$ pour une vitesse de coupe de $350$~mètres par minute.
$T_{\text{eff}} \approx 1,8 \times 10^7 \times 350^{- 2,25} \approx 33,97 \approx 33$~min 
		\item %En déduire le nombre d'outils nécessaires à l'obtention de \np{10000}~cm$^3$ de copeaux.
Le nombre d'outils nécessaires est donc égal à : $\dfrac{350}{33} \approx 10,6$.

Il faudra donc au moins 11 outils. 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte.} 

%L'exposant \emph{négatif} dans la relation $T_{\text{eff}} = 1,8 \cdot 10^7 \times x^{-2,25}$ obtenue expérimentalement paraît-il conforme à l'intuition ? Justifier votre réponse.
On a $T_{\text{eff}} = 1,8 \cdot 10^7 \times x^{-2,25} = \dfrac{1,8 \cdot 10^7}{x^{2,25}}$.

Plus la vitesse croît et plus la fonction exponentielle $x^{2,25}$ croît, et plus l'usure de l'outil est important : le temps de vie de l'outil est donc inversement proportionnel à la vitesse de coupe ce qui correspond bien à l'intuition.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE : courbe représentative de} \boldmath  $g$ \unboldmath 

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.009cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-50,-1)(1300,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=400]{->}(0,0)(0,-1)(1300,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=400](0,0)(1300,1.1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{1200}{2 2.71828 0.002 x mul exp div 1 sub}
\uput[d](1290,0){$x$} \uput[l](0,1.08){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}