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% Tapuscrit : Denis Vergès
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2011~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv. 

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les points A, B et C d'affixes respectives : 
 
\[a = 1 + \text{i},\quad  b = a \times  2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \quad  \text{et} \,\,c = - \sqrt{3} + \text{i}\sqrt{3}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $a,\, b$ et $c$. 		
		\item Vérifier que $b = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$. 
		\item En  déduire que : $\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)  = 	\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$. 
		\item Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle OAB est un triangle rectangle. 
		\item Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle OAB et construire ce cercle.
			\end{enumerate} 
\item Déterminer la nature du quadrilatère OABC et prouver que le point C appartient au cercle circonscrit au triangle OAB. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

On fixe à l'extrémité d'un ressort horizontal un objet $M$, qui peut coulisser sans frottement sur un plan. Le point A, où est accrochée l'autre extrémité du ressort, est fixe.
 
Après avoir été écarté de sa position d'équilibre, l'objet est lâché avec une vitesse initiale.
 
On repère l'objet par son abscisse $X$ qui est fonction du temps $t$ et qui mesure l'écart entre la position à un instant $t$ et sa position initiale.
 
On admet qu'à un instant $t$, la fonction $X$ est solution de l'équation différentielle ($E$) :
 
\[X'' + 100 X = 0.\]

\psset{unit=1cm,coilwidth=0.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,4)
\psframe(0,0.4)(10.4,2.65)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,1.2)(10,1.6)
\psframe[fillstyle=vlines](1.4,1.6)(1.6,2.2)
\psframe(4.7,1.6)(7.2,2.4)
\psline(4,0.8)(4,1.5)\psline[linestyle=dashed](6.1,1)(6.1,2.2)
\psline{->}(4,1)(6.1,1)
\rput(1.6,2.8){A} \rput(6.1,2.8){M$$}\rput(6,0.7){$X(t)$}
\rput(4,0.6){Position initiale}
\pszigzag(4.7,1.8)(1.6,1.8)
\end{pspicture}
\end{center} 


\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle ($E$). 
\item Déterminer l'expression de la solution particulière $X$ de (E) qui vérifie les conditions :
 
\[X(0) = 10^{-1} \quad \text{et} \quad  X'(0) = 1.\]
 
\item  Montrer que pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on a : 

\[X(t) = 10^{-1}\sqrt{2}\cos \left(10t - \dfrac{\pi}{4}\right).\]

\item Vérifier que l'énergie mécanique $W$ du système, définie pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
 
\[W(t) = 10^{-1}[X'(t)]^2 + 10[X(t)]^2,\]
 
est constante. 
\item  Déterminer la valeur moyenne de la fonction $X$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{10}\right[$.

\emph{On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction sur l'intervalle $[a~;~b]$ est donnée par} :
  
\[\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x.\] 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

Sur la feuille \textbf{annexe}, on a représenté, dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
 
La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(0~;~1), B(1~;~1) et C$(2~;-1)$.

\medskip
 
\textbf{Partie A : détermination de la fonction}\,\boldmath $f$ \unboldmath
 
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $f(0),\, f(1)$ et $f(2)$. 
\item On suppose que pour tout nombre réel $x,\, f(x)$ s'écrit :

\[f(x) = \left(ax + bx^2\right)\text{e}^{(-x+2)} + c$, où les lettres $a,\, b$ et $c$ désignent trois nombres réels.
 
En utilisant la question 1., déterminer la valeur des nombres $a,\, b$ et $c$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction}\, \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
\emph{Dans toute la suite du problème, on admettra que} : 

\[f(x) = \left(x  - x^2\right)\text{e}^{(-x + 2)} + 1.\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que pour tout nombre réel $x,\, f(x) = \text{e}^{2}\left(x\text{e}^{-x}  - x^2\text{e}^{-x}\right) + 1$. 
		\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :
 
\[f^{\prime}(x) = \left(x^2 - 3x + 1\right)\text{e}^{(-x+2)}.\]
 
\item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $\R$, puis établir le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$. 
		\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle $[-1~;~0]$, la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un unique point. On notera $\alpha$ l'abscisse de ce point. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $G$ définie sur $\R^ par :

\[ G(x) = \left(x^2 + x + 1\right)\text{e}^{(-x+2)}.\]

On note $G^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $G$ sur $\R$.

Établir que pour tout nombre réel $x,\, G^{\prime}(x) = \left(x - x^2\right)\text{e}^{(-x + 2)}$. 

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
 
Le résultat dont on donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième, sera exprimé en unité d'aire. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe (problème)}

\vspace{2,5cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2.5)(2.5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-1,-2.5)(2.5,2.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0.6,2){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.275}{2.5}{2.71828 2 x sub exp x x dup mul sub mul 1 add}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}